2023届四川省西昌一中高三第一次诊断性检测数学（理）试题

2023届四川省西昌一中高三第一次诊断性检测

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第n卷（非选择题），共4页，满

分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题

卡上，并检查条形码粘贴是否正确.

2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书

写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后，将答题卡收回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.已知复数Z满足下一+1,5是Z的共规复数，则Z+5等于（）

A.-2iB.-2C.-4iD.-1

2.

从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下.由此可

估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论正确的是（）

甲班乙班

1512

3206337

63372

218123

392

A.甲班数学成绩的中位数比乙班大

B.甲班数学成绩的平均值比乙班小

C.甲乙两班数学成绩的极差相等

D.甲班数学成绩的方差比乙班大

3.设集合A=|-l,2°,e叱下—卜B=jl,2,lne3,—L则AcB的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

4.设xeR,向量a=(x,l),b=(1,-1),且a工匕,则,-。卜()

A.1B.y/2C.且D.2

5.

已知尸为抛物线丁：尸=2〃/（〃>0）的焦点，过尸作垂直x轴的直线交抛物线于M、N两点

,以MN为直径的圆交了轴于C,O两点，若|CD|=2G,则T的方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=2^3xD.y2=6x

6.

M+%）=-b

一元二次方程云+c=0的两根A.应满足-，这个结论我们可以推广到一元三次

x}x2-C

方程中.设方,马,工3为函数〃力=%3-6三+11%-6的三个零点，则下列结论正确的是。

A.百+*2+工3=_6B.X]%2+玉%3+*2%3=-11C.%/2工3=-6D.

11111

—+—+—=—

%x2x36

7.

我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了着名的望海岛问题：今有望海岛，立

两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直.从前表却行一百二十三步，人目着

地取望岛峰，与表末三合.从后表却行一百二十七步，亦与表末三合.问岛高及去表各几何

.这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年.其大意为：测量望海岛AB的高度及海

岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆。E,FG（AB,DE,kG共面，均垂直于地面

），使目测点”与8，3共线，目测点C与B,尸共线，测出E”，GC,EG,即可求出岛

高AB和AE的距离（如图）.若DE=FG=3,EH=1,HC=12,GC=9,则海岛的高

AB=（）

02/32

8.

如图，在棱长为6的正方体ABC。-4耳GA中，。是底面正方形ABCO的中心，点M在

上，点N在4片上，若ONLAM,则。M=（）

ab,、8

9.定义,已知数列｛%｝为等比数列，且%=2,；°=°，则%=<>

CCl^

A.272B.±2也C.4D.±4

10.

小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有A,B,。三道题且每个问题的回答结果相互独立

.已知三道题的分值和小明答对每道题的概率如表：

A题分值：3分8题分值：3分C题分值：4分

答对的概率0.60.50.4

J"）、（）

记小明所得总分为X（分），贝।

P（X=10）

5「3「11r55

A—B.—C.—D.—

22156

11.已知函数/（x）=sin2（（y龙一5「cos（（yx+技）（口〉0）,关于函数/（x）有如1

①“X）的最小正周期是，

②若“X）在X、处取得极值，！则。=1；

③把/（x）的图象向右平行移动二卜个单位长度，所得的图象关于坐标原点对称;

22q

④/(X)在区间0,-上单调递减，则区的最小值为

_。」aco2

其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

12.已知/(x)=e*-必有两个零点看,马(百ex?)，g(x)=----x+\,则()

A.a<eB.8㈤+8㈤〉。

Cg(xJ-g(X2)>0D.2g(xl)-g(x2)+g(x2)<0

第H卷(非选择题，共90分)

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

x+y-240

13.设变量x,N满足约束条件「->+220,则目标函数z=x+y的最小值为

x+2y-2>0

14.11-£|。+1)6展开式中/的系数为.(用数字作答).

15.

把正整数按如下规律排列：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,……，构成数列{%},则

16.

22.炉J

如图,已知椭圆G：»1,C2若由椭圆C1长轴一端点P

和短轴一端点。分别向椭圆。2引切线网和QT，若两切线斜率之积等于-；，则椭圆的离

心率e=.

三、解答题.(解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分)

04/32

17.2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFAWorldCup

Qatar2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也

是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔

尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办

的世界杯足球赛.为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行

调查，其中女生中对足球运动没兴趣的占女生人数畤，男生有5人表示对足球运动没有兴

趣.

