2023年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷

2023年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示.若b>a,则b的值可以是（）

a

।।।।।।»

-3-2-10I23

A.-1B.0C.1D.2

2.太阳的体积约为IMHNNNNXNNKNNimil对立方千米,将1；HNNN太KNNI（体”**这个数用科学

记数法表示为（）

A.11.10B.1.4x1018C.1.1JD.illI.I，

3.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视/—7

图是（）—J

A.--------正面

B.

C.

D.--------——

4.不等式组长：：［>］一1的解集是（）

A.x>-1B.x<2C.-1<x<2D,无解

5.将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中乙1的大小为（）

A.100°B.105°C.115°D.120°

6.如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆4B的高度，点B、C在

同一条水平线上，测角仪在。处测得旗杆最高点4的仰角为a.若测

角仪CD=a,BC=b,则旗杆48的高度为（）

A.。

B.«

CUbCl

C.a+btana

D.a+上

tana

7.如图，4B是。。的直径，4c是弦，4。垂直于过点C的切线,

垂足为点。.若NC4。=37。，则4a4B的大小为（）

A.37°

B.53°

C.63°

D.74°

8.如图，在平面直角坐标系中，函数丫=£（卜>0/>0）的图象

经过4、B两点.连结4B、OB,过点4作AC_L久轴于点C,交。8于点

D.若I,；（SMBD=4,贝/的值为（）

A.2

C.4

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.分解因式：3/-6xy+3y2=.

10.若关于x的方程/+2%+巾=0有两个不相等的实数根，则僧的取值范围是.

11.如图，在平面直角坐标系％Oy中，点力（一2,0）,点8（0,1）.

将线段绕点8旋转180。得到线段BC,则点。的坐标

为.

12.如图，在AABC中，4B=AC.以点C为圆心，C4长为半径作

弧交4B于点。，分别以点4和点。为圆心，大于长为半径作弧，

两弧相交于点E,作直线CE,交AB于点F.若乙B=55。，则44c尸的

大小是度.

13.如图，。0是等边AABC的外接圆.若4B=2C，则能的长是

（结果保留兀）.

14.在平面直角坐标系中，点Z（m,%）、B（?n+1,为）在抛物线y=（x-I）之-2上.当月<丫2

时，抛物线上4、B两点之间（含4、8两点）的图象的最高点的纵坐标为3,则m的值为.

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题8.0分）

先化简，再求值：,」u1T1।小2。11,其中a=g.

16.（本小题8.0分）

某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“4（即兴演讲»（朗诵短文）、

C（电影片段配音）”这三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一

项进行测试.甲、乙两位同学报名参加了测试，请用画树状图（或列表）的方法，求这两位同学

恰好都抽到4（即兴演讲）测试项目的概率.

17.（本小题8.0分）

某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后，实际

每天比原计划每天多植树50棵，实际植树600棵所需时间与原计划植树450棵所需时间相同，

求实际每天植树的棵数.

18.（本小题8.0分）

图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶

点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要

求画图，不要求写出画法.

图①图②图③

⑴在图①中作N4BC的角平分线BD.

(2)在图②、图③中，过点C作一条直线CE,使点4、B到直线CE的距离相等，图②、图③所

画直线CE不相同.

19.(本小题8.0分)

如图，在四边形ABC。中，对角线AC与BD相交于点0,BD垂直平分AC,点E是OB上一点,

一旦4E4。=乙DCO.

(1)求证：四边形4ECD是菱形.

(2)若点E是OB的中点，CD=5,4C=8,则tanNABD的值为

20.(本小题8.0分)

为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对七年级300名学生全员开设了4、

B、C三类课程,经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习的效果，从中随机抽取20

名学生进行了检测.这三类课程的成绩均为百分制，抽取的20名学生4、8、。三类课程的成绩

情况统计图如下：

力课程

成绩(分)

图①图②图③

(1)例如：学生甲4类课程的成绩是60分，则该生B类课程的成绩是80分，C类课程的成绩是80

分.

①学生乙4类课程的成绩是98分，则该生C类课程的成绩是分.

②学生丙C类课程的成绩是45分，则该生三类课程的平均成绩是分.

(2)在图③中补全这20名学生B类课程成绩的频数分布直方图.

(数据分成7组：30〈x<40,40<x<50,50<x<60,60<x<70,70<%<80,80<

%<90,90<x<100)

(3)学校规定成绩在85分及以上为优秀，估计该校七年级学生4类课程成绩优秀的人数.

