2021届宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）附答案详解

2021届宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.全集U={123,4,5,6},M={2,3,4},1={4,5},则Q（MUN）等于（）

A.{1,3,5}B.{1,5}C.[116}D.{2,4,6}

2.i是虚数单位，复数z=W=（）

i-i'/

3,1.n1।3•

AA.-+-1B.-+71C.l+3iD.3—i

2222

3.下列命题中正确的个数（）

a

①“Vx>0,2x>sinx"的否定是3x0<0,2x0<sinx0"

②用相关指数R2可以刻画回归的拟合效果，R2值越小说明模型的拟合效果越好;

③命题“若a>b>0,则沥>遮>0”的逆命题为真命题；

④若-2（m+l）x+m+320的解集为R,则zn21.

A.0B.1C.2D.3

4.样本4,2,1,0,一2的标准差是()

A.1B.2C.4D.25

5.已知△4BC为等边三角形，0,设点P,Q满足回，S.冈，若冈，则回（）

A.0B.0c.SD.0

6.正方形4BCD中，E,F分别是4B,C。的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成120。的二面

角，则异面直线EF与4G所成角的正切值为（）

A.立B.3C.在D.亘

2424

7.已知偶函数f（x）的定义域为R,且在（一8,0）上是增函数，设m=/（-^）,n=/（2a2-a+l）（a6

o

R）,则m与n的关系是（）

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

8.两次购买同一物品，可以用两种不同的策略，第一种不考虑物品价格的升降，每次购买这种物

品所花的钱一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品数量一定.设第一种方

式购买的平均价格为a元，第二种方式购买的平均价格为b元，下列说法正确的是（）

A.a<6B.a<bC.a>bD.a>b

9.已知实数x,y满足《卫+Zv],若2=mx-y-3,且z20恒成立，则实数m的取值不可能为（）

2S5-

-1>0

A.7B.8C.9D.10

10.若当％=?时，函数/'（x）=Asin（x+9）（4>0）取得最小值，则函数y=/0一》）是（）

A.奇函数且图象关于点©,0）对称

B.偶函数且图象关于直线x=1对称

C.奇函数且图象关于直线x=3对称

D.偶函数且图象关于点G，。）对称

11.函数解=笫55蹦裒导&：的图像大致为（）

A.B.C.D.

A.AB.BC.CD.D

12.已知点F为双曲线E：l（a,b>0的右焦点，直线y=kx（k>0）与E交于M,N两点，若

MFJ.NF,设乙MNF=£,且56瞪，9则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A.[V2,V2+V6]B.[2,V3+1]C.[2,V2+V6]D.[V2.V3+1]

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.如图所示是某市2016年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQ/）小于100表示

空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某同志随机选择2月1日至2月12日中

的某一天到达该市，并停留3天.该同志到达当日空气质量优良的概率.

14.已知抛物线C：y2=2px的焦点为产，点4为抛物线C上横坐标为3的点，过点4的直线交x轴的正

半轴于点B,且AABF为正三角形，则「=.

15.在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=8，4=£,则角B等于

o

16.执行如图所示的程序框图，若输出的b值为16,则图中判断框内“？”处应填的数为

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知等差数列｛册｝和等比数列｛3｝满足：|的|=%1，瓦=b2=a5,b3=a6+1.

(1)求数列｛an｝、｛匕｝的通项公式；

(2)设d=an+3-bn+1,Sn=cT+c2+—+cn,不等式(TH-n)•bn+2+Sn<0对于任意的nGN*都

成立，求实数m的取值范围.

18.为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”

0050

网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名a

0.020

学生，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组：[40,50),

0.010

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示

0.005

的频率分布直方图.40506070SO90100分«!

(1)求a的值，并估计这100名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.

