2021年辽宁省本溪市中考数学二模试卷（含解析）

2021年辽宁省本溪市中考数学二模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣6的绝对值是（）A．6 B．﹣6 C． D．﹣2．下列运算正确的是（）A．4x•2x＝8x B．2m+3m＝5m C．x9÷x3＝x3 D．（﹣a3b2）2＝﹣a6b43．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．4．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣x﹣3＝05．某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示：年龄（岁）13141516人数（人）1254则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A．13，14 B．14，15 C．15，15 D．15，146．下列调查中，适宜采用全面调查的是（）A．调查全国初中学生身高情况 B．调查沈阳浑河流域水质情况 C．调查某品牌汽车的抗撞击情况 D．了解某班女同学800米的成绩情况7．直线y＝x+b（b＞0）与直线y＝kx（k＜0）的交点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC相交于点E，则tan∠CAE的值为（）A． B． C． D．9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法中，错误的是（）A．ab＜0 B．2a+b＝0 C．3a+c＞0 D．a+b≥m（am+b）（m为实数）10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点N在BO上运动．过点N作EF∥AC交AB于E，交BC于点F，将△BEF沿EF翻折得到△EFG，若ON＝x，△EFG与△ABC重叠部分的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．因式分解：12﹣3x2＝．12．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．13．一个盒子中有1个红球、2个白球和2个绿球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到球的颜色相同的概率是．14．如图，分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b．若∠1＝40°，则∠2的度数为．15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为．16．如图，点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B为反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，直线AB过原点O，且，则OA＝2OB，则k的值为．17．如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点M，N分别为AC，DF的中点，点P是线段MN的中点，连接PA，PC．当△APC为直角三角形时，BE＝．18．如图，点A1（2，2）在直线y＝x上，过点作A1B1∥y轴交直线y＝x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过C1点作过点A2B2∥y轴交直线y＝x和直线y＝x于A1，B1两点，再以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2，…，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBn∁n的边长Bn∁n为．（用含正整数n的代数式表示）三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．先化简，再求值：（x﹣2﹣）•，其中x＝（1﹣π）0﹣|﹣|．20．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力．某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同．（1）求A，B两种奖品的单价各是多少元；（2）学校为获奖的15名学生购买奖品（每人一件A种奖品或一件B种奖品），且购买的总费用不超过700元，求最多可以购买多少件A种奖品？四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21．随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，本溪市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查．调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：A．积极参与；B．一定参与；C．可以参与；D．不参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图．学生参与“朗读”的态度统计表类别人数所占百分比A18aB2040%Cm16%D48%合计b100%请你根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝．（2）请求出m的值并将条形统计图补充完整．（3）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？（4）“朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率．22．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．连接BO并延长交AC于点D，交⊙O于点E，过点A作BC的平行线交BO于点F．（1）判断AF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若BC＝BD，求∠C的度数．五、解答题（满分12分）23．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如表：x（件）…5101520…y（元件）…75706560…（1）由题意知商品的最低销售单价是元．