专题24.3弧、弦、圆心角（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题24.3弧、弦、圆心角（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023•荔湾区校级二模）下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案．【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；③能重合的弧是等弧，而长度相等的弧不一定能够重合，故此选项错误；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；故正确的有1个，故选：A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理和圆的有关定理；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．2．（2023•道外区二模）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，若∠COD＝A．35° B．55° C．75° D．95°【答案】C【分析】由BC=CD=DE，∠COD=35°，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠【解答】解：∵BC=∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．故选：C．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．3．（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，AB=CD，∠1＝45°，则∠A．60° B．30° C．45° D．40°【答案】C【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．【解答】解：∵AB=∴∠2＝∠1＝45°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．4．（2022秋•盘龙区期中）如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D．BD【答案】C【分析】如图，对于选项B、C，由垂径定理证明CE＝DE，进而得到AC＝AD，故A、B正确；对于选项A，运用等腰三角形的性质证明∠COE＝∠DOE，故A正确，即可解决问题．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，∴弧BD＝弧BC，CE＝DE，即AB为CD的垂直平分线，∴∠COE＝∠DOE，∴选项A、B、D正确，不符合题意；OE和BE的大小关系不能证明，故选项C符合题意；故选：C．【点评】该题主要考查了垂径定理、线段垂直平分线的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握垂径定理、线段垂直平分线的性质等几何知识点．5．（2022秋•锡山区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28° B．64° C．56° D．124°【答案】C【分析】先利用互余计算出∠B＝62°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝62°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴BD的度数为56°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6．（2021秋•东台市校级月考）已知⊙O中，AB=2CD，则弦AB和2CDA．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．不能确定【答案】C【分析】如图，取弧AB的中点E，利用AB=2CD得到AE=BE=CD，则根据圆心角、弧、弦的关系得到AE＝BE＝CD，再利用三角形三边的关系得AE+BE＞AB，于是有【解答】解：如图，取弧AB的中点E，则AE=∵AB=2CD∴AE=∴AE＝BE＝CD，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系．7．（2013秋•龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且AD=DC=A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．∵AD=∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；∵AB是直径，∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；∵OA＝OD（⊙O的半径），∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝OA；同理，得OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，∴AD＝CD＝BC＝OA，∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．8．（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°【答案】D【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到AE=BE，于是得到AE=BE=BC，推出AE＝BE＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝90°-32∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，则AE=∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE=12∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，∴AE=∴AE＝BE＝BC，∴2BC＞AB，故C错误；∵OA＝OB＝OC，∴∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝90°-3∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；∵∠BOE＝∠BOC=12∵∠BOE+∠OBA＝90°，∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2020秋•昆明期末）如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（）A．3 B．3 C．23 D．32【答案】D【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMEN是正方形，即可解决问题．【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，∵OA＝OC＝5，∴OM=OA2-AM2∴OM＝ON，∵AB⊥CD，∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMEN是正方形，∴OE=2OM＝32故选：D．【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．10．（2019•安徽一模）已知⊙O的直径CD为2，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（）A．1 B．2 C．23 D．3【答案】D【分析】根据翻折的性质得到PB＝PB′，BC=B'C，得到∠B′EA＝60°．当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为【解答】解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O于点E，连接B′E．∵点B与点B′关于CD对称，∴PB＝PB′，BC=∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．∵点B是AC的中点，∴AB'=120∴∠B′EA＝60°．∴AB′＝AE•sin60°＝2×3故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、轴对称﹣最短路线问题，正确找出点P的位置是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2023•襄阳模拟）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．【解答】解：连接OA、OB，∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，∴弧AC′B的度数是16×360°＝60°，弧ACB的度数是360°﹣60°＝∴∠AOB＝60°，∴∠ACB=12∠AOB＝∴∠AC′B＝180°﹣30°＝150°，故答案为：30°或150°．【点评】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．12．（2023春•海淀区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠AOE＝78°，则∠COB的度数是【答案】34°．