重难专题08 将军饮马之三动点及两定点一定长模型（解析版）

2023-2024学年八年级数学上册重难点突破专题08将军饮马之三动点及两定点一定长模型一、三动点模型条件：已知点D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点，求△DEF的周长的最小值。结论：要使△DEF的周长最小，先将点D视为定点，利用“一点两线”模型作出△DEF周长的最小值，对应的线段D'D".当CD最小，即CD⊥AB时△DEF的周长最小，最小值为D'D"的长。二、两定点一定长模型1.异侧两定点一定长已知：点A，B为河岸两侧两定点，桥PQ(定长PQ=d)垂直于河岸，找建桥PQ的位置使AP+PQ+QB最短(也称“造桥选址”问题)。结论：将A沿着与PQ平行的方向平移一个桥长至A',连接A'B交河岸n于点Q。作PQ⊥n交m于点P、Q即为所求，且AP+PQ+QB最小。2.同侧两定点一定长已知：点A，B为直线l同侧两定点，定长线段PQ(PQ=d)在直线l上运动，找Q的位置使AP+PQ+QB最短结论：将A沿着与直线l平行的方向平移一个定长PQ至A'.作A'关于直线l的对称点A‘’,连接A‘’B交直线l于点Q，此时，点Q即为所求，且如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是．【答案】40°【分析】要使△CEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出C关于BA和AD的对称点N，M，即可得出，最后利用△CMN内角和即可得出答案．【详解】作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E1，交AB于F1，则MN即为△CEF的周长最小值．∵，，∴∠DCB=110°，由对称可得：CF1=F1N，E1C=E1M，∴，∵，∴，∴，即当的周长最小时，的度数是40°，故答案为：40°．如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥.桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由.【分析】先确定与河等宽，且垂直河岸，连接，与河岸的交点就是点C，过点C作垂直河岸，交另一河岸于点D即可得出答案．【详解】解：如图，先确定与河等宽，且垂直河岸，连接，与河岸的交点就是点D，过点D作垂直河岸，交另一河岸于点C，连.由作图过程可知，四边形为平行四边形，平移至即可得到线段，两点之间，线段最短，由于河宽不变，即为桥．一、单选题1．如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可．【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与另一条河岸相交于F，作于点E，则且，∴四边形为平行四边形，∴，根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．∴C选项符合题意，故选：C．2．如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝，在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（

）A．136° B．96° C．90° D．84°【答案】A【分析】取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，根据轴对称的性质可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ的长度即为的周长最小值，根据三角形的内角和等于求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，则AM=PM，AN=QN，∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，∴周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为的周长最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝，∴∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，∴∠P+∠Q=，∴，故选：A．3．如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，可求得，，由三角形的内角和求得即可解答.【详解】解：∵，∴如图，分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，∵BM垂直平分，EN垂直平分，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，故选C．4．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（

）A．55° B．56° C．57° D．58°【答案】B【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可．【详解】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH，则AM=MG，AN=NH，∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，∵∠BAE=152°，∴∠G+∠H=28°，∵AM=MG，AN=NH，∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN，∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°，故选：B．5．如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选C．二、填空题6．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为【答案】80°【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝58°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝50°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DAB＝360°-∠ABC-∠ADC-∠C=130°，∴∠HAA′＝180°-∠DAB=50°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，由轴对称的性质可得：∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，∵∠AFE=∠FAD+∠A″，∠AEF=∠EA′A+∠EAA′，∴∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″）=100°∴∠EAF＝180°-∠AEF-∠AFE=80°，故答案为：80°．7．如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为．【答案】80°【分析】作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，此时周长最小，利用整体思想得出，从而得到答案．【详解】如图，作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，此时周长最小，，，，，故答案为：