当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？六、解答题（满分12分）24．如图，在一块平整的土地上，有一矩形建筑物ABCD，AB＝20米，AD＝31米．一个氢气球在矩形建筑物前漂浮，某数学兴趣小组要测量该氢气球E的高度．该兴趣小组可以从A，B，C三点观察到氢气球E，利用精密测角仪器测得数据如表：测量项目测量数据从点A处观测氢气球E的仰角45°从点B处观测氢气球E的仰角30°从点D处观测氢气球E的仰角64.8°请你根据现有的条件，充分利用建筑物，设计一个测量氢气球E到地面的高度的方案：要求如下：①数据尽可能少（3个条件正确求解得12分；4个条件正确求解得10分；5个条件正确求解得8分）；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图．（精确到0.1米）（参考数据：sin64.8°≈0.90，cos64.8°≈0.43，tan64.8°≈2.13，≈1.73）七、解答题（满分12分25．如图，等腰Rt△CEF绕正方形ABCD的顶点C顺时针旋转，且AB＝CE＝EF，∠CEF＝90°．连接AF与射线BE交于点G．（1）如图1，当点B、C、F三点共线时，则∠ABE∠FEM（填“＞”、“＝”或“＜”），则AGFG（填“＞、“＝”或“＜”）；（2）如图2，当点B、C、F三点不共线时，求证：AG＝GF；（3）若等腰Rt△CEF从图1的位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当直线AB与直线EF相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．八、解答题（满分14分）26．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得∠PEC+∠ACE＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，在y轴右侧的抛物线上存在一点Q，使S△QBC＝2S△QAC的面积相等，直接写出点Q的坐标．

参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣6的绝对值是（）A．6 B．﹣6 C． D．﹣【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．解：|﹣6|＝6，故选：A．2．下列运算正确的是（）A．4x•2x＝8x B．2m+3m＝5m C．x9÷x3＝x3 D．（﹣a3b2）2＝﹣a6b4【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．解：∵4x•2x＝8x2，故选项A错误；∵2m+3m＝5m，故选项B正确；∵x9÷x3＝x6，故选项C错误；∵（﹣a3b2）2＝a6b4，故选项D错误；故选：B．3．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1．故选：B．4．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣x﹣3＝0【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解：A．x2+1＝0中△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，没有实数根；B．x2﹣2x+1＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；C．x2+2x+4＝0中△＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，没有实数根；D．x2﹣x﹣3＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，有两个不相等的实数根；故选：D．5．某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示：年龄（岁）13141516人数（人）1254则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A．13，14 B．14，15 C．15，15 D．15，14【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，∴众数为15岁，中位数是第6、7个数据的平均数，∴中位数为＝15岁，故选：C．6．下列调查中，适宜采用全面调查的是（）A．调查全国初中学生身高情况 B．调查沈阳浑河流域水质情况 C．调查某品牌汽车的抗撞击情况 D．了解某班女同学800米的成绩情况【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断即可得到结论．解：A．调查全国初中学生身高情况，适宜抽样调查，故本选项不合题意；B．调查沈阳浑河流域水质情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；C．调查某品牌汽车的抗撞击情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；D．了解某班女同学800米的成绩情况，是准确的调查，适于全面调查，故本选项符合题意；故选：D．7．直线y＝x+b（b＞0）与直线y＝kx（k＜0）的交点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据直线方程作出大致函数图象，根据图象可以直接作出选择．解：直线y＝x+b（b＞0）与直线y＝kx（k＜0）的大致图象如图所示：．1＞0，b＞0，而正比例函数的k＜0，故图象的交点A位于第二象限．故选：B．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC相交于点E，则tan∠CAE的值为（）A． B． C． D．【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：连接DE，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CE＝1.5；∴tan∠CAE＝＝．故选：A．9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法中，错误的是（）A．ab＜0 B．2a+b＝0 C．3a+c＞0 D．