（1）完成2x2列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别

有关”?

有兴趣没兴趣合计

男60

女

合计

（2）从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽出6名学生，记从这6人中随

机抽取3人，抽到的男生人数为X,求X的分布列和期望

P(K2*k。)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

n(ad-be)2

K2〃=Q+Z?+c+d

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)，

18.

如图，在直三棱柱AB©中，AB=CC}=3,BC=4,AC=5,AE=AAA,,D为

8C的中点.

(1)当/l=g时，求证：AD〃平面BGE；

(2)CQ与平面8GE所成角为凡求sin6的取值范围.

44

19.在锐角_43c中，角A,B,C所对的边分别为a也c,Z?-csinA=acosC.

(1)求A；

(2)若6=2,求一ABC面积的取值范围.

20.

22(

已知A,B分别是椭圆C:2+方=1(。＞。＞0)的上下顶点，|AB|=2,点［1,+J在椭圆c上

,。为坐标原点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/与椭圆C交于x轴上方两点M,N.若弱.瑞=T,试判断直线/是否过定点？若

是，求出定点坐标；若否，说明理由.

21.已知函数/(x)=gx2-(x+i)］n(x+l)+x+"

(1)g(x)是〃》)的导函数,求g(x)的最小值;

(2)已知〃eN*,证明：1+g+g+L+，＞+

(3)若x*-xlnx+(2-a)x-l20恒成立，求”的取值范围.

请考生在第22、23两题中选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的

第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

［选修4-4：坐标系与参数方程］.

06/32

22.

x—cosa

在平面直角坐标系xOy中，曲线C参数方程为个为参数），以坐标原点。为

极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cos（e-亚.

（1）求直线/的直角坐标方程与曲线c的普通方程；

（2）P是曲线。上的点，求P至卜距离的最大值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数〃x）=k-2%|2x+8］.

（1）求不等式的解集；

（2）若/（力2/一。恒成立，求实数a取值范围.

2023届四川省西昌一中高三第一次诊断性检测

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第n卷（非选择题），共4页，满

分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题

卡上，并检查条形码粘贴是否正确.

2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书

写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后，将答题卡收回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

i-3i=1+，

1.已知复数z满足丁一+\N是z的共枕复数，则z+5等于（）

A.-2iB.-2C.-4iD.-1

【答案】B

【解析】

【分析】化简等式得到Z,计算得到共拆复数彳，即可得到Z+2的值.

【详解】解：由题意

在上a=i+i中，

Z

l-3i(l-3i)(l-i)3i2-4i+l4i+2,~

Z==-777T-=彳==-1-21

l+i(l+i)(l-i)1-i22

/.z=-l+2i

/.z+z=-l-2i-l+2i=-2

故选：B.

2.

从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下由此可

估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论正确的是（）

甲班乙班

1512

3206337

63372

218123

392

A.甲班数学成绩的中位数比乙班大

B.甲班数学成绩的平均值比乙班小

C.甲乙两班数学成绩的极差相等

D.甲班数学成绩的方差比乙班大

【答案】A

【解析】

【分析】A选项，根据中位数的定义计算出甲乙两班的中位数，比较大小;

B选项，根据平均数的定义计算出甲乙两班的平均数，比较出大小；

C选项，根据极差的定义计算出甲乙两班的极差，两者不相等；

D选项，由茎叶图分析可得到甲班数学成绩更集中在平均数的周围，故方差小.

【详解】甲班的数学成绩中位数为空9=73,乙班的数学成绩中位数为"2=

69.5,

甲班数学成绩的中位数比乙班大，A正确；

51+60+62+63+73+73+76+81+82+93

甲班的数学成绩的平均数为=71.4,

10

51+52+63+63+67+72+81+82+83+92

乙班的数学成绩的平均数为=70.6

10

08/32

故甲班数学成绩的平均值比乙班大，B错误；

甲班的数学成绩的极差为93-51=42,乙班的数学成绩的极差为92-51=41,

故甲乙两班数学成绩的极差不相等，C错误；

从茎叶图中可以看出甲班的成绩更加的集中在平均数71.4的附近，而乙班的成绩更分散，没

有集中到平均数70.6的附近，

故甲班数学成绩的方差比乙班小，D错误.

