教案评比：椭圆的标准方程

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计【教学课题】椭圆的标准方程【课时】第一课时【教材】教材版本：（选修1-1），苏教版（凤凰出版传媒集团、江苏教育出版社）章节：第二章圆锥曲线与方程，2.2椭圆，2.2.1椭圆的标准方程对教材内容的理解分析：本课时是概念性教学，对于圆，学生是非常熟悉的，而从椭圆开始，到双曲线、抛物线，对学生来说，都不是很熟悉的；又因为对双曲线、抛物线的学习过程，都可以仿照学习椭圆的过程进行，因此，对椭圆概念的掌握的好坏，不光会影响对它本身的性质的掌握，而且直接影响对双曲线、抛物线的学习效果。其次，椭圆方程的标准形式与后继课程中的双曲线方程有容易混淆的地方，对它的特点不清，也会影响对双曲线的掌握。所以说本节课在《平面解析几何》这一章中，占据极其重要的地位。教学重点：椭圆的定义及其标准方程教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简【教学目标】1.知识与技能：（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；（2）能根据已知条件求椭圆的标准方程.2.过程与方法：（1）让学生经历椭圆概念的形成过程，培养学生动手能力和合作学习能力，锻炼学生观察分析和归纳概括能力；（2）通过椭圆标准方程的推导过程，使学生进一步理解曲线与方程的概念，体会用建立曲线方程的基本方法——坐标法，渗透数形结合思想，培养计算能力；（3）在求解椭圆的标准方程的过程，使学生掌握待定系数法，并渗透分类讨论思想.3.情感、态度和价值观：（1）亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美（对称美、简洁美）的熏陶；（2）通过主动探索，合作交流，体会数学的理性和严谨；（3）通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神，养成扎实严谨的科学态度.【教学方法】引导式教学（“四段式”教学法）【教学思路】创设情境，以实例引入课题实验探究椭圆的定义与形成过程标准方程推导例题精讲当堂检测课堂小结作业布置）【教学过程】一、创设情境，实例引入几何画板演示一些天体运行的轨迹图，并提出问题——这些天体运行的轨迹是什么？太阳系行星轨道及运行（动画演示）：（百度搜索）/share/detail/6648900天体运行轨迹图片：（百度搜索）/i?ct=503316480&z=0&tn=baiduimagedetail&word=%CC%EC%CC%E5%D4%CB%D0%D0%B9%EC%BC%A3&in=19224&cl=2&lm=-1&pn=61&rn=1&di=8466880335&ln=673&fr=&fmq=&ic=0&s=0&se=1&sme=0&tab=&width=&height=&face=0经过观察，同学们可以生活经验和已有知识，很直观地看出并说出所看到的是椭圆.师问：同学们，你能不能列举生活中椭圆的例子？从而引出课题（椭圆的标准方程）椭圆相框：（百度搜索）/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%CD%D6%D4%B2&in=1309&cl=2&lm=-1&pn=31&rn=1&di=35969480103&ln=2000&fr=&fmq=&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=椭圆形挂钟：（百度搜索）/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%CD%D6%D4%B2&in=24975&cl=2&lm=-1&pn=174&rn=1&di=24536598465&ln=2000&fr=&fmq=&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=油罐车的横截面的外轮廓线：（百度搜索）/i?ct=503316480&z=0&tn=baiduimagedetail&word=%D3%CD%B9%DE%B3%B5&in=4233&cl=2&lm=-1&pn=6&rn=1&di=39139168680&ln=2000&fr=&fmq=&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=#pn8聚光灯泡：（百度搜索）/i?ct=503316480&z=0&tn=baiduimagedetail&word=%BE%DB%B9%E2%B5%C6%C5%DD&in=24590&cl=2&lm=-1&pn=8&rn=1&diln=2000&fr=&fmq=&ic=&s=0&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=意图：由实例出发，引入课题，激发学习兴趣，了解生活中的椭圆是普遍存在，说明研究椭圆的必要性。二、实验探究，归纳概念1.