2021年山西省临汾市洪洞县中考数学二模试卷（含解析）

2021年山西省临汾市洪洞县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列数中比﹣2小的数是（）A．﹣ B．﹣3 C．0 D．22．现实生活中，对称现象无处不在，中国的方块字中也有些具有对称性，下列美术字既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．吕 B．人 C．甲 D．日3．下列运算正确的是（）A．2a3﹣a2＝a B．（a3）2＝a5 C．a3•a2＝a5 D．（a﹣1）2＝a2﹣14．在人类生活中，早就存在着收入与支出，盈利与亏本等具有相反意义的现象，可以用正负数表示这些相反意义的量．我国古代数学名著《九章算术》一书中也明确提出“正负术”．最早使用负数的国家是（）A．印度 B．法国 C．阿拉伯 D．中国5．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“绣”字所在面相对的面上的汉字是（）A．惟 B．愿 C．山 D．河6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．为大力发展现代农业，山西省连续多年整合各项相关资金设立了农田建设补助专项资金，用于支持高标准农田建设．2020年省级财政在许多支出大幅压减的情况下，仍下达农田建设补助资金约14.5亿元，与2019年相比增长率约为16%，则2020年比2019年农田建设补助资金增加了（）A．2亿元 B．2.5亿元 C．3亿元 D．3.5亿元8．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米 B．8米 C．10米 D．2米9．函数y1，y2与自变量x的部分对应值如表所示：x﹣6﹣4﹣20246y1﹣﹣2﹣442y2﹣4﹣202468下列结论：①y1是x的反比例函数；②y2是x的一次函数；③当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；④y1＞y2时，x＜﹣4．其中所有正确结论的序号是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②10．如图，在半径为2的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，折叠后的弧AB恰好与OA、OB相切，则阴影部分的面积为（）A．4﹣π B．4+π C．π﹣2 D．π+2二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．有理数2的平方根是．12．据国家医保局统计，2020年累计结算新冠肺炎患者医疗费用28.4亿元，28.4亿元用科学记数法表示为元．13．小明家的客厅地板如图所示，一个小球在地板上任意滚动，并随机停留在某块地板砖上，每块地板砖的大小质地完全相同，那么小球停留在黑色区域的概率是．14．如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的☆摆放而成，第1个图案有3个☆，第2个图案有7个☆，第3个图案有13个☆，第4个图案有21个☆，…按此规律摆下去，第n个图案有个☆（用含n的代数式表示）．15．如图，在矩形ABCD中，E，F为边AD上两点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A恰好落在BF上的A'处，且A′E＝A'F，再将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，使点C落在BF上的C'处，折痕交CD于点H，将矩形ABCD再沿FH折叠，D与C'恰好重合．已知AE＝，则AD＝．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：﹣（π﹣1）0﹣6tan30°+（﹣）﹣2．（2）化简：÷﹣．17．（7分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，过点C作CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：∠BAC＝∠BCE；（2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD的长．18．（9分）行业景气指数是综合反映某一特定调查群体或某一社会经济现象所处的状态或发展趋势的一种指标（景气指数＞100，处于景气状态；景气指数＜100，处于不景气状态）．2020年第四季度对千余家战略性新兴产业典型企业的调查结果显示，在一系列稳增长政策作用下，第四季度战略性新兴产业已经基本摆脱疫情带来的不良影响，各项指标全线上升．如图1是2020年第四季度部分新兴产业的行业景气指数及环比增速统计图（环比增速＝×100%）．（1）请根据统计图解答下列问题：①图中统计的七个行业中，环比增速的中位数是．②请你根据上面统计图中的数据，对统计的七个行业进行简单评价．（写出一条即可）（2）小明对上述七个行业中的新能源汽车行业最感兴趣，他上网查阅了相关资料，找到四个新能源汽车的图标（如图2），并将其制成A，B，C，D四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）．他将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到两张卡片恰好是“几何汽车”和“蔚来（NIO）”的概率．19．（7分）平遥牛肉久负盛名．据史料记载，清代时已誉满三晋．其制作工艺独特，用料讲究，所产牛肉营养丰富，具有扶胃健脾之功效．某特产店以每千克110元的价格购进一批平遥牛肉，当按每千克140元的价格出售时，平均每天可销售30千克．“十一”期间，为了尽可能扩大销售量，商家决定降价销售．经调查发现，每千克降价1元，每天可多卖2千克．若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价多少元？20．（8分）阅读与思考：如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．