直线的方程-高考考点精讲

1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×)(4)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(×)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)1．(2016·天津模拟)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案A解析依题意得eq\f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.2．(2016·合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，eq\f(π,4)] B．[eq\f(3π,4)，π)C．[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，π) D．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))∪[eq\f(3π,4)，π)答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为－eq\f(1,a2＋1)，又－1≤－eq\f(1,a2＋1)<0，所以倾斜角的取值范围是[eq\f(3π,4)，π)．3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－eq\f(C,A)>0，在y轴上的截距－eq\f(C,B)>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．4．(教材改编)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝.答案1或－2解析令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋eq\f(2,a)，依题意2＋a＝1＋eq\f(2,a)，解得a＝1或a＝－2.5．过点A(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．答案3x＋2y＝0或x－y－5＝0解析①当直线过原点时，直线方程为y＝－eq\f(3,2)x，即3x＋2y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1，即x－y＝a，将点A(2，－3)代入，得a＝5，即直线方程为x－y－5＝0.故所求直线的方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)(2016·北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>eq\f(π,3)”是“k>eq\r(3)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．答案(1)B(2)(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)解析(1)当eq\f(π,2)<α<π时，k<0；当k>eq\r(3)时，eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2).所以“α>eq\f(π,3)”是“k>eq\r(3)”的必要不充分条件，故选B.(2)如图，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．引申探究1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，eq\r(3))，∴kAP＝eq\f(1－0,2－－1)＝eq\f(1,3)，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－－1)＝eq\r(3).如图可知，直线l斜率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))).2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．解如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq\f(π,2)时，斜率不存在；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)．(2017·南昌月考)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝eq\r(2－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A．150°B．135°C．120°D．不存在答案A解析由y＝eq\r(2－x2)得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以eq\r(2)为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，弦长|AB|＝2eq\r(2－\f(|2k|,\r(1＋k2))2)＝2eq\r(\f(2－2k2,1＋k2))，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(|2k|,\r(1＋k2))×2eq\r(\f(2－2k2,1＋k2))≤eq\f(2k2＋2－2k2,21＋k2)＝1，当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝eq\f(1,3)时等号成立，由图可得k＝－eq\f(\r(3),3)(k＝eq\f(\r(3),3)舍去)，故直线l的倾斜角为150°.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq\f(\r(10),10)；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝eq\f(\r(10),10)(0<α<π)，从而cosα＝±eq\f(3\r(10),10)，则k＝tanα＝±eq\f(1,3).故所求直线方程为y＝±eq\f(1,3)(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即l过点(0,0)及(4,1)，∴l的方程为y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l过点(4,1)，∴eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－eq\f(1,4)倍；(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l过点(3,2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－eq\f(1,4)×3＝－eq\f(3,4).又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝kx－1.))得两直线交点为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋7,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)))(k≠－2，否则与已知直线平行)，则B点坐标为(eq\f(k＋7,k＋2)，eq\f(4k－2,k＋2))．∴(eq\f(k＋7,k＋2)－1)2＋(eq\f(4k－2,k＋2)＋1)2＝52，解得k＝－eq\f(3,4)，∴y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.题型三直线方程的综合应用命题点1与基本不等式相结合求最值问题例3已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．解方法一设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，把点P(3,2)代入得eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1≥2eq\r(\f(6,ab))，得ab≥24，从而S△AOB＝eq\f(1,2)ab≥12，当且仅当eq\f(3,a)＝eq\f(2,b)时等号成立，这时k＝－eq\f(b,a)＝－eq\f(2,3)，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，且有Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)，0))，B(0,2－3k)，∴S△ABO＝eq\f(1,2)(2－3k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋－9k＋\f(4,－k)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋2\r(－9k·\f(4,－k))))＝eq\f(1,2)×(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝eq\f(4,－k)，即k＝－eq\f(2,3)时，等号成立．即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4)，当a＝eq\f(1,2)时，面积最小．思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．(2016·潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程．解依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．令y＝0，可得A(1－eq\f(4,k)，0)；令x＝0，可得B(0,4－k)．|OA|＋|OB|＝(1－eq\f(4,k))＋(4－k)＝5－(k＋eq\f(4,k))＝5＋(－k＋eq\f(4,－k))≥5＋4＝9.∴当且仅当－k＝eq\f(4,－k)且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.11．求与截距有关的直线方程典例设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示现场纠错解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)由eq\f(a－2,a＋1)＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，∴a＝2或a＝－2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.1．(2016·北京顺义区检测)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是()A．－6<k<－2 B．－5<k<－3C．k<－6 D．k>－2答案A解析解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋3k＋14，,x－4y＝－3k－2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝k＋6，,y＝k＋2，))因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以k＋6>0且k＋2<0，所以－6<k<－2.2．(2016·威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小eq\f(π,4)的直线方程是()A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2答案A解析∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为eq\f(3π,4)，依题意，所求直线的倾斜角为eq\f(3π,4)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.3．