a+b≥m（am+b）（m为实数）【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；由图象确定函数的最值．解：A、∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；B、∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故正确；C、∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；D、根据图示知，当x＝1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．故选：C．10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点N在BO上运动．过点N作EF∥AC交AB于E，交BC于点F，将△BEF沿EF翻折得到△EFG，若ON＝x，△EFG与△ABC重叠部分的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】分两个时间段求出函数解析式即可判断：①当翻折后点G在点O的左侧时即2≤x≤4，通过证明△BEF∽△BAC，可得BN＝EF＝4﹣x，再根据三角形的面积公式写成函数解析式；②当翻折后点G在点O的右侧时（如图②），即0≤x≤2，重叠部分y＝s梯形HIEF，用含x的代数式表示出相关线段的长度，再根据梯形的面积公式求出函数解析式即可．解：分情况讨论：①当翻折后点G在点O的左侧时（如图①），即2≤x≤4，∵EF∥AC，∴∠BEF＝∠BAC，∠BFE＝∠BCA，∴△BEF∽△BAC，∴，即BN＝EF＝4﹣x，由四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵EF∥AC，∴EF⊥BD，翻折后，重叠部分y＝s△EFG＝s△BEF＝（2≤x≤4）；②当翻折后点G在点O的右侧时（如图②），即0≤x≤2，翻折后，重叠部分y＝s梯形HIEF，∵ON＝x，BN＝4﹣x，GN＝BN＝4﹣x，∴OG＝4﹣2x，又∵EF∥AC，同理可得△GHI∽△GEF，∴HI＝OG＝4﹣2x，∴y＝[（4﹣x）+（4﹣2x）]•x＝4x﹣（0≤x≤2），综上所述，y＝，故选：A．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．因式分解：12﹣3x2＝3（2﹣x）（2+x）．【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．解：原式＝3（4﹣x2）＝3（2+x）（2﹣x）．故答案为：3（2+x）（2﹣x）．12．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故答案是：（2，﹣3）．13．一个盒子中有1个红球、2个白球和2个绿球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到球的颜色相同的概率是．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．解：列表如下：红白白绿绿红（红，红）（白，红）（白，红）（绿，红）（绿，红）白（红，白）（白，白）（白，白）（绿，白）（绿，白）白（红，白）（白，白）（白，白）（绿，白）（绿，白）绿（红，绿）（白，绿）（白，绿）（绿，绿）（绿，绿）绿（红，绿）（白，绿）（白，绿）（绿，绿）（绿，绿）由表知，共有25种等可能结果，其中两次摸到球的颜色相同的有9种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为，故答案为：．14．如图，分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b．若∠1＝40°，则∠2的度数为80°．【分析】先根据△ABC是等边三角形得出∠BAC＝60°，故可得出∠BAC+∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵∠1＝40°，∴∠BAC+∠1＝100°．∵a∥b，∴∠2＝180°﹣（∠BAC+∠1）＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80°．15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为．【分析】先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，由作图可知O是AB的中点，最后根据直角三角形斜边中线可得结论．解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，由作图可知：MN是AB的垂直平分线，∴O是AB的中点，∴CO＝AB＝，故答案为：．16．如图，点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B为反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，直线AB过原点O，且，则OA＝2OB，则k的值为﹣2．【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数系数k的几何意义可得出S△AOC＝4，再由相似三角形的判定定理得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质可得出△BOD的面积，进而可得出结论．解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，∴S△AOC＝×8＝4．∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴∠OBD＝∠OAC．∵∠BOD＝∠AOC，∴△AOC∽△BOD．∵OA＝2OB，S△AOC＝4，∴，∴S△BOD＝1，∵S△BOD＝|k|，∴k＝﹣2．故答案为﹣2．17．如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点M，N分别为AC，DF的中点，点P是线段MN的中点，连接PA，PC．当△APC为直角三角形时，BE＝4或8．【分析】本题先根据△APC为直角三角形进行分类讨论：①当∠APC＝90°时，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，即可求出PM，进而求出MN，BE长度就解决了．