x年x月x日星期日．过直线外一点作这条直线的平行线．已知：如图1，点P为直线l外一点，求作：直线PQ，使得PQ∥l．今天，我们组的小明和小红的作法和我不同．小明：如图2，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交射线PA于点B；②直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交射线BC于点Q；③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线．小红：如图3，①在直线l上取A，B两点，作射线AP；②作∠PAB的角平分线AC；③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AC于点Q；④作直线PQ．则直线PQ就是所求作的直线．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？任务：（1）填空：小明的作法依据的一个数学定理是；（2）①使用直尺和圆规，根据小红的作法补全图3；（保留作图痕迹）②根据小红的操作过程，证明PQ∥l.21．（9分）随着精准扶贫政策的落地实施，小亮家所在的村落进行了整村搬迁，小亮同家人一起告别了祖辈们世代居住的窑洞，搬进了宽敞明亮的新房．他家的新房全部安装的是内倒式窗户．为帮助家人确定窗边家具摆放位置，小亮想要知道开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的水平距离．如图，小亮测得窗扇高度AB＝80cm，开启时的最大张角∠A＝22.5°，窗扇开启后的位置为AB'．（1）请根据这些数据帮助小亮计算开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离（不考虑窗扇的厚度，参考数据sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41）；（2）小亮的爸爸说：“咱家安装窗户总共花了4800元，隔壁小明家安装的是平移式窗户，他家窗户总面积比咱家多3平方米，但他家总共才花了3680元，咱家安装的这种内倒式窗户每平方米的价格是小明家安装的平移式窗户每平方米价格的1.5倍．”请你根据以上信息求出小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米多少元？22．（12分）综合与实践．问题情境：综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．实践操作：如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，点H为CF的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE．应用探究：（1）勤奋组：如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；（2）善思组：如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；深入探究：（3）创新小组：发现若连接BE，在旋转Rt△AEF的过程中，为定值，请你直接写出的值．23．（13分）综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DP⊥x轴，交抛物线于点D，交直线AC于点E，连接BE．（1）求直线AC的表达式；（2）在点P运动过程中，运动时间为何值时，EC＝ED？（3）在点P运动过程中，△EBP的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年山西省临汾市洪洞县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列数中比﹣2小的数是（）A．﹣ B．﹣3 C．0 D．2【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣＞﹣2，﹣3＜﹣2，0＞﹣2，2＞﹣2，∴所给的数中比﹣2小的数是﹣3．故选：B．2．现实生活中，对称现象无处不在，中国的方块字中也有些具有对称性，下列美术字既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．吕 B．人 C．甲 D．日【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、“吕”字是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、“人”字是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、“甲”字是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、“日”字既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．下列运算正确的是（）A．2a3﹣a2＝a B．（a3）2＝a5 C．a3•a2＝a5 D．（a﹣1）2＝a2﹣1【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A、2a3与﹣a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B、（a3）2＝a6，故本选项不合题意；C、a3•a2＝a5，故本选项符合题意；D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项不合题意；故选：C．4．在人类生活中，早就存在着收入与支出，盈利与亏本等具有相反意义的现象，可以用正负数表示这些相反意义的量．我国古代数学名著《九章算术》一书中也明确提出“正负术”．最早使用负数的国家是（）A．印度 B．法国 C．阿拉伯 D．中国【分析】根据负数的使用历史进行解答即可．【解答】解：最早使用负数的国家是中国．故选：D．5．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“绣”字所在面相对的面上的汉字是（）A．