取一条定长的细绳（不可伸缩），把它的两端都固定在一木板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（可看作动点）画出的轨迹是什么？（回顾圆的定义）2.如果把细绳的两端拉开一段距离，将圆心分开变成两个，绳子两端固定在这两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？学生活动：拿出事先准备的学具，动手合作操作，画出椭圆.（预习时候准备的学具）教师活动：用教具在黑板画椭圆也可以用电脑软件动画演示.利用几何画板演示椭圆的画法：/i?ct=503316480&z=0&tn=baiduimagedetail&word=%BC%B8%BA%CE%BB%AD%B0%E5+%CD%D6%D4%B2&in=4914&cl=2&lm=-1&pn=11&rn=1&di=16270553070&ln=1117&fr=&fmq=&ic=0&s=0&se=1&sme=0&tab=&width=&height=&face=03.在这一过程中，移动的笔尖（即动点）满足的几何条件是什么？4.你能自己归纳椭圆的定义吗？活动：学生观察分析，结合自己理解和预习过程，归纳椭圆定义，老师补充概括，给出椭圆的定义，并引导学生注意定义中的关键条件.5.为什么常数要大于呢？（教师操作，学生观察和分析改变椭圆中的条件会出现的三种情况。）意图：在“做”中学，通过画椭圆的实验操作，经历概念的形成过程，积累感性经验。同时培养学生动手操作、观察分析、归纳概括的能力，引导学生自主合作探究，变被动接受为主动学习.椭圆课件：（百度搜索）/view/05afff3043323968011c925f.html三、师生互动，建构方程回顾求曲线方程的基本方法——坐标法，及其曲线方程的求解步骤.（1）建系设标：观察椭圆的形状，怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？（根据椭圆的对称性建立直角坐标系）.（2）列出几何等式对应的点集：根据椭圆定义，写出椭圆上动点满足的几何条件；（3）将几何等式转化为代数方程：坐标代入（距离公式）；（4）化简代数方程：两个根式之和的等式，如何化简？课前预设1：学生可能会想直接平方；课堂对策1：将错就错，直到学生感到困难，无法运算，出现困惑，老师再引导；课前预设2：学生直接提出将一个根式移到另一边；课堂对策2：顺着学生思路讲评，但要追问为什么要这么做，同时点明化简思路.继续化简，两次平方，整理，得到：.这个方程形式上还不够简洁对称，我们设，形式上可以联想到勾股定理公式，如果把看作一个直角三角形的三边，你能从椭圆图形中找出这样的直角三角形吗？（从图形观察分析，明确b的几何意义）.（5）证明.（通常可以省略）四、类比推导，归纳总结总结：焦点在轴上椭圆标准方程，以及a，b，c之间关系.问：如果焦点在y轴上，且的坐标分别为，的意义同上，这时椭圆的方程是什么？生：x、y互换，得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程.活动：教师列表格，学生对比归纳两种标准方程的相同点与不同点.意图：通过对比总结，加深对椭圆标准方程的理解.五、例题精讲：例1.判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上，并写出的值.（提问，学生口答）（1）；（2）；（3）.练习：（教材第28页习题2.2（1）第1题）判定方法：（1）哪个分母大，焦点落在哪个坐标轴上；（2）之间的关系：，其中最大.例2．求满足下列条件的椭圆的标准方程.（给学生留出思考时间，找两个学生在黑板上展示解题过程）（1）两焦点坐标分别是，且椭圆经过点；（2）焦距为8，椭圆上一点P到两焦点距离之和为10；（3）经过两点；（4）经过点且与椭圆具有共同的焦点.解法总结：用待定系数法求椭圆的标准方程.思路一：几何方法求解：（1）根据焦点位置方程形式；（2）根据椭圆定义确定a，b，c；（3）写出椭圆的标准方程.思路二：代数方法求解：（1）根据焦点位置确定方程形式；（2）根据条件列方程组，求解；（3）写出椭圆的标准方程.（从定性到定量）六、当堂检测：1.求下列椭圆的焦点坐标：（1）；（2）.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上；（2），焦点在轴上；（3）两个焦点分别是且过点.3.如果方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是．4.椭圆，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为.5.P为椭圆上一点，P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为.七、课堂小结：（1）熟练掌握椭圆的定义（条件）；（2）推导椭圆的标准方程（掌握之间的关系）；（3）待定系数法求椭圆的标准方程；（4）数学思想（数形结合、分类讨论思想）的应用.八、作业布置：课本：第28页习题2.2（1）1、2、3、4【教学反思】椭圆的定义、标准方程及其求法，是圆锥曲线一章的基础，