请将下面的2x2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有

关”？

优秀非优秀合计

男生40

女生50

合计100

n(ad-bc)2

参考公式及数据：K2=7i=Q+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

Pg>的)0.050.010.0050.001

k。3.8416.6357.87910.828

19.如图直三棱柱4BC-&B1C1的底面是边长为4的正三角形，E、F分别

是BC,CG的中点，

(1)证明：平面4EFJ■平面/BCG

(2)设48的中点为。，LCAyD=45°,求三棱锥F-力EC的体积.

20.已知函数/。)=与廿.

(I)若函数在区间(a,a+》(a>0)上存在极值，求实数a的取值范围;

(II)求证：当久21时，不等式/(x)>陪恒成立.

21.已知P(m,九)(m>0,九>0)为椭圆次+”=1上一点，Q,R,S分别为P关于y轴，原点，刀轴的

82

对称点，

(1)求四边形PQRS面积的最大值；

(2)当四边形PQRS最大时，在线段PQ上任取一点M,若过M的直线与椭圆相交于4B两点，且48中

点恰为M,求直线斜率k的取值范围.

22.已知曲线G的参数方程为二邕(t为参数)，曲线C2的参数方程为｛江需(0为参数).

72

(1)若G与。2相交于A、B两点,求|AB|；

(2)若把曲线C2上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到曲线C3,设点P是曲线上

的一个动点，求它到曲线Ci的距离的最大值.

23.已知正实数a、b满足：-+\=2y[ab.

ab

(1)求Q+b的最小值zn；

(2)在(1)的条件下，若不等式设-1|+|%-£|之加对任意实数》恒成立，求实数t的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：因为M={2,3,4},N={4,5},

所以MUN={2,3,4,5},

又全集U=口,2,3,4,5,6},

所以Cu(MuN)={/,6},

故选：C.

由题意和并集的运算求出MUN,再由补集的运算求出Q(MUN)

本题考查了补、交、并的混合运算，属于基础题.

2.答案：4

2-i_(2-i)(l+i)_3+i_31.

解析：解：Hi—~~~2+2：

故选：A.

将复数Z="的分子分母同乘以分母的共轨复数，即分母实数化即可.

1-1

本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数Z=共的分子分母同乘以分母的共扼复数是解题的关键,

1-1

属于基础题.

3.答案：C

解析：

本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的真假判断与命题的否定，训练了一元二次不等式的解

法，属于中档题.

写出全程命题的否定判断①；由相关指数的大小与拟合效果的关系判断②；由不等式的性质判断③;

由nix2—2(m+l)x+m+3>0的解集为R求得m的范围判断④.

w

解：对于①，"Vx>0,2x>sinx"的否定是"三沏>0,2x0<sinx0,故①错误；

对于②，用相关指数R2可以刻画回归的拟合效果，R2值越大说明模型的拟合效果越好，故②错误；

对于③，命题“若a>b>0,则赤〉沥>0”的逆命题为“若证>语>0,则a>b>0"，是

真命题，故③正确；

对于④，当m=0时，—2(m+l)x+m+320化为—2x+320,解得xW|,不合题意；

当mK0时，要使7n/-2(m+l)x+m+3>0的解集为R,贝；］)2_47nsi+3)v0，解得

m>1.

.,.若-2(m+l)x+m+3Z0的解集为R,则niNl,故④为真命题.

・•・正确命题的个数是2个.

故选：C.

4.答案：B

解析：解：这组数据的平均数是"2+；°-2=1,

这组数据的方差是9+3+1+9=4,

.•.这组数据的标准差是日=2

故选8.

首先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，把方差开算术平方数就得到这组数据的标准

差.

本题考查一组数据标准差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标

准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定.

5.答案：A

解析：试题分析：本题只要把向量S，S用向量冈和回表示出来，然后求出其数量积即

可求出区|.区|,叵］,同理叵|国区|回国，则区I叵］区|回，解得区I.选

考点：平面向量基本定理，向量的数量积.

6.答案：C

解析：

取BE中点H,连接HG、AH,我们可以先利用余弦定理求出△中的长，再在中求出HG

的长，由于N4HG即为异面直线E尸与4G所成角，解三角形直角4HG即可得到答案.