惟 B．愿 C．山 D．河【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，与“绣”字所在面相对的面上的汉字是山．故选：C．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：，解①得x≤1，解②得x＞﹣1．故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，在数轴上表示为：故选：C．7．为大力发展现代农业，山西省连续多年整合各项相关资金设立了农田建设补助专项资金，用于支持高标准农田建设．2020年省级财政在许多支出大幅压减的情况下，仍下达农田建设补助资金约14.5亿元，与2019年相比增长率约为16%，则2020年比2019年农田建设补助资金增加了（）A．2亿元 B．2.5亿元 C．3亿元 D．3.5亿元【分析】先根据2019年增长率为16%，以及2020年财政补助为14.5亿元，可列方程：（1+16%）x＝14.5，从而求出2019年财政补助，从而得到2020年比2019年多出来的金额．【解答】解：设2019年的补助资金为x亿元，则可列方程：（1+16%）x＝14.5，解得：x＝12.5，∴14.5﹣12.5＝2（亿元），故选：A．8．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米 B．8米 C．10米 D．2米【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．9．函数y1，y2与自变量x的部分对应值如表所示：x﹣6﹣4﹣20246y1﹣﹣2﹣442y2﹣4﹣202468下列结论：①y1是x的反比例函数；②y2是x的一次函数；③当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；④y1＞y2时，x＜﹣4．其中所有正确结论的序号是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②【分析】根据反比例函数的定义、反比例函数和一次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确．【解答】解：由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为8，所以y是x的反比例函数，因此①是正确的；x每增加2，y增加2均值变化，所以y是x的一次函数，因此②是正确的：当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，因此③是错误的；当x＝﹣4或x＝2时，y1＝y2，y1＞y2时，x＜﹣4或0＜x＜2，因此④是错误的，故选：D．10．如图，在半径为2的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，折叠后的弧AB恰好与OA、OB相切，则阴影部分的面积为（）A．4﹣π B．4+π C．π﹣2 D．π+2【分析】作O点关于AB的对称点O′，连接O′A、O′B，如图，利用对称的性质得到OA＝OB＝O′A＝O′B，则可判断四边形OAO′B为菱形，再根据切线的性质得到O′A⊥OA，O′B⊥OB，则可判断四边形OAO′B为正方形，然后利用正方形的面积减去扇形面积即可求解．【解答】解：如图，作O点关于AB的对称点O′，连接O′A、O′B，∵OA＝OB＝O′A＝O′B，∴四边形OAO′B为菱形，∵折叠后的与OA、OB相切，∴O′A⊥OA，O′B⊥OB，∴四边形OAO′B为正方形，∴∠AOB＝90°，∴阴影部分的面积＝S正方形AOBO′﹣S扇形AO′B＝22﹣π×22＝4﹣π．故选：A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．有理数2的平方根是±．【分析】根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，他们互为相反数即可得到结果．【解答】解：2的平方根为±．故答案为：±．12．据国家医保局统计，2020年累计结算新冠肺炎患者医疗费用28.4亿元，28.4亿元用科学记数法表示为2.84×109元．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：28.4亿＝2840000000＝2.84×109．故答案为：2.84×109．13．小明家的客厅地板如图所示，一个小球在地板上任意滚动，并随机停留在某块地板砖上，每块地板砖的大小质地完全相同，那么小球停留在黑色区域的概率是．【分析】直接求出以总面积和黑色区域的面积，再利用概率公式求出答案．【解答】解：设每块地砖的面积为1，所以总面积为24，黑色区域的面积为6，所以小球停留在黑色区域的概率为：＝．故答案为：．14．如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的☆摆放而成，第1个图案有3个☆，第2个图案有7个☆，第3个图案有13个☆，第4个图案有21个☆，…按此规律摆下去，第n个图案有（n2+n+1）个☆（用含n的代数式表示）．【分析】第1个图案有（1+2）个☆，第2个图案有（4+3）个☆，第3个图案有（9+4）个☆，第4个图案有（16+5）个☆，按此规律摆下去，即可得出第n个图案的个数．【解答】解：∵第1个图案有（1+2）个☆，第2个图案有（4+3）个☆，第3个图案有（9+4）个☆，第4个图案有（16+5）个☆，∴第n个图案的个数为：（n2+n+1）．故答案为：（n2+n+1）．15．如图，在矩形ABCD中，E，F为边AD上两点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A恰好落在BF上的A'处，且A′E＝A'F，再将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，使点C落在BF上的C'处，折痕交CD于点H，将矩形ABCD再沿FH折叠，D与C'恰好重合．已知AE＝，则AD＝+2．