故选：A

3.设集合4=卜1,2°,朋2,当卜5={l,2/ne3,手),则AcB子集个数为()

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据对数的运算性质化简集合，从而得到A8=八2,殍},再求子集个数即

可.

所以AB=n,2,—kAcB的子集个数为23=8.

故选：C

4.设xeR,向量"=(x』)，b=(1,-1),lb»则,一同=()

A.1B.41C.6D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示求x,再由向量减法的坐标表示和模的坐标表示求k-可.

【详解】因为a=(x,l),b=(l,-1),且皿，

所以—1=0，所以x=l,则a-b=(0,2),可得|a-6|=*2+22=2.

故选：D.

5.

已知厂为抛物线T：y2=2px（p＞0）焦点，过F作垂直x轴的直线交抛物线于“、N两点，

以MN为直径的圆交＞轴于C,。两点，若|8|=26,则T的方程为。

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=2\［?＞xD.y~=6x

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，〃为半径的圆，根据弦长公式即得.

【详解】由题可知尸1,0）,由x=g可得：/=加,

所以|MN|=2〃，所以以MN为直径的圆的半径是P,圆心为

所以［乎］=/，P＞。，

解得P=2,

所以抛物线方程V=4x.

故选：B.

6.

X+修=-b

一元二次方程V+hx+C=O的两根玉,尤2满足,，这个结论我们可以推广到一元三次

x{x2=C

方程中.设不工2，尤3为函数/（力=^-6/+15-6的三个零点，则下列结论正确的是（）

A.尤1+%2+无3=-6B.+玉毛+X2±l=-11C.尤3=-6D.

X1x2尤36

【答案】D

【解析】

【分析】ax'+hx2+cx+d=0（。。0且＜7。0）的三个实根分别为%,工2,工3，依题意可得

g_xj（x_毛）（X-三）=0,再根据整式的乘法展开，再根据系数相等即可判断.

【详解】iSax3+bx2+cx+d=0且dwO）的三个实根分别为m，赴,七,

10/32

所以々（工一玉乂工一七乂工一壬^二。，

所以&V-（%+x2）x+xix2］（x-x3）=0,

所以以3一。（尤|+九2+工3）12+。（犬|工2+工2尤3+%刍）工一%2/3二。，

所以OXA

-a(X]+x2+x3)=b,a{xxx2+x2x3+x1x3)=c,-¥I23=d,

即X+W+W=-2,x1x2+马当+%七=—中洛=一£

a-——a

所以1।1।1=々丹+%七+再%2="=。，

%x2x,_dd

a

所以函数/(x)=Y-6工2+11X—6中X]+/+X3=--=6,xx+xx+xx=-=11,

a[2[323ci

中2七=_4=6,11

a~6

故选：D

7.

我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了着名的望海岛问题：今有望海岛，立

两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直.从前表却行一百二十三步，人目着

地取望岛峰，与表末三合.从后表却行一百二十七步，亦与表末三合•问岛高及去表各几何

.这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年.其大意为：测量望海岛A3的高度及海

岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆DE,FG（AB,DE,对共面，均垂直于地面

），使目测点〃与B，。共线，目测点。与8,产共线，测出E”，GC,EG,即可求出岛

高AB和AE的距离（如图）.若DE=FG=3,EH=1,HC=12,GC=9,则海岛的高

AB=（）

A.18B.16C.12D.21

【答案】A

【解析】

DEEH墨=%，结合条件即得.

【分析】由题可得益=而

ABAC

【详解】由题可知。E//AB,FG//AB,

g”DEEHFGGC

所以罚=而‘益=就'又DE=FG=3,EH=7,HC=12,GC=9,

所以..-------,---=---------

ABAE+7ABAE+7+12

解得A£=35,AB=18.

故选：A.

8.

如图，在棱长为6的正方体AB。。-44GA中，。是底面正方形ABC。的中心，点M在

上，点N在4耳上，若ONLAM,则。M=（）

A.1B.2C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为x、丁、z轴建立空间直角坐

标系，设点N（6,〃,6）,M（O,O,/n）,其中0<«<6,由OMAM=0求出的值

,即可得解.

