【微分中值定理的证明及其应用6000字（论文）】

[11].证明对于区间内任意一点，其对应的改变量(),设在开区间上单调递增，则有,即,因为，从而 ,又因为在左开右闭区间上存在左导数，根据函数极限的保号性有.同理可证是单调减函数时的情形.推广定理1若函数有如下性质：()在闭区间上连续；()在左开右闭区间内存在左导数；()；则，对,,当时，有.(13)证明由推广定理1的条件()可知，在闭区间上必能取到最大值和最小值，先假设分别为和.那么(1)若，则在区间上为常函数，于是对开区间内任意一点，都有即，所以上的任意一点都可作为，使得,，当时，有.(2)若，则由推广定理1条件()可知，在区间端点处不可能同时取到最大值或最小值，即至少，可使在点处取到最大值或最小值.若在点处能取得最小值，则点必是函数的局部极小值.根据极小值的定义，必然存在,可使在上为单调减函数，在上为单调增函数，再由引理4，函数在区间上有，,从而有.即在开区间内有一点，对，，当时，有.（二）Lagrange中值定理的推广由可导推广到单侧可导：推广定理2若函数有如下性质：()在闭区间上连续；()在左开右闭区间上存在左导数；则，对,，当时，有 .(14)证明根据定理结论可构造这样一个辅助函数,该函数满足推广定理2的条件()和()，且.又因为,则函数满足推广定理1的全部条件，由推广定理1可知，，对,当时，有.即 .定理得证（三）Cauchy中值定理的推广推广定理3若函数与有如下性质：()在闭区间上均连续；()在左开右闭区间上存在左导数与；()是闭区间上的单调函数，并且对区间内任意一点,有;则，对,，当时，有 .(15)证明根据定理结论作辅助函数:,该函数满足推广定理2的全部条件，并且.又因为,所以函数满足推广定理1的全部条件，由推广定理1可知，，对,当时，有，即(16)根据推广定理3的条件()，若在闭区间上为单调增函数时，由引理4可知对都有;而当在上为单调减函数时，由引理4可知对都有,由此可得与始终同号，即.把(16)式两边同时除以可得 .显然，在推广定理3中当时，推广定理3就变为推广定理2。结论通过以上内容可以看出，微分中值定理是联系函数和导数相互关系的一条纽带，它的应用范围十分广泛并且灵活性很大.不仅可以用来证明方程根的存在性、证明不等式、求极限与近似值，而且还可以用来解决一些含高阶导数的中值问题。用微分中值定理来解题的步骤大致可以概括为：首先根据问题的特点或要证明的结论去合理的构造一个辅助函数并给出相其应的区间，然后验证它满足哪个中值定理的条件，最后用验证的条件以及中值定理已有的结论解决问题。本文仅仅是讲述了微分中值定理的一部分内容，随着研究问题的进一步拓宽和深入，微分中值定理也必将会有更加广阔的应用空间并发挥出更大的作用。

参考文献[1]王艳萍.微分中值定理的推广及应用[J].洛阳师范学院学报,2019,38(02):15-16.[2]杨红莉,李士垚,于红,曾宪阳.与中值定理相关的辅助函数的一个构造法[J].南京工程学院学报(自然科学版),2018,16(01):66-70.[3]帅灿.从中学数学中发现微分中值定理的美[J].科学技术创新,2018(03):52-53.[4]陈阳,王涛.浅谈微分中值定理证明及应用题目[J].辽宁工业大学学报(社会科学版),2016,18(06):138-142.[5]朱智和.微分中值定理在解题中的若干应用[J].绍兴文理学院学报(自然科学版),2009,29(04):112-116.[6]张军,倪鑫,闫丝雨,尹晓军,吕雄.利用微分方程求解微分中值问题的逆向思维方法[J].高等数学研究,2019,22(03):15-17.[7]党炳新.微分中值定理在中学数学中的应用[D].信阳师范学院,2014.[8]施开波.《微积分》课程的教学改革探索与实践[J].教育现代化,2018,5(39):103-104.[9]闵兰,陈晓敏.几个微分中值定理之异同[J].西南师范大学学报(自然科学版),2009(6):196-199.[10]MartinezJavier,AguiarBraulio,Estrada-ManzoVíctor,BernalMiguel,DaiZhifeng.ActuatorFaultDetectionforDiscrete-TimeDescriptorSystemsviaaConvexUnknownInputObserverwithUnknownSchedulingVariables[J].MathematicalProblemsinEngineering,2021.[11]MohamedLamineNacer,HamidKherfane,SandrineMoreau,SalahSaad.RobustObserverDesignforUncertainLipschitzNonlinearSystemsBasedonDifferentialMeanValueTheo