【分析】由折叠的性质得出△A'EF为等腰直角三角形，得出EF＝A'E＝2，∠EFC'＝45°，求出AF＝AE+EF＝+2，证明△ABF为等腰直角三角形，求出AB的长，证明△FDH∽△EAB，由相似三角形的性质得出，求出DF的长，则可得出答案．【解答】解：∵AE＝A'E，∴A'E＝，∵A'E＝A'F，∠EA'B＝∠EAB＝90°，∴△A'EF为等腰直角三角形，∴EF＝A'E＝2，∠EFC'＝45°，∴AF＝AE+EF＝+2，△ABF为等腰直角三角形，∴AB＝AF＝+2，∠ABF＝45°，∴∠ABE＝∠HBF＝22.5°，∵∠C'FH+∠AFB＝∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠C'FH＝∠ABF，又∵∠BAF＝∠FC'H，∴△FHC'∽△FBH，同理△ABE∽△FBH，∴△FDH∽△EAB，∴，∵DH＝C'H＝CH，∴DF＝AE＝，∴AD＝AF+DF＝+2．故答案为：+2．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：﹣（π﹣1）0﹣6tan30°+（﹣）﹣2．（2）化简：÷﹣．【分析】（1）根据二次根式的性质、零指数幂的意义，负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣6×+4＝2﹣1﹣6×+4＝2﹣1﹣2+4＝3．（2）原式＝×﹣＝＝．17．（7分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，过点C作CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：∠BAC＝∠BCE；（2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD的长．【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理的推论得到∠BCD＝90°，根据同角的余角相等证明结论；（2）根据正弦的定义求出CD，根据直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：连接CD，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DCE+∠D＝90°，∴∠D＝∠BCE，由圆周角定理得，∠D＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BCE；（2）解：∵∠BAC＝60°，∴∠D＝90°，∴∠DBC＝30°，在Rt△CDE中，sinD＝，∴CD＝＝＝2，在Rt△CBD中，∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝4．18．（9分）行业景气指数是综合反映某一特定调查群体或某一社会经济现象所处的状态或发展趋势的一种指标（景气指数＞100，处于景气状态；景气指数＜100，处于不景气状态）．2020年第四季度对千余家战略性新兴产业典型企业的调查结果显示，在一系列稳增长政策作用下，第四季度战略性新兴产业已经基本摆脱疫情带来的不良影响，各项指标全线上升．如图1是2020年第四季度部分新兴产业的行业景气指数及环比增速统计图（环比增速＝×100%）．（1）请根据统计图解答下列问题：①图中统计的七个行业中，环比增速的中位数是18.4%．②请你根据上面统计图中的数据，对统计的七个行业进行简单评价．（写出一条即可）（2）小明对上述七个行业中的新能源汽车行业最感兴趣，他上网查阅了相关资料，找到四个新能源汽车的图标（如图2），并将其制成A，B，C，D四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）．他将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到两张卡片恰好是“几何汽车”和“蔚来（NIO）”的概率．【分析】（1）①根据中位数的定义解答即可；②根据景气指数的高低来分析即可，答案不唯一；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出抽到两张卡片恰好是“几何汽车”和“蔚来（NIO）”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）①把这些数从小大排列在，最中间的数是18.4%，则中位数是18.4%．故答案为：18.4%．②答案不唯一，如：2020年第四季度高端设备行业的景气指数较高，处于景气状态；2020年第四季度节能环保行业的景气指数低于其他行业等．（2）根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中抽到两张卡片恰好是“几何汽车”和“蔚来（NIO）”的有2种，则抽到两张卡片恰好是“几何汽车”和“蔚来（NIO）”的概率是＝．19．（7分）平遥牛肉久负盛名．据史料记载，清代时已誉满三晋．其制作工艺独特，用料讲究，所产牛肉营养丰富，具有扶胃健脾之功效．某特产店以每千克110元的价格购进一批平遥牛肉，当按每千克140元的价格出售时，平均每天可销售30千克．“十一”期间，为了尽可能扩大销售量，商家决定降价销售．经调查发现，每千克降价1元，每天可多卖2千克．若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价多少元？【分析】设每千克应降价x元，则每千克的销售利润为（140﹣x﹣110）元，平均每天可销售（30+2x）千克，根据总利润＝每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合为了尽可能扩大销售量，即可确定x的值．【解答】解：设每千克应降价x元，则每千克的销售利润为（140﹣x﹣110）元，平均每天可销售（30+2x）千克，依题意得：（140﹣x﹣110）（30+2x）＝1000，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．又∵为了尽可能扩大销售量，∴x＝10．答：若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价10元．20．