【详解】以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示

的空间直角坐标系，

12/32

则A(6,0,0)、0(3,3,0),设点N(6,〃,6),M(0,0,m),其中0<n<6,

AM=(-6,0,m),ON=(3,“—3,6),

因为QV_LAM,则ON-AM=3x(-6)+6加=0,解得机=3,故DW=3.

故选：D.

ab,、a,8

9.定义=ad—bc,已知数列｛4｝为等比数列，且%=2,=0,则%=()

Cdo

A2V2B.+2V2C.4D.±4

【答案】C

【解析】

【分析】根据新定义及等比数列的性质运算即得.

CL8

【详解】因为。6=0,

8«8

所以纥/-64=0,即姆=64,又｛叫为等比数列，%=2,

所以%，%，%同号，%=8,又

所以。5=4.

故选：C.

10.

小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有A,B,。三道题且每个问题的回答结果相互独立

.已知三道题的分值和小明答对每道题的概率如表：

A题分值：3分8题分值：3分。题分值：4分

答对的概率0.60.50.4

P（X=3）

记小明所得总分为x（分），则M去=（）

r0[A=1（JJ

5八311「55

AA.-B.-C.—D.—

22156

【答案】A

【解析】

【分析】由概率乘法公式分别求出尸（X=3）,P（X=10）,由此可得结论.

【详解】由已知P（X=3）=0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.6=0.3,

p（X=10）=（）.6x0.5x0.4=0.12,

所以P（X=3）_5

所以P（X=10）2,

故选：A.

11.已知函数〃x）=sin2（0x—3—cos?（8+技）（0>0）,关于函数/（x）有如下四个命题：

①“X）的最小正周期是今

②若"X）在处取得极值，则0=1;

③把/（x）的图象向右平行移动焉个单位长度，所得的图象关于坐标原点对称；

④4工）在区间近二]上单调递减，则的最小值为。.

_。」act）2

其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得/（x）=cos（25）,根据余弦函数的图象和性质可判断①②，根据图象变

换规律及三角函数的性质可判断③，根据函数的单调性可得过然后根据对勾函数的性

a2

质可判断④.

14/32

【详解】因为/(尤)=5抽213-5卜852妙+/卜85%%-5m％尤=©05(28),

所以“X)的最小正周期是得=5,故①正确；

若/(x)在x=5处取得极值，则即=航，左eZ,即3=女,keZ,又。＞0,故＜y=%Z:eN",

故②错误；

把/(力的图象向右平行移动5个单位长度，可得

y=cos2。(龙一-cos^2a)x-^=sin(2°x),

因为sin(-2ox)=-sin(25),故函数为奇函数，图象关于坐标原点对称，故③正确；

由xw0,—,可得2。无€0,2工-TT

又/(X)在区间0，/上单调递减，

aa

则泗〈兀，即0＜q4?，根据对勾函数的性质可知匕应_=@+故④正确；

aa2act)o)a2

所以真命题的个数为3.

故选：C.

12.已知/(x)=e'-依有两个零点％,々(石＜W)，g(x)=~---x+\,则()

A."eB.g(xJ+g(w)＞0

c.g&)-g(w)＞。D.2g(x,).g(X2)+g(X2)＜。

【答案】B

【解析】

【分析】对于选项A,通过令〃x)=O,构建新函数/z(x)=F，求导解出〃(x)=F的单调性

，再结合有两个不同零点即可得出〃与e的大小关系；

对于选项C,通过对g(x)求导得出单调性，再由对称定义得出g(x)关于0,0)对称，得出

g(%)＜。且g(%)＞0,即可判断；

对于选项D,通过对/(x)零点的分析结合选项A中的证明，得出0<不<1<W，结合选项C中

的证明利用单调性得出g(%)>g(0)=-g即可判断；

对于选项B,结合选项C,D中的证明，构造新函数i(x)=〃(x)-〃(2-x),求导再构造得出

i(x)的单调性即可由0<玉<1<々于单调性得出％+xi〉2,即可证明4比4离x=l远，再结

合对称性得出|g(X2)|>|g(5)|，即可判断.

