初中数学几何模型：双角平分线模型

双角平分线模型模型讲解【结论1】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则

∠BDC=90°+∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠BCD=y.由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°.①由△BDC的内角和为180°，得∠BDC+x+y=180°.②由②得x+y=180°-∠BDC.③把③代入①，得∠A+2(180°-∠BDC)=180°,即2

∠BDC=

180°+∠A,即

∠BDC=90°+∠A.【结论2】如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则

∠BDC=90°−∠A.【证明】设∠EBD=∠CBD=x，BCD=∠FCD=y.由△BCD的内角和为180°，得x+y+∠BDC=180°，①易得2x+2y=180°+∠A.②由①得x+y=180°-∠BDC.③把③代入②，得2(180°―∠BDC)=180°+∠A，即2∠BDC=180°-∠A，即

∠BDC=90°−∠A.【结论3】如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则

∠D=∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y.由外角定理得2y=∠A+2x，①y=∠D+x.②把②代入①，得2(∠D+x)=∠A+2x，即

∠D=∠A.典型例题典例1如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠BAC=80°，则∠BOC的度数是().A.130°B.120°C.100°D.90°典例2如图，BA1和CA1，分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，……以此类推，若∠A=α，则A2020=

.典例3【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.若∠A=80°，则∠BEC=；若∠A=n°，则∠BEC=.【探究】(1)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=n°，则∠BEC=；(2)如图3，O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系，并说明理由；(3)如图4，O是三角形ABC的外角∠DBC与∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系?(只写结论，不需要证明）初露锋芒1.如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，若∠A=60°，则∠BFC等于().A.121°B.120°C.119°D.118°2.如图，五边形ABCDE在∠BCD，∠EDC处的外角分别是∠FCD，∠GDC，CP，DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P.若∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，则∠CPD=.感受中考1.(2019黑龙江大庆中考真题)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E.若∠A=60°，则∠BEC的度数为().A.15°B.30°C.45°D.60°参考答案典例1【答案】A【解析】∵BO，CO是△ABC的内角平分线，由“内内90°加一半”得，

∠BOC=90°+∠BAC，即

∠BOC=90°+×80°=130°.故选A.典例2【答案】

2020·α【解析】∵BA1为△ABC的内角平分线，CA1为△ABC的外角平分线，∴由“内外就一半”，得

∠A1=∠A=·α.同理，

∠A2=∠A1=()2·α,∠A3=∠A2=()3·α,......∴∠A2020=()2020·α.典例3【解析】【问题】130°;

90°+n°【探究】(1)由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°.∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°-n°)=120°−n°,∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(120°-n°)=60°+n°.(2)∠BOC=∠A.

理由如下：由三角形的外角性质，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC.∵O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点，∴∠ABC=2∠OBC,∠ACD=2∠OCD,∴∠A+∠ABC=2(∠BOC+∠OBC),∴∠A=2∠BOC,∴∠BOC=∠A.(3)∠BOC=90°−∠A.初露锋芒1.【答案】

B【解析】∵BE，CD均为△ABC的内角平分线，∴由“内内90°加一半”，得∠BFC=90°+

∠A=90°+×60°=120°.故选B.2.【答案】105°【解析】如图，延长BF，EG交于点H.在△CDH中，CP，DP分别平分∠HCD和∠HDC，∴由“内内90°加一半”，得∠CPD=90°+∠H.又∠A+∠B+∠H+∠E=

360°,∴∠H=360°−160°−80°