本题考查的点是异面直线及其所成的角，其中利用中位线进行平移的方法，求出异面直线EF与4G所

成角的平面角是解答本题的关键.

解：如右图所不：

D

取BE中点H,连接HG、AH,

•­•HG//EF

.•ZHG即为异面直线EF与4G所成角

设正方形ABC。的边长为2,则在A/IEH中，

AE=1,EH=AAEH=120°

,1c1V7

AH=Jl2+(-)2-2-l---cosl20°=—

•••EFL^-^AEHGH//EF

：.GH_L平面4EH

在RtA4EH中，tan4/HG="="

GH2

故答案为：立.

2

7.答案：B

解析：解：f(x)是定义域为R上的偶函数，且在(一8,0)上是增函数；

•••/(%)在(0,+8)上是减函数；

又2a2-a+1=2(a-；)2+H；

qoo

••./(2a2-a+l)<%)=/(-，

・•・m>n.

故选：B.

根据/(x)是R上的偶函数，并且在(-8,0)上是增函数得到f(%)在(0,+8)上是减函数，而配方即可得

出2a2—a+1>^,从而得出/'(-J)>/(2a2—a+1).

oo

考查偶函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性特点，以及减函数的定义，配方求函数最值的方

法.

8.答案：A

解析：解：设第一次和第二次购物时的价格分别为外,p2.

若按第一种购物策略，第一次花m元钱，能购;卜9物品，

P1

第二次仍花m元钱，能购rkg物品，

P2

2m1

则两次购物的平均价格为a=4亘=工巨；

PlP2PiP2

若按第二种策略，每次购九%，按这种策略购物时，两次的平均价格是:

PJl+P2n_m+如

2n-2

,2P1+P2_2Plp2P1+P2

则@一=早

2P1+P22

PlP2

_4plp2-(Pl+P2)2_(Pl-P2)2

<0.

2(PI+P2)2(PI+P2)

a<by

故选：A.

设第一次和第二次购物时的价格分别为P1，p2,分别求出按两种策略购物时的价格a与b,再由作差

法比较大小.

本题考查利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9.答案：A

x+3

艺+'VI的可行域如

255一

{X-1>0

图：

由修；症25,解得Sb由图。=25,

解得4(1,勺.

z=mx-y-3,且zN0恒成立，可知目标函数

z=mx-y-3,经过4时取得最小值，m---

3>0,

可得m>y.

则实数m的取值不可能为：7.

故选：A.

画出约束条件的可行域，利用目标函数的范围，转化求解m的范围，判断选项即可.

本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用.

10.答案：D

解析:

本题考查由y=4sin3x+s)的部分图象确定其解析式，求9是难点，考查正弦函数的奇偶性与对称

性，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.

由/0)=Asin^+cp)=可求得7：2A-7T€Z),从而可求得y=/《一切的解析式，利用

正弦函数的奇偶性与对称性判断即可.

解：:f(：)=Asin(^+<p)=-A,

■--+(p=2kn-

4,2

.-.<p=2kn-；^(fc€Z),

TT7137r

•••y=/q-x)=Asin(--x+2kn--)

=—Acosx,

令y=g(%)=-Acosx,

则g(r)=—Acos(—x)=Acosx=g(x),

・•.y=g(x)是偶函数，可排除4,C；

其对称轴为％=/nr,kSZ,对称中心为佐丁+：.()/€Z,可排除8；

令/c=0,x=19则函数的对称中心6,0)，

故选D.

11.答案：。

解析：试题分析：因为解=乐"随鼠霖样赢您为奇函数你，图像关于原点对称，B,C不符合，当笳=三

鬟

钳较钺

时，—=3>®>当第:=痢时，菽5哪孵坂#端㈱菽=-斑Y领，由此排除工，故选。.

%A%

考点：函数图像与性质.

12.答案:D

解析：

本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，考查化简运算能力，

属于中档题.