【分析】先由平角的定义求出∠BOE的度数，由BC=CD=【解答】解：∵∠AOE＝78°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣78°＝102°，∵BC=∴∠BOC=∠EOD=∠COD=1故答案为：34°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．13．（2022秋•丹徒区期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，B是AC的中点，∠OBC＝50°，则∠AOB等于80°．【答案】80．【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC＝80°，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB的度数．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠B＝∠C＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵B是AC的中点，∴∠AOB＝∠BOC＝80°．故答案为：80．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．14．（2023•龙川县校级开学）如图，两个大小不同的量角器，小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清，现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使O2与C重合，如果弧AC与弧BD的公共点E在大量角器上对应的度数为130°，那么在小量角器上对应的度数为65°．【答案】65°．【分析】由题意知∠AO1E＝130°，根据三角形外角的性质可得∠AO1E＝∠O1EO2+∠O1O2E，根据等边对等角可得∠O1EO2＝∠O1O2E，进而可得∠O【解答】解：由题意知∠AO1E＝130°，∠AO1E＝∠O1EO2+∠O1O2E，∵O1O2＝O1E，∴∠O1EO2＝∠O1O2E，∴∠O∴在小量角器上对应的度数为65°．故答案为：65°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的性质，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为∠O1O2E的度数．15．（2022秋•天河区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是AC的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是22．【答案】见试题解答内容【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′＝CE即可．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，∵C是半圆上的一个三等分点，∴∠AOC=13×180∵D是AC的中点，∴∠AOE=12∠AOC＝∴∠COE＝90°，∴CE=2OC＝22即DP+CP＝22，故答案为22．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．16．（2019•桂林模拟）如图，⊙O的半径为2，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，…，则第2019秒点P所在位置的坐标为（-2，2）【答案】见试题解答内容【分析】作PH⊥OA于H，分别求出前4秒点的坐标，总结规律，根据规律解答．【解答】解：作PH⊥OA于H，由题意得，∠POH＝45°，∴OH＝OP•cos∠POH=2，PH＝OP•sin∠POH=2，即点P的坐标为（2，则第1秒点P所在位置的坐标（2，2），第2秒点P所在位置的坐标（0，2），第3秒点P所在位置的坐标（-2，2第4秒点P所在位置的坐标（2，0），……2019÷8＝252…3，则第2019秒点P所在位置的坐标为（-2，2故答案为：（-2，2【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、点的坐标的变化规律，掌握锐角三角函数的定义、正确得到点的坐标的变化规律是解题的关键．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•沈阳期末）如图，AD＝BC，比较AB与CD的长度，并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由AD＝BC得出AD=BC，进而即可得出【解答】解：AB=∵AD＝BC，∴AD=∴AD+即AB=【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．18．（2022秋•海州区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求AD、DE的度数．【答案】见试题解答内容【分析】连接CD，如图，利用互余计算出∠A＝62°，则∠A＝∠ADC＝62°，再根据三角形内角和定理计算出∠ACD＝56°，接着利用互余计算出∠DCE＝34°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：连接CD，如图，∵∠C＝90°，∠B＝28°，∴∠A＝90°﹣28°＝62°，∵CA＝CD，∴∠A＝∠ADC＝62°，∴∠ACD＝180°﹣2×62°＝56°∴AD的度数为56°；∵∠DCE＝90°﹣∠ACD＝34°，∴DE的度数为34°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．19．（2022秋•灌南县校级月考）如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为50°．（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OC，利用三角形的内角和定理求出∠B，再利用等腰三角形的性质求出∠BOC即可．（2）作OH⊥BC于H，利用面积法求出OH，再利用勾股定理求出BH，利用垂径定理BC＝2BH即可解决问题．【解答】解：（1）连接OC．∵∠AOB＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝65°，∴∠BOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴弧BC的度数为50°，故答案为50°．（2）如图，作OH⊥BC于H．在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，∴AB=OB∵S△AOB=12•OB•OA=12•∴OH=3×4∴BH=O∵OH⊥BC，∴BH＝CH，∴BC＝2BH=18【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB．求证：（1）CD＝EF；（2）CE=【答案】见试题解答内容【分析】（1）过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，根据全等三角形的判定方法得到△ODN≌△OEM，根据对应边相等，从而不难求得结论；（2）根据CD＝EF从而得到CD=【解答】证明：（1）过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，连接OD、OE，∵∠DPB＝∠EPB，∴OM＝ON．又∵OE＝OD，∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∴Rt△ODN≌Rt△OEM（HL）．∴DN＝EM．∵OM⊥EF，ON⊥CD，∴点M是EF的中点，点N是CD的中点．∴EM=12EF，DN=∴CD＝EF．（2）∵CD＝EF，∴CD=∴CD-即CE=【点评】本题利用了垂径定理和全等三角形的判定和性质及在同圆划等圆中，等弧对等弦，等弦对等弧求解．21．（2023•庐阳区校级一模）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°．（1）若AB＝2，求PD的长度；（2）若半径是5，求正方形ABCD的边长．【答案】（1）25（2）5．【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得DC＝BC＝AB＝1，则∠DCO＝∠ABC＝90°，又∠POM＝45°，CO＝DC＝1，求出OD，再连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径，可得PD．（2）证出△DCO是等腰直角三角形，得出DC＝CO，求出BO＝2AB，连接AO，得出AO＝5，再根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC＝AB＝2，∠DCO＝∠ABC＝90°，∵∠POM＝45°，∴CO＝DC＝2，∴OD=2连接AO，则△ABO为直角三角形，∴AO=A∴即⊙O的半径为25∴PD=OP-OD=25（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，∴∠DCO＝90°，∵∠POM＝45°，∴∠CDO＝45°，∴CD＝CO，∴BO＝BC+CO＝BC+CD，∴BO＝2AB，∵MO＝NO＝5，∴AO＝5，在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，即AB2+（2AB）2＝52，解得：AB=5则正方形ABCD的边长为5．【点评】此题考查了圆的性质，正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出△DCO是等腰直角三角形，得出BO＝2AB，作出辅助线，利用勾股定理求解．22．（2023•宝山区一模）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．【答案】（1）134（2）120°．【分析】（1）连接OA，如图，设⊙