第四节　二次函数与幂函数

第四节二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是

，α是常数．(2)5个常见幂函数的图象与性质自变量奇函数(－∞，0)(0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式(2)二次函数的图象与性质幂函数的图象和性质2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是

(

)3．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：x∈[1，a]，根据区间的定义可知a>1.∵函数f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，x∈[1，a]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，又函数f(x)在对称轴x＝3左侧单调递减，右侧单调递增，∴1<a≤3.答案：(1,3]4．(人教A版必修第一册P91·T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是______．(用“<”连接)解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.答案：c<b<a层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)幂函数的图象与性质

[题点全训]解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3.又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．答案：C

3.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为

(

)A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<mC．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<1解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，选D.答案：D

[一“点”就过](1)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．基础点(二)求二次函数的解析式

[题点全训]1．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________．解析：因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.答案：f(x)＝x2－4x3．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.[一“点”就过]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)二次函数的图象及应用

[典例]

(1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是

(

)A．②④

B．①④C．②③

D．①③(2)已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是

(

)A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2) D．与x的值无关[方法技巧]识别二次函数图象应学会“三看”[针对训练]1．函数y＝1－|x－x2|的图象大致是

(

)答案：C2．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，－1) B．(－1,2]C．[－1,2] D．[2,5]解析：二次函数f(x)＝－x2＋4x的图象是开口向下的抛物线．最大值为4，且在x＝2处取得，而当x＝5或x＝－1时，f(x)＝－5.结合函数f(x)图象可知m的取值范围是[－1,2]．答案：C

重难点(二)二次函数的性质及应用

[典例]

已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)求使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数的实数a的取值范围；(2)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．

[针对训练]1．如果函数f(x)＝x2＋px＋q对任意的x均有f(1＋x)＝f(1－x)，那么f(0)，f(－1)，f(1)的大小关系是

(

)A．f(1)<f(－1)<f(0)B．f(1)<f(0)<f(－1)C．f(0)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(0)<f(1)解析：∵函数f(x)＝x2＋px＋q对任意的x均有f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)＝x2＋px＋q的图象开口向上，且以直线x＝1为对称轴，∴函数f(x)在(－∞，1]上为减函数，∴f(1)<f(0)<f(－1)，故选B.答案：B

2．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3,1]，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．求含参二次函数的最值时不能忽视对称轴——————————————————————————————————[典例]已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．[解]

(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.(1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．

[针对训练]设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1；当0<t<1时，f(x)min＝1；当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2.层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(忽视对二次项系数的讨论)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1,2]上有最大值4，则a的值为

(

)5.(创新考查方式)如图，正方形OABC的边长为a(a>1)，函数y＝3x