(2016·合肥检测)已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则eq\f(y0,x0)的取值范围为()A．(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,5)) B．(－∞，－eq\f(1,5)]C．(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,5)] D．(－eq\f(1,2)，0)答案A解析设A(x1，y1)，eq\f(y0,x0)＝k，则y0＝kx0，∵AB的中点为P(x0，y0)，∴B(2x0－x1,2y0－y1)．∵A，B分别在直线x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上，∴x1＋2y1－1＝0,2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，∴2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0.∵y0＝kx0，∴x0＋2kx0＋1＝0，即x0＝－eq\f(1,1＋2k).又y0>x0＋2，∴kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，即(k－1)(－eq\f(1,1＋2k))>2，即eq\f(5k＋1,2k＋1)<0，解得－eq\f(1,2)<k<－eq\f(1,5).故选A.4．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4B．－4≤k≤eq\f(3,4)C.eq\f(3,4)≤k≤4D．－eq\f(3,4)≤k≤4答案A解析如图所示，∵kPN＝eq\f(1－－2,1－－3)＝eq\f(3,4)，kPM＝eq\f(1－－3,1－2)＝－4.∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，由已知得k≥eq\f(3,4)或k≤－4.5．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足()A．ab>0，bc<0B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<0答案A解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b).易知－eq\f(a,b)<0且－eq\f(c,b)>0，故ab>0，bc<0.6.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2答案D解析直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.7．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是．答案3解析直线AB的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－eq\f(3,4)y，∴xy＝3y－eq\f(3,4)y2＝eq\f(3,4)(－y2＋4y)＝eq\f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))时，xy取最大值3.8．(2016·潍坊模拟)直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为．答案x＋y＝0或x－y＋4＝0解析若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.若a≠0，b≠0，则直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2,a)＋\f(2,b)＝1，,|a|＝|b|，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，))此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.9．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是．答案[－2,2]解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．10．(2016·山师大附中模拟)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为．答案4解析∵函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1(mn>0)．∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))·(m＋n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥4(当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时取等号)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为4.11．(2016·太原模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈[－eq\f(\r(3),3)－1，eq\r(3)－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝eq\f(1,m＋1)(x＋1)．即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.(2)①当m＝－1时，α＝eq\f(π,2)；②当m≠－1时，m＋1∈[－eq\f(\r(3),3)，0)∪(0，eq\r(3)]，∴k＝eq\f(1,m＋1)∈(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\f(\r(3),3)，＋∞)，∴α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,2))∪(eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]．综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)]．12．已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直线方程的点斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过eq\r(5)的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．*13.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq\f(1,2)x上时，求直线AB的方程．解由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f(\r(3),3)x.设A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，由点C在直线y＝eq\f(1,2)x上，且A、P、B三点共线得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直线AB的方程为(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：eq\o(→,\s\up7(判别式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0⇔相交；,＝0⇔相切；,<0⇔相离.))2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)1．(教材改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切 B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心 D．相离答案B解析由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝eq\f(|2×1－2－5|,\r(22＋1))＝eq\r(5)<eq\r(6)且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D．2答案A解析由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝eq\f(|1×a＋4－1|,\r(1＋a2))＝1，解之得a＝－eq\f(4,3).3．(2016·西安模拟)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案C解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为eq\r(2)，∴eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋－12))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.4．(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．6－2eq\r(2) B．5eq\r(2)－4C.eq\r(17)－1 D.eq\r(17)答案B解析圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2，－3)，半径不变，圆C2的圆心为(3,4)，半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为eq\r(3－22＋4＋32)－1－3＝5eq\r(2)－4.5．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为________．答案eq\f(9,4)解析由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤eq\f(9,4)，当且仅当a＝b时取等号，即ab的最大值是eq\f(9,4).题型一直线与圆的位置关系的判断例1(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切 B．相交C．相离 D．不确定(2)(2016·江西吉安月考)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离 B．相切C．相交 D．以上都有可能答案(1)B(2)C解析(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq\f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1.所以直线与圆相交．(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故选C.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．已知方程x2＋eq\f(x,tanθ)－eq\f(1,sinθ)＝0有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．答案相切解析由题意可知过A，B两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心到直线AB的距离d＝eq\f(|－ab|,\r(a＋b2＋1))，而a＋b＝－eq\f(1,tanθ)，ab＝－eq\f(1,sinθ)，因此d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinθ))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,tanθ)))2＋1))，化简后得d＝1，故直线与圆相切．题型二圆与圆的位置关系例2(1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)(2017·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．