②当∠ACP＝90°时，根据直角三角形中，30°角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出PM＝4，进而求出MN，BE长度就解决了．解：①当∠APC＝90°时．∵∠APC＝90°，M为AC中点．∴PM＝AM＝CM＝AC＝2．∵PM＝2，点P是线段MN的中点．∴MN＝2PM＝4．即△ABC向左平移4．∴BE＝4．②当∠ACP＝90°时．∵MN∥BF．∴∠PMN＝∠ACB＝60°．∴∠MPC＝30．∵M为AC中点，AC＝4．∴CM＝2．∵在Rt△MCP中，∠MCP＝90°，∠MPC＝30°．∴MC＝PM．∴PM＝2CM＝4．∵点P是线段MN的中点．∴MN＝8即△ABC向左平移4．故答案为：4或8．18．如图，点A1（2，2）在直线y＝x上，过点作A1B1∥y轴交直线y＝x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过C1点作过点A2B2∥y轴交直线y＝x和直线y＝x于A1，B1两点，再以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2，…，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBn∁n的边长Bn∁n为．（用含正整数n的代数式表示）【分析】列出各点坐标寻找规律，横纵坐标成倍扩大．解：∵点A1（2，2）在直线y＝x上，∴点B1横坐标为2，将x＝2代入y＝x得y＝1，∴点B1坐标为（2，1）．∵△A1B1C1为等腰直角三角形，∴A1B1＝A1C1＝2﹣1＝1，∴点C1坐标为（3，2）．B1C1＝．∵过C1点作过点A2B2∥y轴，∴A2，B2的横坐标为3，将x＝3分别代入y＝x与y＝x中得A2，B2的纵坐标分别为3，，即A2（3，3），B2（3，），A2B2＝，∴B2C2＝A2B2＝．同理可得B3C3＝，B4C4＝……∴Bn∁n＝．故答案为：．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．先化简，再求值：（x﹣2﹣）•，其中x＝（1﹣π）0﹣|﹣|．【分析】先化简，再求出x的值，代入即可得出结论．解：原式＝•＝•＝．∵x＝（1﹣π）0﹣|﹣|＝1﹣＝，∴原式＝＝＝1420．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力．某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同．（1）求A，B两种奖品的单价各是多少元；（2）学校为获奖的15名学生购买奖品（每人一件A种奖品或一件B种奖品），且购买的总费用不超过700元，求最多可以购买多少件A种奖品？【分析】（1）设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m件A种奖品，则购买（15﹣m）件B种奖品，利用总价＝单价×数量，结合购买的总费用不超过700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．解：（1）设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，依题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝40+10＝50．答：A种奖品的单价为50元，B种奖品的单价为40元．（2）设购买m件A种奖品，则购买（15﹣m）件B种奖品，依题意得：50m+40（15﹣m）≤700，解得：m≤10．答：最多可以购买10件A种奖品．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21．随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，本溪市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查．调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：A．积极参与；B．一定参与；C．可以参与；D．不参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图．学生参与“朗读”的态度统计表类别人数所占百分比A18aB2040%Cm16%D48%合计b100%请你根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝36%，b＝50．（2）请求出m的值并将条形统计图补充完整．（3）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？（4）“朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率．【分析】（1）用100%分别减去B、C、D的频率可得到a的值；用18除以a得到b的值；（2）用b的值乘以16%得到m的值，然后补全条形统计图；（3）用1500乘以D类的百分比，然后把计算的结果与150进行大小比较，则可判断这次活动能否顺利开展；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选两人都是女生的结果数为2，然后根据概率公式计算．解：（1）a＝100%﹣8%﹣16%﹣40%＝36%，b＝18÷36%＝50；故答案为36%，50；（2）m＝50×16%＝8，条形统计图为：（3）1500×8%＝120（人），因为120＜150，所以这次活动能顺利开展；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所选两人都是女生的结果数为2，所以所选两人都是女生的概率＝＝．22．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．连接BO并延长交AC于点D，交⊙O于点E，过点A作BC的平行线交BO于点F．（1）判断AF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若BC＝BD，求∠C的度数．【分析】（1）连接OA，OC，根据全等三角形的性质得到∠OAB＝∠OAC，根据平行线的性质得到OA⊥AF，由切线的判定定理即可得到结论；（2）设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD＝3α，∠ABC＝∠ACB＝3α，根据三角形的内角和定理即可得到结论．