由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，取双曲线的左焦点F',连接MF',NF',可得四边形

MFNF，为矩形，由双曲线的定义和解直角三角形，结合余弦函数的图象和性质，即可得到所求范围.

解：由MF1NF可得|。叼=|0N|=|。用=c,

取双曲线的左焦点F',连接MF',NF',

可得四边形MFNF'为矩形，

即有|NF|=\MF'\=2ccosp,\MF\=2csinp,

由双曲线的定义可得2a=\MF'\-\MF\=2ccos^-2csinp,

_c_1_i

可得,acos0-sin0A/2COS(^+^)'

由*窣，可得6+台尊颗

即有cos(/?+：)e"j,

即有e的范围是「鱼,1+V3]，

故选：D.

13.答案：：

O

解析：

本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了学生的读图能力，是基础题.

由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案.

解：在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，

此人到达当日空气质量优良的概率P=[=；.

1Zo

故答案为：.

O

14.答案：2

解析：解：由题意可知，当8在焦点尸的右侧时，

"=3+今FD=3-2=>3-^=i(3+2)=>p=2,

当B在焦点F的左侧时，同理可得P=18,此时点B在％轴的负半轴，不合题意.

故答案为：2.

画出图形，通过B在解得尸的左侧与右侧，判断三角形的形状，转化求解P即可.

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题.

15.答案：割号

解析：解：利用正弦定理：号=白，

sinAsinB

人则y.T=—SEB,'

解得：sinB=—,

2

由于：0<B<兀且b>a,

则：8=?或§.

故答案为：B=g或季

首先利用正弦定理求出sinB的值，进一步利用三角函数的值求出结果.

本题考查的知识点：正弦定理的应用及三角函数的求值问题.

16.答案:3

解析：解：根据程序框图中的当型循环，设“？”处填i,可知：

若i=l,则第一次运行即退出循环，则输出的b的值为2,不合；

若i=2,则第二次运行即退出循环，则输出的b的值为4,不合；

若i=3,则第三次运行即退出循环，则输出的b的值为16,符合；

故答案为：3

由已知中的程序框图可得，本题是利用循环计算并输出变量b的值，根据输出的结果为16,及循环体

的循环语句，我们模拟程序的运行结果，即可得到答案.

本题考查的知识点是程序框图，其中在判断循环条件及写程序运行结果时，我们常采用模拟运行的

方法.

17.答案：解：(1)v|aj=|a5|,•••ar=+as,

当的=。5时，公差d=0,数列｛斯｝为各项均为的的常数数列,

.•.瓦=。4=&，b2=a5=ax,数列｛均｝为等比数列，的大0,

丝=空=1,巨=~=~1,

b]“«4b?a5arar

与数列｛%｝是等比数列矛盾，因此的力。5・

当Q]二一曲=一+4d)时,Q]——2d,

生="%+1=£5

》2-匕1'的一。4'

若等=器缪把%=Vd代入，整理，得

4d=3d+1,解得d=1,%x=—2d=—2,q=会=%==乡=2,

bAa4%+3db

瓦=%=%+3d=-2+3x1=1,

tin=%+(n—l)d=-2+lx(n—l)=n-3,

=瓦711

bnqn-i=i*2“T=2-.

二数列｛册｝的通项公式为即=n-3,

数列｛%｝的通项公式为与=2"T.

n-1

(2)an=n-3,bn=2,

ca

n=n+3'bn+i=n♦2",

23n

Sn=1-2+2•2+3•2+-+n•2,①

234n+1

2Sn=1-2+2•2+3•2+-+n-2,②

①一②，得23nn+1

-Sn=2+2+2+•••+2-n-2

=^l..ni

1-2n2+

=2n+1-2-n-2n+1,

n+1

.•.Sn=(n-l)-2+2,

n+1n+1

v(m-n)•bn+2+S71V0,・•・(m-n)-2+(n-1)-2+2<0,

•.m<1-/对于任意几GN*恒成立，而数列｛1-H为增数列，

(1一金)min=1

，

:m<-2.

