课时验收评价(四十六) 直线、平面垂直的判定与性质

PAGE第4页共6页课时验收评价(四十六)直线、平面垂直的判定与性质一、点全面广强基训练1.如图，如果MC垂直于菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行 B．垂直相交C．垂直但不相交 D．相交但不垂直解析：选C因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD垂直但不相交．2．对于不同直线m，n和不同平面α，β，有如下四个命题：①若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能相交，可能平行，故①不正确；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，故②正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故③正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故④不正确．3．(2021·河南九师联盟二模联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16eq\r(2)，点P在面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2,2eq\r(3)，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：选B设正方体的边长为a，则a3＝16eq\r(2)，故a＝2eq\r(2)，即AB＝2eq\r(2)，∴A1C1＝eq\r(2)a＝4，连接C1P，C1P＝eq\r(CP2－CC\o\al(2,1))＝eq\r(2\r(3)2－2\r(2)2)＝2，又∵A1P＝2，则点P在A1C1上且为中点，连接AC与BD交于O，连接OP，可知AC⊥平面BDD1B1，则∠CPO为直线CP与平面BDD1B1所成角，在直角三角形CPO中，sin∠CPO＝eq\f(OC,PC)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3).4.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A．直线AC上 B．直线AB上C．直线BC上 D．△ABC内部解析：选B如图，连接AC1.∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选B.4．在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点(不含端点)，则下列说法正确的是()A．不存在E，F，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF解析：选ABC为了方便解题，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示．连接HG，OD，对于选项A，分别取AB，CD的中点E，F，则易知EF⊥CD，所以选项A不正确；对于选项B，在正方体中，易知CD⊥平面ABHG，因为过点D且与平面ABHG平行的平面不经过点E，所以不存在点E，使得DE⊥CD，故选项B不正确；对于选项C，在正方体中，易证OD⊥平面ABC，所以不存在E，使得DE⊥平面ABC，故选项C不正确；对于选项D，设OD与平面ABC的交点为K，连接CK，当平面CDK与AB的交点为E，F为CD上任意一点(不含端点)时，平面CDE⊥平面ABF，故选项D正确．6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1解析：连接A1C1(图略)，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝2eq\r(2)，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB8．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.解析：∵△PAB≌△PAD，∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，此时PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1求证：(1)直线DE∥平面A1C(2)平面B1DE⊥平面A1C证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，∴DE∥A1C1.∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1.∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1.∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，∴B10.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．解：(1)证明：连接A1E.因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.又A1E∩A1F＝A1，A1E，A1F⊂平面A1EF，所以BC⊥平面A1EF.又EF⊂平面A1EF(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，EG⊂平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由(1)得BC⊥平面EGFA1，又BC⊂平面A1BC，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．连接A1G交EF于点O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝2eq\r(3)，EG＝eq\r(3).由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝eq\f(A1G,2)＝eq\f(\r(15),2)，所以cos∠EOG＝eq\f(EO2＋OG2－EG2,2EO·OG)＝eq\f(3,5).因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是eq\f(3,5).二、重点难点培优训练1．如图，一个正四棱锥P1­AB1C1D和一个正三棱锥P2­B2C2S的所有棱长都相等，F为棱B1C1的中点，将P1、P2，B1、B2，C1、C2分别对应重合为P，B，C，得到组合体．关于该组合体有如下三个结论：①AD⊥SP；②AD⊥SF；③ABA．0B．1C．2D．3解析：选A由于正四棱锥P1­AB1C1D和正三棱锥P2­B2C2S所有的棱长都相等，可以叠放在一起，得到组合体PAD­SBC，把其放在两个相同的正四棱柱拼成的几何体内，如图所示，点P对应左侧正四棱柱上底面的中心O1，点S对应右侧正四棱柱上底面的中心O2，由图可知拼成的组合体PAD­SBC是一个三棱柱，所以SP∥AB，设E为AD的中点，连接PE，EF，FS，可知AD⊥SP，AD⊥平面PEFS，所以AD⊥2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段B1CA．直线BD1⊥平面A1C1B．直线AP∥平面A1C1C．三棱锥P­A1C1DD．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(eq\f(π,4)，eq\f(π,2)))3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下面四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.(用序号表示)解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，因为m⊥n，n⊥β，所以m∥β，又m⊥α，所以α⊥β，即①③④⇒②；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，因为α⊥β，n⊥β，所以n∥α，又m⊥α，所以m⊥n，即②③④⇒①.答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)4．如图(1)，四边形ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合)，E为线段BC的中点．现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP，如图(2)所示．(1)证明：BP⊥平面DCP；(2)若BC＝2，当三棱锥D-BPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离．解：(1)证明：因为平面ABCD⊥平面BCP，四边形ABCD是正方形，平面ABCD∩平面BCP＝BC，所以DC⊥平面BCP.因为BP⊂平面BCP，所以BP⊥DC.因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC，又DC∩PC＝C，所以BP⊥平面DCP.(2)当点P位于的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D-BPC的体积也最大．如图，连接PE，DE，因为BC＝2，所以PE＝1，所以△BEP的面积为eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以三棱锥D-BEP的体积为eq\f(1,3)×