21.(本小题8.0分)

装有一个进水管和一个出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，6分钟时，再打开出水管

排水，16分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量y(升

)与时间分钟)之间的函数关系如图所示.

(1)进水管注水的速度为升/分钟.

(2)当6<x〈16时，求y与x之间的函数关系式.

(3)求a的值.

22.(本小题8.0分)

(1)【问题原型】如图①，在△ABC,AB=AC=5,BC=6,求点C到48的距离.

(2)【问题延伸】如图②，在AaBC,AB^AC=10,BC=12.若点M在边BC上，点P在线段

4M上，连结CP,过点P作PQ14B于Q,则CP+PQ的最小值为.

⑶【问题拓展】如图(3),在矩形4BCD中，AB=2，^点E在边4D上，点M在边4B上，点F在

线段CM上,连结EF.若ZBCM=30。,则的最小值为

图③

如图，在△力BC中，NC=90。，AC=BC=4,点。为边4c的中点点P从点C出发以每秒1个

单位的速度沿CB向终点B运动.以CP为边作正方形CPMN,点N在边4c上.设点P的运动时间为

t秒(t>0).

(1)用含t的代数式表示线段。N的长.

(2)连接CM,则I；，：度；当点D与点M的距离最短时，线段。N的长为.

(3)连接PD,当PC将正方形CPMN的面积分为3：5两部分时，求t的值.

(4)作点C关于直线。M的对称点C',当点C'、点M到△ABC的某一条直角边所在直线距离相等

时，直接写出t的值.

B

M

ND

24.(本小题8.0分)

在平面直角坐标系中，抛物线丫=3/+以+。经过点4(0,-1)和点8，1,5|.点「在直线48上

运动(点P不与点A、B重合)，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q.设点P的横坐标为m.

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.

(2)求线段PQ的长.(用含m的代数式表示)

(3)以PQ为边作矩形PQMN,使PN〃x轴，且点N的横坐标为2徵-1.

①当矩形PQMN的面积被坐标轴平分时，求m的值.

②当矩形PQMN的周长随小的增大而增大，且矩形PQMN的边与抛物线y=^x2+bx+c有两

个交点时，直接写出zn的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：观察数轴得：l<a<2,

b>a,

•••b的值可以是2.

故选：D.

观察数轴得：l<a<2,即可求解.

本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，根据数轴得到l<a<2是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：将“(NNKMHNfNN，”小川这个数用科学记数法表示为1.4X1018.

故选：B.

绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为ax10%n为正整数，且比原数的整数位数

少1,据此可以解答.

本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法表示绝对值较大的数一般形式

为ax10%其中1式同<10,n是正整数，正确确定a的值和n的值是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：从左边看，看到的图形分为上下两层，下面一层有2个正方形，上面一层右边有1个

正方形，即看到的图形为匚口

故选：A.

根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可.

本题考查了简单组合体的三视图，熟知从左边看到的图形是左视图是解答的关键.

4.【答案】C

【解析】解：解不等式2x+l>—l,得：x>-l,

解不等式3-X21,得：x<2,

则不等式组的解集为-1<xW2,

故选：C.

首先解两个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分即可.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

5.【答案】B

■■■AB//DE,

：./.ABC=Z.BED=30°,

又「^DEF=45°,

ABEF=75°,

•••Z1=180°-乙BEF=105°,

故选：B.

根据平行线的性质可得乙4BC=ABED=30°,再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得

41的度数.

此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等.

6.【答案】C

【解析】解：过点。作DE〃CB交4B于点E,

由题意得：tana=黑，

DE

/.AE=/

•DEBCb.

/.AE=btann

・・（7）=BEa

/.ABAE-^BE-b-tana

故选：C.

过点。作DE〃CB交4B于点E,根据仰角a的正切值解直角三角形，求出4E,最后再求解即可.

本题主要考查解直角三角形，熟练掌握构造直角三角形的方法并利用三角函数解直角三角形是解

决本题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：如图，连接0C.

由题意可知CD为。。的切线，

A0C1CD.

AD1CD,

：.OC//AD,

.\C()W37.

■：AO=CO,

/(I。..ICO37.

故选：A.

连接OC，根据切线的性质可得出OCJ_CD,从而可证。C〃4D,进而得出k'O-(]/)：C

最后根据等边对等角即得出.ICO：；7.

