2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第10章 第1节　随机抽样、统计图表

第十章统计与成对数据的统计分析

备K随机抽样、统计图表

［考试要求］

1.理解随机抽样的必要性和重要性.

2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法.

3.理解统计图表的含义.

［走进教材fl空础］回顾知识•激活技能

◎梳理•必备知识

1.简单随机抽样

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，除非特殊说

明，所学的简单随机抽样指不放回简单随机抽样.

(1)抽取方式：逐个不放回抽取；

(2)特点：每个个体被抽到的概率相等;

(3)常用方法：抽签法和随机数法.

2.总体平均数与样本平均数

名称定义

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为力，…，YN,

则称了=火气…+国/£匕为总体均值,又称总体平均数

总体均值

(总体平如果总体的N个变量值中，不同的值共有k/W/V)个，不妨记为H，

均数)Y2,…，Yk,其中匕出现的频数力(i=l,2,…，k),则总体均值还可

以写成加权平均数的形式了=££/匕

如果从总体中抽取一个容量为〃的样本，它们的变量值分别为yi,

样本均值

(样本平”，…，y”,则称y_¥+”1••+工—1£二为样本均值,又称样本

均数)

平均数

说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数y去估计总体平均数丫；

(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)；

(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确

-~3.分层随机抽样

(1)分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅

属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中

抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子

总体称为层.

(2)分层随机抽样的平均数计算

在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数

分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,第1层和第2层的样本平均数分

别为x,y,样本平均数为w,则w=x+y=苦一x+一^7■卫•

'M+N---M十N上加十"---"2十〃上

我们可以用样本平均数总估计总体平均数而.

4.统计图表

(1)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

(2)频率分布折线图

频率分布折线图：用线段连接频率分布直方图中各个矩形上面一边的生点,

就得到频率分布折线图.

(3)其他常见统计图表

统计图表主要应用

扇形图直观描述各类数据占总数的则

条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率

折线图描述数据随时回的变化趋势

€＞激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“x”)

(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()

(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样.()

(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()

(4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的

频率越大.()

［答案］⑴X(2)V(3)X(4)V

二'教材习题衍生

1.空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，

较好地描述数据，最适合使用的统计图是()

A.条形统计图B.折线统计图

C.扇形统计图D.频率分布直方图

C［根据题意，要直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分

比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图.故选C」

2.某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35〜49岁的有280

人，50岁以上的有95人.为调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，

则应在这三个年龄段分别抽取的人数为()

A.33,34,33B.25,56,19

C.20,40,30D.30,50,20

B［因为125：280:95=25：56：19,所以抽取的100名员工，这三个年

龄段人数分别为25,56,19.］

3.某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，

从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班

中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均

3

成绩约为分.

2020

108［样本中40名学生的平均分为而X110+^X106=108分，所以估计该

组合学生的平均分约为108分.］

4.为了帮助班上的两名同学解决困难，班上的20名同学捐出了自己的零花

钱，他们的捐款数（单位:元）如下：19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,

28,28,26,27,21,30,20,19,22,20.班主任老师准备将这组数据制成频

率分布直方图，以表彰他们的爱心.制图时先计算最大值与最小值的差是

；若取组距为2,则应分成组；若第一组的起点定为18.5,则

在［26.5,28.5）内的频数为.

1165［由题意知，极差为30—19=11;

因为组距为2,；=5.5不是整数，所以取6组；

捐款数落在［26.5,28.5）内的有27,27,28,28,27共5个，因此频数为5.］

［细研考点•突破题型］重难解惑■直击高考

n考点一简单随机抽样，题组通关

1.下列抽取样本的方式，是简单随机抽样的是（）

A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本

B.盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验

C.从80件玩具中一次性抽取3件进行质量检验

D.某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛

B［对于选项A:简单随机抽样中总体的个数是有限的，题中是无限的，不

是简单随机抽样，故选项A不是简单随机抽样；对于选项B:满足简单随机抽

样的定义，从N个个体中逐个不放回的抽取n个个体（〃WN）,故选项B是简单

随机抽样；对于选项C:不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是逐个抽取，

而题中是一次性抽取；对于选项D:不是简单随机抽样，原因是指定个子最高的

5名同学是56名同学中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样.

故选B.］

2.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本量为3

的样本，其中某一个体。“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能

4

性分别是（

A-正15B-1015

八13r33

c-MToD-lo'lo

A［法一：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的可能性是相等的，因为总

体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性

均为云.故选A.

法二：第一次被抽到，显然为京；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，

91I

第二次才被抽到，可能性为•故选A」

1UyiU

3.总体由编号为01,02,…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机

数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，

由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

D［从第1行第5列和第6列组成的数65开始，由左到右依次选出的数为

08,02,14,07,01,所以第5个个体编号为01J

4.齐鲁风采“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1,2,…，30的三十个小

球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选

7个号码的抽样方法是.