答案(1)B(2)(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))解析(1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(|a|,\r(2))，由几何知识得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＋(eq\r(2))2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝eq\r(1－02＋1－22)＝eq\r(2)，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.(2)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<eq\r(a2＋a2)<2＋2，∴0<|a|<2eq\r(2).∴a∈(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))．思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切；(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为eq\r(11)和eq\r(61－m).(1)当两圆外切时，eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m)，解得m＝25＋10eq\r(11).(2)当两圆内切时，因为定圆的半径eq\r(11)小于两圆圆心间距离5，故只有eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，解得m＝25－10eq\r(11).(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为2eq\r(\r(11)2－\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))2)＝2eq\r(7).题型三直线与圆的综合问题命题点1求弦长问题例3(2016·全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则|CD|＝________.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2eq\r(3)，|AB|＝2eq\r(3)，所以|OM|＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋6＝0，,x2＋y2＝12))解得A(－3，eq\r(3))，B(0，2eq\r(3))，则AC的直线方程为y－eq\r(3)＝－eq\r(3)(x＋3)，BD的直线方程为y－2eq\r(3)＝－eq\r(3)x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.命题点2直线与圆相交求参数范围例4(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8.由题设可得eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.命题点3直线与圆相切的问题例5已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．解(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10)，∴b＝1±2eq\r(5)，∴切线方程为x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10)，∴m＝±5eq\r(2)，∴切线方程为2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3)，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于()A．2eq\r(6)B．8C．4eq\r(6)D．10(2)若直线xcosθ＋ysinθ－1＝0与圆(x－1)2＋(y－sinθ)2＝eq\f(1,16)相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是()A．－eq\f(\r(3),3)B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)答案(1)C(2)A解析(1)由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0，得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2eq\r(6)，y2＝－2＋2eq\r(6)，所以|MN|＝|y1－y2|＝4eq\r(6)，选C.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即|cosθ＋sin2θ－1|＝eq\f(1,4)，|cosθ－cos2θ|＝eq\f(1,4)，所以cosθ－cos2θ＝eq\f(1,4)或cosθ－cos2θ＝－eq\f(1,4)(不符合题意，舍去)．由cosθ－cos2θ＝eq\f(1,4)，得cosθ＝eq\f(1,2)，又θ为锐角，所以sinθ＝eq\f(\r(3),2)，故该直线的斜率是－eq\f(cosθ,sinθ)＝－eq\f(\r(3),3)，故选A.7．高考中与圆交汇问题的求解考点分析与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题典例1(1)(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|的最大值为()A．6B．7C．8D．9(2)过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)解析(1)∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x－2，y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(x－6，y)．故|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(－12x＋37)，∴当x＝－1时有最大值eq\r(49)＝7，故选B.(2)∵S△AOB＝eq\f(1,2)|OA||OB|sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB≤eq\f(1,2).当∠AOB＝eq\f(π,2)时，△AOB面积最大．此时O到AB的距离d＝eq\f(\r(2),2).设AB方程为y＝k(x－eq\r(2))(k<0)，即kx－y－eq\r(2)k＝0.由d＝eq\f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)得k＝－eq\f(\r(3),3).(也可k＝－tan∠OPH＝－eq\f(\r(3),3))．答案(1)B(2)B二、直线与圆的综合问题典例2(1)(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于()A．2B．4eq\r(2)C．6D．2eq\r(10)(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.eq\f(4,5)πB.eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))πD.eq\f(5,4)π解析(1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.(2)∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝eq\f(|2×0＋0－4|,\r(5))＝eq\f(4,\r(5))，∴圆C的最小半径为eq\f(2,\r(5))，∴圆C面积的最小值为π(eq\f(2,\r(5)))2＝eq\f(4,5)π.答案(1)C(2)A1．(2017·广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C解析如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于()A．21B．19C．9D．－11答案C解析圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋eq\r(25－m)，解得m＝9.3．(2016·南昌二模)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为()A.eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)答案B解析圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，∴eq\r(a2＋b2)＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤eq\f(1,2)(a2＋b2)＝2.∴ab的最大值为2.4．(2016·泰安模拟)过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0答案A解析如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝eq\f(1,2)，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.5．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定答案A解析因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为eq\r(2)，因为直线l与圆C相切．所以eq\f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝eq\f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<eq\r(3)，所以直线l与圆D相交．6．已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，那么△PAB面积的最大值是()A．3－eq\r(2) B．4C．3＋eq\r(2) D．6答案C解析依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心(－eq\f(k,2)，0)位于直线x－y－1＝0上，于是有－eq\f(k,2)－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|＝2eq\r(2)，直线AB的方程是eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2)＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于eq\f(|1－0＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，点P到直线AB的距离的最大值是eq\f(3\r(2),2)＋1，∴△PAB面积的最大值为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(3\r(2)＋2,2)＝3＋eq\r(2)，故选C.7．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则圆C的面积为________．答案4π解析圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2)).又由|AB|＝2eq\r(3)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.8．(2016·天津四校联考)过点(1，eq\r(2))的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析∵(