本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质.连接常用的辅助线是解题关键.

8.【答案】D

【解析】解：过点B作BElx轴，作BFJ.4C,

AC1x轴,

•••△OCD—AOEB,

PCODCD

,OEOBJiE

ODI

,Wb2

OCODCD11

'OE=OB~BE1+23

设点

r.OC=w.AC

OE=3m,

代入y一得：y=；,BPHE'',

CD-BE—,

3!>rn

AC（1）£Y,[“（）f：（）（■;（rrir„2>»,

mInn

••・S^ABD=4,

解得：k，

故选：D.

过点B作BE,%轴，作BF1AC,由平行线可得△OEB,即；:：;；；:,设点

A(m,^),可用含有k,m的代数式分别表示BE,BF,AD,根据SAAB。=4列方程求解即可.

本题主要考查反比例函数与相似三角形，熟练运用相似三角形对应边成比例的性质得到边的关系

并能利用面积列方程是解决本题的关键.

9.【答案】3(x-y)2

【解析】解:3x2-6xy+3y2,

=3(/-2xy+y2),

—3(%—y)2.

故答案为：3(x-y)2.

先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

10.【答案】m<1

【解析】解：根据题意得4=22—4m>0,

解得m<1.

故答案为m<1.

利用判别式的意义得到4=22-4m>0,然后解关于m的不等式即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a-+bx+c=0(a力0)的根与Z1=b2-4ac有如下关系：

当』>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方

程无实数根.

11.【答案】(2,2)

【解析】解：设C(m,n).

•••线段绕点B旋转180。得到线段BC,

AB=BC,

•••点4(-2,0),点

—2+m八0+n«

・•・一--=0,—=1,

・•・=2,n=2,

・・・C(2,2).

设C(m,n),根据题意构建方程组求解即可.

本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是学会利用参数解决问题即可.

12.【答案】20

【解析】解：由作图方法可知CF是线段AD的垂直平分线，

•••AAFC=90°,

v乙B=55°,AB=AC,

.\('H55，

/.BAC=180°-ZB-乙ACB=70°,

..Z.4(r!.H>ABAC211,

故答案为：20.

先根据作图方法得到CF是线段4。的垂直平分线，则乙4FC=90。，再根据等边对等角和三角形内

角和定理求出484c的度数，即可得到答案.

本题主要考查了线段垂线的尺规作图，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，

熟知相关知识是解题的关键.

13.【答案】5

【解析】解：连接。B,OC,过点点。作。D1BC交BC于点。，

.-.Z.BAC-Wi.I/?ACnc人1，

・・・Z-BOC=2Z,BAC=120°,

•・・。是圆心，ODLBC,

>)1).COD(ill.HD(D:BC=6,

•••OB=2,

12(yJ

二BC的弧长',

赧卜3

故答案为：g?r.

连接。8,0C,根据圆周角定理得到N80C=120°,所以△OBC为等腰三角形，过点。作OD1BC,

由含30。角的直角三角形的性质求出半径，然后根据弧长公式可计算出劣弧BC的长.

本题主要考查弧长的计算，利用垂径定理以及圆周角定理求出半径的长是解决本题的关键.

14.【答案】，石

【解析】解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为x=l,顶点坐标为(1,-2),

二当J，：1时，丫1>丫2，不符合题意；

当」1，I时，抛物线上4B两点之间(含4、B两点)的图象的最高点的纵坐标不可能为3,

不符合题意；

当,时，y随x增大而增大，

•••当x=rn+l时，函数值y=3,

即3UH-11),-2，

解得m-+y/~5,

"m>1,

m=V-5>

故答案为：A/-5.

根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及顶点坐标，然后分情况结合抛物线的增减性进行求解即

可.

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及增减性是解本题的关键.

15.【答案】解：原式2<<rli>,rM

-2a2-2-2a2-：Ja

=-3a—29

当a=!时，原式3.123,

J3

，化简结果为—3Q—2,值为—3.

【解析】先进行乘法运算，然后去括号，合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可.

本题考查了平方差公式，整式的运算，代数式求值.解题的关键在于正确的运算.

16.【答案】解：画树状图如下：

开始

/Nx1\

乙ABCABCABC

..Pl.4）；.

答：两位同学恰好都抽到4（即兴表演）测试项目的概率是1

【解析】用画树状图法求解两位同学恰好都抽到4测试项目的概率即可.