【详解】对于选项A：

令/(x)=e*-办=0,

ex

贝|Jex=ax>B|Ja=—，

x

x

令M%)=一e,

则〃,(力=三二=巴善1,

则当x>l时〃'(x)>0,当x<l时〃'(x)<0,

x

则/2(力=e?在X>1时单调递增，在尤<1时单调递减,

,

则〃(X)疝n=〃(l)=Te=e,

则当〃x)=e'-⑪有两个不同零点时，«>e,

故选项A错误；

对于选项B：

g(x)=W-彳-龙+1，

则/(x)=2V-Iln2+21-rln2-l=ln2(2X-1+2I-J)-1,

X

由基本不等式可得2'T+2'->2,

则In2(2i+2i)221n2>l,

则g，(x)>0,则g(x)再定义域上单调递增,

16/32

/、/、2V+I22-x+I2

g(x+l)+g(r+l)=-^---^-x-l+l+---^r+x-l+l=O,

则g(x)关于(LO)对称，

令/(x)=e，-3=0,贝

e*>0,且由选项A得知。>e,

.,.当/(x)=e*-ar=0时，解得的x>0,即玉、x2>0,

由选项A中可知/z(x)=^在％>1时单调递增，在x<l时单调递减,

当/(x)=e*-必有两个零点看,工2(石<七)时，

则0<X[<1V尤2，

则g(xj<()，且g(%)>0,

令i(x)=〃(x)_〃(2-x),且0cx<1,

2-x

则皿=J)隹-己

7

令/(x)=W(O<x<l),

则/'(x)=e'(；[2)<0,

即/(X)在(0,1)上单调递减,

xe(0,l),

:.x<2-x,

x

ee2r

>0,

/(2-x)2

则i'(x)<o,

即i(x)在(0,1)上单调递减,

z(x)>z(l)=0,

即/?(x)>/?(2—%),

0<Xj<1,

/z(x1)>/i(2-x1),

，

〃(W)>〃(2—xj,

x2>l,2-玉>1,〃(x)在(1,物)上单调递增，

x2>2-Xj,即玉+马>2,

则々比X]离X=1远，

则|g(尤2)|>|g&)|，

则g(X1)+g(x2)>。，

故选项B正确；

对于选项C：

由选项B中可知gG)<0,且g(%)>0,

则g(%),g(w)<o,

故选项c错误；

对于选项D：

2g(%)-g(w)+g(x2)=g(引｛2ga)+l]

由选项B中可知g(x)再定义域上单调递增，且g(&)>0,0<%<1,

则g(xJ>g(O)=-g，

则2g(%)+1>0,

则2g(%"(马)+8(X2)>0

故选项D错误；

故选：B

【点睛】导函数中常见的解题转化方法：

18/32

（1）利用导数研究含参函数的单调性，常转化不等式恒成立问题，需要注意分类讨论与数

形结合思想的应用；

（2）函数零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极值问题处理.

难题通常需要多段求导或构造函数，这时需多注意函数前后联系.

第n卷（非选择题，共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

x+y-240

13.设变量X,，满足约束条件x-y+2N0,则目标函数z=x+y的最小值为.

x+2y-2>Q

【答案】|

【解析】

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合直线在V轴上的截距，确定目标函数的最优

解，代入即可求解.

x+y-2<0

【详解】画出约束条件<x-y+220所表示的平面区域，如图所示，

x+2y-2>0

目标函数2=》+丁，可化为直线y=-x+z,

当直线y=-x+z过点c时在y上的截距最小，此时目标函数取得最小值，

（、

又由x+2y—2=0,解得°卜<2天4三，

x—y+2—0y33/

所以目标函数z=x+y的最小值为2*='2+14=：2.

故答案为：

14.11-l|（x+l）6展开式中V的系数为_________.（用数字作答）.

VX）

【答案】5

【解析】

【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可.

【详解】因为（x+碟的展开式通项为心=禺产"

所以n=C>3,4=C*4.

故展开式中V的系数为C：-或=20-15=5.

故答案为：5.

15.

把正整数按如下规律排列：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,……，构成数列{q},则

旬=----------

【答案】13

【解析】

【分析】根据正整数排列规律结合等差数列求和公式即得.

【详解】由题可知正整数按1个1,2个2,3个3,……，进行排列,

因为1+2++.=电+1）,当攵=13时，攵（攵+1）=9],

22

所以%=13.

故答案为：13.

16.