（8分）阅读与思考：如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．x年x月x日星期日．过直线外一点作这条直线的平行线．已知：如图1，点P为直线l外一点，求作：直线PQ，使得PQ∥l．今天，我们组的小明和小红的作法和我不同．小明：如图2，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交射线PA于点B；②直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交射线BC于点Q；③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线．小红：如图3，①在直线l上取A，B两点，作射线AP；②作∠PAB的角平分线AC；③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AC于点Q；④作直线PQ．则直线PQ就是所求作的直线．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？任务：（1）填空：小明的作法依据的一个数学定理是三角形中位线定理；（2）①使用直尺和圆规，根据小红的作法补全图3；（保留作图痕迹）②根据小红的操作过程，证明PQ∥l.【分析】（1）根据三角形中位线定理可得结论．（2）①根据要求作出图形即可．②证明∠PQA＝∠QAB，可得结论．【解答】解：（1）小明的作法依据的一个数学定理是三角形中位线定理．故答案为：三角形中位线定理．（2）①如图，直线PQ即为所求作．（2）理由：由作图可知，PA＝PQ，∴∠PAQ＝∠PQA，∵AC平分∠PAB，∴∠PAQ＝∠QAB，∴∠PQA＝∠QAB，∴PQ∥l．21．（9分）随着精准扶贫政策的落地实施，小亮家所在的村落进行了整村搬迁，小亮同家人一起告别了祖辈们世代居住的窑洞，搬进了宽敞明亮的新房．他家的新房全部安装的是内倒式窗户．为帮助家人确定窗边家具摆放位置，小亮想要知道开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的水平距离．如图，小亮测得窗扇高度AB＝80cm，开启时的最大张角∠A＝22.5°，窗扇开启后的位置为AB'．（1）请根据这些数据帮助小亮计算开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离（不考虑窗扇的厚度，参考数据sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41）；（2）小亮的爸爸说：“咱家安装窗户总共花了4800元，隔壁小明家安装的是平移式窗户，他家窗户总面积比咱家多3平方米，但他家总共才花了3680元，咱家安装的这种内倒式窗户每平方米的价格是小明家安装的平移式窗户每平方米价格的1.5倍．”请你根据以上信息求出小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米多少元？【分析】（1）过点B'作AB的垂线，垂足为C，根据平移的性质得出AB'＝AB，进而利用三角函数解答即可；（2）设小明家安装的平移式窗户每平方米价格为x元，根据题意列出分式方程解答即可．【解答】解：（1）过点B'作AB的垂线，垂足为C，可得窗扇顶端向屋内移动的水平距离为B'C，AB'＝AB，在Rt△AB'C中，B'C＝AB'•sin∠A≈80×0.38＝30.4（cm），答：窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离为30.4cm；（2）设小明家安装的平移式窗户每平方米价格为x元，根据题意得：，解得：x＝160，经检验，x＝160是原方程的根，1.5x＝240，答：小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米240元．22．（12分）综合与实践．问题情境：综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．实践操作：如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，点H为CF的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE．应用探究：（1）勤奋组：如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；（2）善思组：如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；深入探究：（3）创新小组：发现若连接BE，在旋转Rt△AEF的过程中，为定值，请你直接写出的值．【分析】（1）结论：△DHE是等腰直角三角形．利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可．（2）即可成立，连接BH，过点H作HG⊥AB于G．想办法证明DH＝BH，BH＝EH，∠DHE＝90°，可得结论．（3）利用相似三角形的判定和性质解决问题即可．【解答】解：（1）结论：△DHE是等腰直角三角形．理由：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDF＝90°，∠DCA＝45°，∵点H是CF的中点，∴DH＝DH＝HF＝CF，∵∠CEF＝90°，CH＝HF，∴EH＝CH＝HF＝CF，∴DH＝HE，∵DH＝CH＝HE，∴∠HCD＝∠HDC，∠HCE＝∠HEC，∵∠DHF＝∠HDC+∠HCD，∠FHE＝∠HCE+∠HEC，∴∠DHE＝2∠DCH+2∠HCE＝2∠DCA＝90°，∴△DHE是等腰直角三角形．（2）如图3中，结论成立．理由：连接BH，过点H作HG⊥AB于G．∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°∴A，F，A共线，∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCH＝45°，CH＝CH，∴△BCH≌△DCH（SAS），∴DH＝BH，∠CDH＝∠CBH，∵∠FEA＝∠HGA＝∠CBA＝90°，∴EF∥GH∥BC，∴＝，∵CH