本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是计算概率的关键，事件发生的概率=事件发生

的次数+所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回.

17.【答案】解：设实际每天植树x棵.

根据题意，得驷=塔.

x%-50

解得x=200.

经检验，%=200是原方程的解，且符合题意.

答：实际每天植树200棵.

【解析】设实际每天植树久棵，根据题意可列方程缚=阴，然后计算即可.

xx-50

本题主要考查分式的应用，解题的关键是理解题意.

18.【答案】解：（1）由图可得：AB=BC,找到线段“中点，连接B点和中点的射线BD即是N4BC

的角平分线；

图①

(2)解：要使点4、B到直线CE的距离相等，即过点A、B向直线CE作垂线，垂线段距离相等;

故图②图③中的直线CE即为所求作.

r~

r

_B

图②图③

【解析】(1)根据等腰三角形三线合一即可做出；

(2)利用网格过点4B向直线CE作垂线，垂线段距离相等即可.

本题考查了作图，涉及等腰三角形的性质、平行线的性质等，理解题意，灵活运用所学知识是解

题关键.

19.【答案】|

【解析】(1)证明：:BD垂直平分4C,

：.AC1BD,0A=0C,

=^AOE=zCOD,

•••△AOE=LCOD,

••OE=OD.

・・•OA=OC,

•••四边形4ECD是平行四边形.

：.AC1ED,

••q4ECO是菱形.

(2)解：

C

D,

3

•••四边形4ECD是菱形，

又；CD=5,AC=8,

AO=OC=4,

,DOOC-v'5-I-3>

•••OD=OE=3,

•・・点E是OB的中点，

K)IH3，

•••OB=6,

vBD1AC,

…nOA42

t.m.

Oli63

故答案为:1.

(1)由BD垂直平分AC,得出/C1BD,OA=OC,可得出△AOE三△COD,由此可知。E=。。，根

据菱形的判定即可求证.

(2)由四边形AECD是菱形，AC=8,可知4。=0C=4,根据勾股定理求出0D=3,点E是OB的

中点，得出。8=6,即可求解.

本题主要考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定和性质是解此题的关键.

20.【答案】9065

【解析】解：(1)①由统计图可知，

若4类课程的成绩是98分，则该生C类课程的成绩是90分.

故答案为：90.

②由统计图可知，

若C类课程的成绩是45分，则该生B类成绩为70分，4类成绩为80分，

二平均成绩为<1'1.

故答案为：65.

(2)由统计图可知，

B类课程的成绩在50<x<60的人数为1人，分数在80<x<90的人数为6人.

补全频数分布直方图如图.

20名学生B类课程成绩的频数分布宜.力图

个频数(人数)

6

(3)分数高85分有5人;小17；人).

答：该校七年级学生4类课程成绩优秀的人数约为75人.

(1)①观察统计图可得出答案；

②观察统计图可得出答案.

(2)由统计图可知，B类课程的成绩在50<%<60的人数为1人，分数在80<%<90的人数为6人，

即可补全频数分布直方图.

(3)用七年级总人数乘以样本中A类课程成绩优秀的人数占比即可.

本题考查统计图、频数分布直方图、平均数、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

21.【答案】10

(UI

【解析】解：(1)进水管注水的速度为山升/分钟；

I，

故答案为：10

(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k*0),

将(6,60),(16,40)代入，得"")

解得：心,

与％之间的函数关系式为"L•72J./UH.

Hit-411

(3)根据题意得：IHl,I」，升/分)，

-<>

(1)观察图象得：6分钟进水管注水60升，即可求解；

(2)利用待定系数法解答，即可求解；

(3)先求出出水管排水的速度，再求出拍完40升水所用的时间，即可求解.

本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键

22.【答案】蔡4，3

【解析】解：(1)如图，过点4作ZD，BC于。，过点C作CHL4B于H.

-AB=AC,

BD1BC-'x(>3.

22

在Rt△ABD中，AD=VAB2-BD2=V52-32=4.

、,3=CH=,

“BCAD6x424

.1〃—

二点C到4B的距离为g.

(2)如图，连接CQ,过点4作4nlBC于D,过点C作CH_LAB于H.

c

BQHA

CPPQ-CQ,

CP+PQ的最小值等于CQ的长，

•.•当CQ1AB时，CQ的长最小，此时点Q与点H重合，

.1.CP+PQ的最小值等于CH的长，

••AB=AC,

BD'D(1>126.