如图，已知椭圆G：*■+£=1,x2y2

=t(a>b>0,0<t<l).若由椭圆C长轴一端点p

和短轴一端点。分别向椭圆。2引切线依和QT，若两切线斜率之积等于-；，则椭圆的离

心率e=.

20/32

【答案】—

2

【解析】

【分析】设切线PR：y=K(x+a),QT-.y=k2x+b,联立椭圆方程根据判别式为零结合条件

可得.=,，然后根据离心率公式即得.

a22

【详解】由题可知。(一。,0),Q(0,。),

设切线PR：y=4（x+a）,QT:y=k2x+b,

y=^（x+a）

由，尤2,2,可得（好/+人2卜2+2（2a3x+K2a4—s2b2=0,

.LL

所以△=（26（打2-4（6/+。2）（/2/Ta2b?）=（）,

i2

整理可得号=卢二

(IT)。

y=k2x+b

2

由y,可得72b2+24242A^〃方―幻2〃2=0,

所以△=（2%24%）2-4（%；/+。2）（。2》2_的%2）=0,

整理可得仁嘿,

又两切线斜率之积等于-;,

所以将£=湍/噜4曜4

所以62="=匕£=1一4」，又ee（O,l）,

tera2a22''

所以e=也.

2

故答案为：叵.

2

三、解答题.（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分）

17.2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFAWorldCup

Qatar2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也

是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔

尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办

的世界杯足球赛.为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行

调查，其中女生中对足球运动没兴趣的占女生人数畤，男生有5人表示对足球运动没有兴

趣.

（1）完成2x2列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别

有关”?

有兴趣没兴趣合计

男60

女

合计

（2）从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽出6名学生，记从这6人中随

机抽取3人，抽到的男生人数为X,求X的分布列和期望

尸（心儿）0.100.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

n{ad-bc)1

K2

(o+〃)(c+d)(Q+c)(〃+d)，n=a+h+c+d

【答案】（1）填表见解析；有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”

22/32

（2）分布列见解析；期望为1

【解析】

【分析】（1）根据题中数据完成列联表，再结合公式求K?，分析理解;

（2）根据分层求得抽取男生2人，女生4人，结合超几何分布求分布列和期望.

【小问1详解】

根据所给数据完成列联表:

有兴趣没兴趣合计

男55560

女301040

合计8515100

“，100x(55x10-5x30)2800…c

K-=-----------------=——«5.229>5.024

85x15x40x60153

所以有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”.

【小问2详解】

按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生4人,

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,则有:

唳=。）=答/丁尸警=*|，3=2）=詈W

，X的分布列为:

X012

3]_

P

555

131

i^£(X)=0x-+lx-+2x-=l,即X的期望为1.

18.

如图，在直三棱柱ABC-4与G中，AB=CC1=3,BC=4,AC=5,AE^AAA,,D为

6C的中点.

小G

B

（1）当■=；时，求证：AT>〃平面BGE；

（2）若立，G。与平面BGE所成的角为。，求sin。的取值范围.

44

【答案】（1）证明见解析

「2屈

⑵方F

【解析】

【分析】（1）首先取BG中点。，连接。。，0E,。为BC的中点，易证四边形ADOE为

平行四边形，从而得到仞〃0£,再利用线面平行的判定即可证明〃平面BGE.

（2）以B为原点，BC,84,BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解

即可.

【小问1详解】

取BG中点。，连接0。，0E,。为8c的中点，如图所示：

因为。力分别为BG和的中点,

所以。Q〃gCG且0。=：CC,,

24/32

又当4=5时，E为A4的中点，

所以AE〃gcq,且AE=gcG，

所以OD〃AE,且。D=AE,

所以四边形4DOE为平行四边形，所以AO〃OE,

因为AD.平面BCE，OEu平面BC|E,所以49〃平面8。田.

【小问2详解】

因为A8=3,BC=4,AC=5,所以AB2+BC2=AC2,即ABIBC.

又因为三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,

所以以8为原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

所以3（（）,0,0）,q（4,0,3）,£＞（2,0,0）,E（0,3,32）,—WXW

4

BG=（4,0,3）,B左=（0,3,33）,

设平面BC]E的一个法向量”=（x,y,z）,

所以，令x=3,得〃=（3,44-4）.

n-BE-y+Az=0

又。G=（2,0,3）,

pi-DCj

6

所以sin6=

|〃帆A/BA/16/12+25'

„1V2由7.有「2屈3VT

又一<A<—,所以sin。e———,,

443913

所以sine的取值范围为噜，噜.