解析：⑴当即=。5时，由已知条件推导出年=1,含=*力1，与数列也｝是等比数列矛盾；当

一。时，由已知条件推导出由此求出数列的通项公式为

«1=5=-2d,d=1,q=2,｛an｝0n=n-3,

数列｛当｝的通项公式为匕=2，T.

由题设知％n由此利用错位相减法求出n+1由此利用已知条件能够

(2)=n-2,Sn=(n-1)-2+2,

证明m<

本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及不等式的证明，解题时要认真审题,

注意错位相减法的合理运用.

18.答案：解:(1)由题可得(0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010)x10=1,

解得a=0.025.

45x0.05+55x0.1+65x0.2+75X0.3+85X0.25+95x0.1=74,

••・估计这100名学生的平均成绩为74；

(2)由⑴知,在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100X(0.25+0.1)=100X0.35=35人,

由此可得完整的2x2列联表：

优秀非优秀合计

男生104050

女生252550

合计3565100

•••K2的观测值％=100X(10X25-25X40)2=出“g.890>6,635,

35x65x50x5091

・••有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”.

解析：(1)利用频率和为1求解a值，再由矩形中点的横坐标乘以频率作和可得这100名学生的平均成

绩；

(2)由频率分布直方图填写2x2列联表，求出K2的观测值，结合临界值表得结论.

本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学

核心素养.是基础题.

19.答案：证明：(1)因为4E1B81，AE1BC,

所以力E1面B18CG，而AEu面4EF,

所以面4EF1面BiBCCi，

(2)取中点D,连接&D,CD,由题知4&=45。,

所以&D=CD=^-AB=2里,

2

在Rt△中，AA1=y/A^-AD=V12-4=2近，

所以FC=夜，故体积V=gs.AECXCF=乎.

解析：本题主要考查面面垂直的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理和体积公

式是解决本题的关键.

(1)根据面面垂直的判定定理进行证明即可.

(2)根据三棱锥的体积公式进行求解.

20.答案:(I)解:因为/。)=三竺。>0),则/'(%)=-詈。>0),

当0cx<1时，f'{x}>0：当x>1时，f'(x)<0；当％=1时，/'(X)=0.

所以函数6乃在(0,1)上单调递增；在(1,+8)上单调递减；

所以函数/Xx)在％=1处取得极大值.

因为函数在区间(a,a+；)(a>0)上存在极值，

所以1+工>1，解得*

(n)证明：当x21时，不等式f(x)>鬻，等价于空号卢也>2s讥X.

(x+l)(l+Znx)

记g。)=x(x>l)

所以9口)=空

令九(%)=x—Inx,则九'(%)=1—%

由％>1得"(%)>0,所以九(%)在［1,+8)上单调递增，

所以=九(1)=1>0,

从而“(%)>0.

故g(x)在口,+8)上是单调递增，所以=g(l)=2,

因为当％时，2sinx<2,所以g(x)22sinx,

又因为当x=1时，2sinx=2sinl<2,

所以当%>1时，g(x)>2sinx,即竺1个也也>2sinx,

所以当工31时，不等式/(%)>署恒成立.

解析：(I)求导数，确定函数/(%)在％=1处取得极大值，根据函数在区间(Q,Q+［)(◎>0)上存在

(a<l

极值，可得［+工即可求实数Q的取值范围；

(II)当％时，不等式/(%)>鬻，等价于(%+1)?+板)>2SM%,构造g(%)=竺1詈也QZ1),

证明g(%)在［L+8)上是单调递增,所以。=g(l)=2,即可得出结论.

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查学生分析解决问题的能力，

属于中档题.

22

21.答案：解：(1)由P在椭圆上得三+3=1,

82

n>0,由基本不等式得l=W+^22x/x/=詈,

SPQRS=2mx2n=4mn<8,当贮=—=工时取等号，

822

故当巾=2,