专题10.1 基本计数原理（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第十章概率专题10.1基本计数原理1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．考点一分类加法计数原理考点二分步乘法计数原理考点三基本计数原理的综合应用基本计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．(2)分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．常用结论两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可题型一分类加法计数原理1．集合，，，，5，6，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数．若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则有，若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则有，合计，即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6个，故选：D.2．中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏､浙江､上海､安徽､福建､江西的武装力量.某日东部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架侦察机对台海空域进行侦查，已知江西有架侦察机，福建有架侦察机，则不同的分派方案共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【详解】根据题意，由分类加法计数原理，不同的分派方案共有种.故选：A.3．完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（

）A．6种 B．10种 C．4种 D．60种【答案】B【详解】根据分类加法计数原理，6+4=10.故选：B.4．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【详解】解法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．解法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．解法三：所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有个．在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是.故选：B.5．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（

）A．10种 B．12种 C．20种 D．36种【答案】A【详解】依题意，不同的选法共有种.故选：A题型二分步乘法计数原理6．把3个小球放入4个盒子中，共有（

）种方法.A．81 B．64 C．12 D．7【答案】B【详解】对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知不同放法共有（种）.故选：B.7．甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，每个人都有三种选择，则不同的游览方案种数为种.故选：B.8．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（

）A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【详解】将区域标号，如下图所示：因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法.故选：C.9．若3名学生报名参加天文､计算机､文学､美术这4个兴趣小组，每人选1组，则不同的报名方式有（

）A．12种 B．24种 C．64种 D．81种【答案】C【详解】由题意可得每个人都有4种选法，则由分步乘法原理可得不同的报名方式有种，故选：C10．2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（

）A．12种 B．24种 C．64种 D．81种【答案】C【详解】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有种.故选：C．题型三基本计数原理的综合应用11．如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（

）A．240 B．300C．420 D．480【答案】C【详解】以S→A→B→C→D的顺序分步染色．第1步，对S点染色，有5种方法．第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法．第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法．第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类．当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种．故选：C．12．李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有()A．24种 B．10种 C．9种 D．14种【答案】D【详解】分两类：第一类：选衬衣加裙子，共有种选法；第二类：选连衣裙，共有种选法，根据分类加法计数原理共有种选法.故选：13．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（

）A．90种 B．80种 C．60种 D．50种【答案】D【详解】根据题意，分2种情况讨论：①若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法：②若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法：则共有种选法.故选：D14．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种【答案】C【详解】如图，不同的布置方案分两类：当与布置相同的花卉时，先安排，有6种不同的选择；再安排与，有5种不同的选择；再安排，有4种不同的选择；最后安排，有4种不同的选择，共有种.当与布置不同的花卉时，先安排，有6种不同的选择；再安排与，有种不同的选择；再安排,有3种不同的选择；最后安排，有3种不同的选择，共有种.所以不同的布置方案有种.故选：C15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（

）A．120 B．420 C．300 D．以上都不对【答案】B【详解】分4步进行分析：①对于区域A，有5种颜色可选，②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;

③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,则不同的涂色方案有种;故选：B一、单选题1．用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（

）A．16 B．24 C．36 D．48【答案】B【详解】先从4个数中选1个排在百位，有4种；然后从剩下的3个数中选1个排在十位，有3种；最后从剩下的2个数中选1个排在个位，有2种；根据分步乘法计数原理可得组成无重复数字的三位数的个数为.故选：B.2．“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为（

）A．16 B．12 C．4 D．3【答案】A【详解】根据题意，声的情况有4种，击的情况也有4种，所以这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为.故选：A.3．有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（

）A．243 B．125 C．60 D．120【答案】A【详解】每名学生都有种选择方法，所以不同的报名方法的种数为.故选：A4．完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由分类加法计数原理得：.故选：A.5．现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（

）A．15种 B．31种 C．24种 D．23种【答案】D【详解】除100元人民币以外的3张人民币中，每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去5张人民币全不取的1种情况，所以共有种．故选：D.6．“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（

）A．72 B．108C．144 D．196【答案】C【详解】按题意，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．第一步，填上方空格，有4种方法；第二步，填左方空格，有3种方法；第三步，填下方空格，有4种方法；第四步，填右方空格，有3种方法.由分步计数原理得，填法总数为.故选：C.7．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（

）A．120种 B．114种 C．210种 D．216种【答案】C【详解】甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，选法有种，其中这3名学生所选活动课程全相同的选法有6种，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种．故选：C.8．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（

）A．16 B．20 C．24 D．28【答案】C【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，若以为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有个，若以为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有个，所以梯形的个数是个.故选：C.二、多选题9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（

）A．所有可能的方法有种B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种【答案】BC【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，故有种选择方案，错误；对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确；对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确；对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），错误.故选：BC10．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法【答案】ABC【详解】对于A中，从国画中选一副有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中选一副有7种不同的选法，由分类计数原理，共有种不同的选法，所以A正确；对于B中，从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有种不同的选法，所以B正确；对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有种不同的选法；若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有种不同的选法；若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有种不同的选法，由分类计数原理，可得共有种不同的选法，所以C正确；对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，根据分步计数原理，不同挂法的种数是种不同的选法，所以D错误.故选：ABC.三、填空题11．已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是．【答案】11【详解】设倾斜角为，，则，不妨设，则，若，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(与)，故这样的直线有条；若，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有条，从而，符合要求的直线有条．故答案为：11．12．H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有种．【答案】3407040【详解】因为汽车牌照号码中的前两个是英文字母，所以此处共有（种）排法，又因为英文字母后接4个数字且4个数字互不相同，所以共有（种）排法，根据分步乘法计数原理，这样的牌照号码共有（种）.故答案为：3407040.四、解答题13．袋子中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.有放回摸球两次，每次从袋子中随机摸出1个球(1)第一次摸到白球的概率；(2)两次都摸到白球的概率.【答案】(1)(2)【详解】（1）由于是有放回摸球两次的摸球，所以每次摸球都有5种选择，故摸球两次，所有可能的取法有种，第一次