19.在锐角乂中，角A,B,。所对的边分别为。也(;力-与114=<285。.

(1)协；

(2)若8=2,求一ABC面积的取值范围.

【答案】(1)A=:

4

(2)(1,2)

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化边为角后，由诱导公式及两角和的正弦公式变形，然后结合同

角关系可得A角；

(2)由(1)及已知得8角范围，利用正弦定理把。表示为B的三角函数，从而得出。的范围

，再由三角形面积公式得面积范围.

【小问1详解】

因为h-csinA=acosC,

由正弦定理得sinB-sinCsinA=sinAcosC,

即sin(A+C)-sinAcosC=sinCsinA,

所以cosAsinC=sinCsinA,

因为sinCVO,所以tanA=l,由得A=(.

【小问2详解】

因为b=2,

2sinB

2sinC_U_J_2(sin^cosB-cosTsinB)_夜

C———―F2

sinBsinBsinBtanB

由包一8V巴可得B>四，

424

所以Be则tanBw(l,y),故cw(0,2&)，

I42J

iB

所以_ABC的面积S=-人csin/l=——ce(1,2).

22v'

26/32

即ABC面积的取值范围为（1,2）.

20.

已知A,B分别是椭圆。：5+，=1（。>。>0）的上下顶点，|/恸=2,点，辛）在椭圆。上

,。为坐标原点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线/与椭圆C交于x轴上方两点M,N.若弱.瑞=T,试判断直线/是否过定点？若

是，求出定点坐标；若否，说明理由.

【答案】（1）—+/=1;

2

（2）是，直线/过定点母）.

【解析】

分析】（1）由题可得6=1,然后把点［日）代入椭圆方程可得/=2,即得；

（2）设直线丁=依+/,联立椭圆方程，利用韦达定理法结合数量积的坐标表示可得£=且

3

,进而即得.

【小问1详解】

因为|蝴=2,所以力=1,

又点,日）在图像C上，

所以4+9=1'所以储=2，

所以椭圆C的方程为£+丁=1；

2-

【小问2详解】

由题可设直线/：y^kx+t,A/（x，x）、N（x2,y2）,（y,>0,y2>0）,

y=kx+t

,得(2公+1卜2+4依+2/一2=0,

由，X~2

—+y=1

,2

则A=8（2/+l—r）＞0,

4kt

2t2-2

3=环

又OM-ON=-\,g[Jxlx2+yiy2=-l,

所以石玉+(Ax,+。("j+/)=—1,即伊+1卜用+依(％+工2)+产=T，

(k2+l)-2?,-2+fe-f——^—}+t2=-l,

'>2公+1I2k2+\)

解得*=I，又y+%=J^>0,即，>0,

JNK।1

所以t=y~kx+^->

33

所以直线/过定点

21.已知函数/(力=37一(了+1)111(%+1)+1+/.

(1)g(x)是〃x)的导函数，求g(x)的最小值;

(2)已知〃eN*,证明：1+/+飞+L+—•>ln(〃+1)；

(3)若1'-jdn_x+(2-a)x-120恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)0(2)证明见解析

⑶(-2]

【解析】

【分析】(1)求出g(x)的表达式，求导，通过讨论g(x)的单调性，即可求出g(x)的最小

值；

(2)通过(1)中g(x)的取值范围得出x21n(x+l),即可证明不等式；

28/32

xx-x\nx+2x-\

(3)分离参数，构造函数可可，通过(1)中的结论xNln(x+l),可得

x

出〃(X)的取值范围，即可求得。的取值范围.

【小问1详解】

由题意，在/(x)=gx2-(x+i)]n(x+l)+x+f中，

所以，g(%)=/A(x)=x—ln(x+l)—1+1=x—ln(x+l),

在g(x)=x—ln(x+l)中，x>-l,

1_x

x+1x+l

令g[x)=O,解得％=(),

又XG(-1,0)时,g〈%)<0,xe(0,+oo)时,g[x)>0,

，g(x)2g(O)=O,即g(x)的最小值为0.

【小问2详解】

在g(x)=x-ln(x+l)中，g(x)=x-In(x+l)20,

可知xil