22

在Rt△ABD中，AD=VAB2-BD2=V102-62=8.

、；，\AH(H\li('AD,

…BCAD12x84M

AH105

即CP+PQ的最小值为g；

故答案为：g

(3)如图，过点尸作FH1BC于点H,连接EH,过点E作EG1BC于点G,

在RtACFH中，/.BCM=30°,

CF=2FH,

「F-2EF=2///-2EF=2/H-EF]>2Hi,

的最小值等于2EH,

•.•当EHLBC时，EH的长最小，即2EH的长最小，此时点”与点G重合,

,('/•"T的最小值等于2EG,

•・•四边形4BCD是矩形，

:,AD//BC,AB1BC,

EG—.1Z?2\3>

2EG-1\3-

即('/_!/」的最小值等于4/3.

(1)过点4作ZD1BC于。，过点C作CH14B于“，根据等腰三角形的性质可得〃〃3,

再由勾股定理可得4。的长，再由、\\13(H\n('AD,即可求解；

(2)连接CQ,过点4作4D1BC于D,过点C作C"12B于H.根据题意可得CP+PQ的最小值等于CQ

的长，再由当CQ14B时，CQ的长最小，可得CP+PQ的最小值等于CH的长，再根据等腰三角形

[1

的性质可得。。1)(:，，再由勾股定理可得4。的长，再由、1J：,'ABCHB(AD,

£4/

即可求解；

(3)过点F作FH1BC于点H,连接EH,过点E作EG1BC于点G,根据直角三角形的性质可得在CF=

2FH,从而得到CF+2EF=2/II.2EF=2(F//+Ei2iH,继而得到('/I//的最

小值等于2EH,再由当EH1BC时，EH的长最小,即2EH的长最小，可得(/2上/.的最小值等

于2EG,即可求解.

本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰

三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键.

23.【答案】451

【解析】解：(1)由题可得：当0<tW2时，D\2，；

当2Vts4时，D.\t2.

(2)如图：连接MC,MD,

四边形CPMN是正方形，

.4:々，15,

在RtAMND中，D.V2,MN=t,

MD=y/XIN^+ND3=/e+(2—产=,02—=J*,_]产+2，

.,.当t=l,即。、2r-I时，MN有最小值.

(ZUi/,

.r\!xi),

解得：t=|.

②如图：当2<tW4时，D.\t2,CPMXPM，，CD=2,

、/…：/,「「/，'，•-2=t,

S^PDKM=*n.ViW.VY2.lr,

SNN'D，3

(，-1)，5'

(4)如图：当0cts2时，D\2，，点C'、点M到直线BC距离相等，即点C'、点M、点N在同

一条直线上，

•••四边形CPMN是正方形，

.•.△CNM是等腰直角三角形，即ZMCN=45。，

•••作点C关于直线DM的对称点C',

CMD^^(MD,

.1("15)CD=DC',

...vrND2!,

':2

.1)('/V'小一2炉、22T)，

72X2”2，

解得：t=2—7-2;

②如图：当0<tW2时，D.V2J,点C'、点M到直线AC距离相等，即点C'、点M、点P在同

一条直线上，

•・・作点C关于直线OM的对称点C',

.-.△CMD-AC.WD,

MC=MC'、,C'15，

•••四边形CPMN是正方形，

•••△CNM是等腰直角三角形，即NPMC=45°,

ZPA/C=zc*=r.

；.CM//DC,C/=限即「川・啰,

(D",

••・四边形是平行四边形，

MCCD2，

x-lt2，解得：t=C；

③当2cts4时，DXI2,点C'、点M到直线BC距离相等，即点C'、点”、点N在同一条直

线上，

•.•四边形CPMN是正方形，

CNM是等腰直角三角形，即4MCN=45°,

・・・作点C关于直线DM的对称点C',

CMDs.(\!X,

综上，当点C'、点时到^4BC的某一条直角边所在直线距离相等时，t的值为t=2--至或t=<2

或t=2+>J~2.

(1)直接根据题意分0<t<2和2<t<4两种情况解答即可;

(2)如图：连接MC,MD,根据正方形的性质可得一"「.IL.C15,然后根据勾股定理列出

MD的表达式，再根据配方法即可解答：

(3)分0<tW2和2<tS4两种情况，分别画出图形，再根据图形以及已知条件列式计算即可；

(4)分0<t<2和2<tW4两种情况，分别运用正方形的性质