解：（1）AF是⊙O的切线，证明：连接OA，OC，在△OAB与△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（SSS），∴∠OAB＝∠OAC，∴OA⊥BC，∵OD∥BC，∴OA⊥AF，∵OA是半径，∴AF是⊙O的切线；（2）设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝3α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝3α，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴2α+3α+3α＝180°，∴α＝22.5°，∴3α＝67.5°，∴∠C＝67.5°．五、解答题（满分12分）23．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如表：x（件）…5101520…y（元件）…75706560…（1）由题意知商品的最低销售单价是50元．当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？【分析】（1）由40（1+25%）即可得出最低销售单价；根据题意由待定系数法求出y与x的函数关系式和x的取值范围；（2）设所获利润为P元，由题意得出P是x的二次函数，即可得出结果．解：（1）40（1+25%）＝50（元），设y＝kx+b，根据题意得：，解得：k＝﹣1，b＝80，∴y＝﹣x+80，根据题意得：，且x为正整数，∴0＜x≤30，x为正整数，∴y＝﹣x+80（0≤x≤30，且x为正整数），故答案为：50；（2）设所获利润为P元，根据题意得：P＝（y﹣40）•x＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣（x﹣20）2+400，即P是x的二次函数，∵a＝﹣1＜0，∴P有最大值，∴当x＝20时，P最大值＝400，此时y＝60，∴当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元．六、解答题（满分12分）24．如图，在一块平整的土地上，有一矩形建筑物ABCD，AB＝20米，AD＝31米．一个氢气球在矩形建筑物前漂浮，某数学兴趣小组要测量该氢气球E的高度．该兴趣小组可以从A，B，C三点观察到氢气球E，利用精密测角仪器测得数据如表：测量项目测量数据从点A处观测氢气球E的仰角45°从点B处观测氢气球E的仰角30°从点D处观测氢气球E的仰角64.8°请你根据现有的条件，充分利用建筑物，设计一个测量氢气球E到地面的高度的方案：要求如下：①数据尽可能少（3个条件正确求解得12分；4个条件正确求解得10分；5个条件正确求解得8分）；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图．（精确到0.1米）（参考数据：sin64.8°≈0.90，cos64.8°≈0.43，tan64.8°≈2.13，≈1.73）【分析】从点A处观测氢气球E的仰角为45°，从点D处观测氢气球E的仰角为64.8°，测得AD＝31米．延长AB交EH于点F，则AF⊥EH，垂足为F，根据锐角三角函数即可求出结果．解：测量如图所示：从点A处观测氢气球E的仰角为45°，从点D处观测氢气球E的仰角为64.8°，测得AD＝31米．延长AB交EH于点F，则AF⊥EH，垂足为F，∵∠EAF＝45°，在Rt△AEF中，EF＝FA，在Rt△EDH中，EH＝HD•tan∠EDH＝HD•tan64.8°，∵HD＝AF，HF＝AD，HE＝EF+HF，∴HE＝EF+AD＝FA•tan64.8°，∴FA•tan64.8°﹣FA＝31，∴FA≈27.43（米），∴EF≈27.43（米），∴EH≈27.43+31≈58.4（米）．答：氢气球E的高度约为58.4米．七、解答题（满分12分25．如图，等腰Rt△CEF绕正方形ABCD的顶点C顺时针旋转，且AB＝CE＝EF，∠CEF＝90°．连接AF与射线BE交于点G．（1）如图1，当点B、C、F三点共线时，则∠ABE＝∠FEM（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG＝FG（填“＞、“＝”或“＜”）；（2）如图2，当点B、C、F三点不共线时，求证：AG＝GF；（3）若等腰Rt△CEF从图1的位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当直线AB与直线EF相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．【分析】（1）由三角形的内角和和等腰三角形的性质可求∠CBE＝∠CEB＝22.5°＝∠BFA，可求解；（2）由“AAS”可证△AGB≌△FGH，可得AG＝GF；（3）分两种情况讨论，利用四边形的内角和定理可求旋转后的∠BCE的度数，即可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，△CEF是等腰直角三角形，∴AB＝BC＝CE＝FE，∠ECF＝∠EFC＝45°，∠ABC＝90°，∵AB＝CE＝EF＝BC，∴∠CBE＝∠CEB＝22.5°，∴∠ABE＝67.5°，∠FEM＝∠EBF+∠BFE＝67.5°，∴∠ABE＝∠FEM，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，△CEF是等腰直角三角形，∴AC＝AB，CF＝CE，∠ACB＝45°，∴AC＝CF，∴∠CAF＝∠AFC＝22.5°，∴∠BAG＝∠ABG＝67.5°，∠AFC＝∠GBF＝22.5°，∴AG＝BG＝GF，故答案为：＝，＝；（2）过F作FH∥AB交直线BE于H，∴∠ABG＝∠FHE，∵AB＝BC，AB＝CE，∴BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠ABC＝∠CEF＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠FEM+∠CEB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABG＝∠FEH，∵∠ABG＝∠FHE，∴∠FHE＝∠FEH，∴EF＝FH，∴FH＝AB，又∠AGB＝∠FGH，∴△AGB≌△FGH（AAS），∴AG＝GF；（3）如图3，当直线EF与直线AB的交于点A上方，∵∠P+∠PBC+∠PEC+∠BCE＝360°，∴∠BCE＝150°，∴α＝150°﹣135°＝15°；∵∠P+∠PBC+∠PEC+∠BCE＝360°，∴∠BCE＝150°，∴∠DCE＝360°﹣150°﹣90°＝120°，∴α＝120°﹣45°＝75°；