抽签法［三十个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，这是典

型的抽签法.］

令反思领悟简单随机抽样的适用范围

简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用

于个体数较多的情况）.

□考点二分层随机抽样修维探究

考向1求总体或样本容量

5

［典例1-1］某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身

体状况，采用分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取容量为〃的样本，其中高

中生有24人，那么〃等于（）

A.12B.18C.24D.36

n24

D［根据分层随机抽样方法知而不丽=丽，解得〃=36.］

考向2分层随机抽样及均值

［典例1-2］某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布

如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行

使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为；测试结果为第一、二、

三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时，980小时，1030小时，估

计这个企业生产的产品的平均使用寿命为小时.

501015［由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100X50%=50（件）.

由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命约为

1020X50%+980X20%+1O3OX3O%=1015（小时）.］

令反思领悟分层随机抽样中有关计算的方法

,几比W该层样本量〃该层抽取的个体数

（1）相忏比一总样本量N一该层的个体数.

（2）在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为加，平均值为x；第二层的样

本量为〃，平均值为），则样本的平均值为"萼.

m+n

一［跟进训练］一

1.（1）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设

了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学

生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如

下表：

高一年级高二年级高三年级

6

泥塑ahc

剪纸Xyz

3

其中x：y：z=5：3：2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的宗为了

了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则

从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人.

(2)某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为

了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本,

其样本平均数为170.2cm,抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0

cm,则该校高一学生的平均身高的估计值为cm.(结果保留一位有效数

字)

3

(1)6⑵166.4[⑴因为“泥塑”社团的人数占总人数的；，

2

故“剪纸”社团的人数占总人数的存

2

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50X§=20.

又“剪纸”社团中高二年级人数比例为二3匚上缶=w，

x+y+z2+3+510

3

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20X布=6.

(2)由题意可知,x=170.2,y=162.0,

且M=320,N=280,

1702

所以样本乎均效w-M+Nx+—320+280+320+280

X162.0^166.4(cm)

故该校高一学生的平均身高的估计值为166.4cm.]

□考点三统计图表《多维探究

考向1扇形图、条形图

[典例2—1]已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所

示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%

的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()

7

7x近视率（%）

八爆4中去

/350°^^000名\50---------------------1-

&30一1

4500名/10--]1|

'''--------’0小学初中高中年级

图甲图乙

A.100,10B.100,20C.200,10D.200,20

D[由题得样本容量为（3500+2000+4500）X2%=10000X2%=200,抽

取的高中生人数为2000X2%=40人，则近视人数为40X0.5=20人，故选D.]

考向2折线图

[典例2—2]2022年3月12日是全国第44个植树节，为提高大家爱劳动

的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1〜11班植树量的数据（单

位：棵），绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是（）

A.各班植树的棵数不是逐班增加的

B.4班植树的棵数低于11个班的平均值

C.各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数

D.1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳

C[从题图可知，2班的植树量少于1班，8班的植树量少于7班，故A正

确；4班的植数棵数为10,11个班中只有2、3、8班三个班的植树棵数少于10,

且大于5棵，其余7个班的植树棵数都超过10棵，且有6、7、9、10、11班五

个班的植树棵数都不少于15棵，将这五个班中的植树棵数各取出5棵，加到2、

3、8班中去，除4班外，其余各班的植树棵数都超过了4班，所以4班植树的

棵数低于11个班的平均值，故B正确；比6班植树多的只有9、10、11三个班，

其余七个班都比6班少，故6班所对应的植树棵数不是中位数，故C是错误的；

1到5班的植树棵数的极差在10以内，6到11班的植树棵数的极差超过了15,

另外从图明显看出，1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比

较平稳，故D正确.故选C.]

考向3频率分布直方图

8

[典例2—3](2021.全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年

收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方

图：

族率

组即

0.20叁士…...........

0.14-----------------------

0.10............................................................

0.04..........।......................................................1

。・。m一一―七+…kI.

2.53.54.55.56.57.58.59.510.511512.513.514.5lHcA/^76

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之

间

C[对于A,根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比

率约为(0.02+0.04)XIX100%=6%,故A正确；对于B,根据频率分布直方图

可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为(0.04+0.02+0.02+

0.02)X1X100%=10%,故B正确；对于C,根据频率分布直方图可知，该地农

户家庭年收入的平均值约为3X0.02+4X0.04+5X0.10+6X0.14+7X0.20+

8X0.20+9X0.10+10X0.10+11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=

7.68(万元)，故C错误；对于D,根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5

万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10+