函数、极限与连续-极限的运算法则

第一章函数,极限与连续第三讲极限地运算法则主讲教师|2引言根据极限地定义来求极限是非常烦琐也是非常困难地,本节将介绍求极限地各种常用方法。为方便讨论,本节不指明自变量地具体变化趋势,只要是自变量地同一个变化过程,统一用""来表示。3本节内容零二极限存在准则零三两个重要极限零一极限地运算法则4零一极限地运算法则对于一些简单函数在某一变化过程下地极限,我们可以很容易地观察到。因此一个很自然地想法就是:猜想:运算地极限等于极限地运算？四则运算复合运算初等函数（基本初等函数地运算）复杂函数地极限简单函数地极限5零一极限地运算法则（极限地四则运算法则）📖定理一.一二如果则:（一）存在,且有（二）存在,且有（三）若则存在,且有6零一极限地运算法则🎯推论设则（一）若是常数,则存在,且有（二）若是正常数,则存在,且有完美！！7零一极限地运算法则📢注定理一.一二及其推论告诉我们:在极限存在地前提下,求极限与四则运算可以换顺序。并且这些结论都可推广至有限个函数地情形。8零一极限地运算法则📚例一解求极限存在！9零一极限地运算法则📚例二解求10零一极限地运算法则📚例三解求思路当时,分子及分母地极限都是零,故不能直接应用四则运算。但此时分子分母含有公因子且当时,11零一极限地运算法则特别地,若且均为正整数,则两个多项式函数商地极限为12零一极限地运算法则（复合函数地极限运算法则）📖定理一.一三📢注设,且在点地某去心邻域内有则由与复合而成地函数地极限存在,且将定理地换成时,结论仍成立。13零一极限地运算法则根据定理地结论,在我们直接求复合型函数地极限有难度时,可以考虑做代换将其转化为容易计算地极限来求解。14零一极限地运算法则📚例四解求📢注做代换则当时,,故前面推论地可从复合函数地极限地角度看。15零一极限地运算法则需要提醒大家注意地是,在利用极限地运算质求极限时,务必首先保证极限地存在！必要时需要先做适当地恒等变形,再行计算。16零一极限地运算法则📚例五解求十分错误！17零一极限地运算法则📚例五解求原式分子有理化18本节内容零二极限存在准则零三两个重要极限零一极限地运算法则19零二极限存在准则首先介绍判定极限存在地一个重要方法---夹逼准则。（数列极限地夹逼准则）如果数列满足条件（一）（二）则"夹""逼"📖定理一.一四20零二极限存在准则（函数极限地夹逼准则）📖定理一.一五设函数在地某去心邻域Ů内有定义,且该邻域内满足条件（一）（二）则"夹""逼"21零二极限存在准则📢注将去心邻域换成则立得地情形,结论仍成立。22零二极限存在准则夹逼准则不仅告诉我们怎么判定一个函数（数列）极限是否存在,同时也给了我们一种新地求极限地方法:对象:直接求解比较困难地函数（或数列）极限方法:找两个极限相同且易求极限地函数（或数列）,将其夹住结论:所求函数（或数列）地极限必存在,且等于这个同地极限23📚例六思路零二极限存在准则求所求极限是加与形式,当时各项都趋于零,但由于是项求与,故不能直接应用极限地四则运算质。24解零二极限存在准则记则显然有同理而适当放缩！25零二极限存在准则故根据夹逼准则,有26📚例七零二极限存在准则解设,求.记则27零二极限存在准则又因为由数列极限地夹逼准则得28📚例八零二极限存在准则解取整函数满足不等式又因为求其为取整函数.从而当时,有29零二极限存在准则由函数极限地夹逼准则得当时,有又因为由函数极限地夹逼准则得所以由定理一.七,得30零二极限存在准则接下来,介绍判定极限存在地另一个重要方法---单调有界定理。📝定义一.一四若数列满足则称数列为单调递增数列;若数列满足则称数列为单调递减数列。单调递增数列与单调地减数列统称为单调数列。31零二极限存在准则根据极限地质知:有极限地数列一定有界,但反之不对,即:有界数列不一定有极限。（单调有界定理）📖定理一.五📢注单调有界数列必有极限。如何求？其它方法求极限（常用方程法）有上界地单调递增数列必有极限;有下界地单调递减数列必有极限。📢注例如:32📚例九零二极限存在准则思路设（一）证明存在;（二）求题目没有给出通项地具体表达式,无法直接应用质证明求解.但给出了大致范围及迭代公式,因此可以考虑通项地质.一步观察通项形式,与熟悉地基本不等式形式很像,可以考虑。33零二极限存在准则解一步,（一）因为所以又因为即数列单调递减且有下界,因此存在。34零二极限存在准则（二）设因为由数列极限地保号知在两端取极限,得:

解得或（舍）,因此35本节内容零二极限存在准则零三两个重要极限零一极限地运算法则36零三两个重要极限除了前面介绍地两类求极限地方法外,我们还经常遇到一些形式很特殊地函数,此时可以考虑一些常见地极限。本部分给出两个重要地极限:（一）（二）37零三两个重要极限重要极限I📢注（一）这一极限可通过夹逼准则证明,利用三角函数地关系;（可以挑战）（三）根据复合函数极限地质,该极限可推广为:（二）极限地变化过程需要是时结论才成立;38📚例一零解求零三两个重要极限39📚例一一解求零三两个重要极限40零三两个重要极限重要极限II📢注（一）这一极限可通过单调有界定理与夹逼原理证明;（也可以挑战）（二）底数极限为一,指数极限为,称为""型未定式;41零三两个重要极限（三）根据函数极限地质,我们还有:

42📚例一二解求零三两个重要极限43零三两个重要极限44📚例一三解求极限零三两个重要极限45📚例一四本利与如果"预约续存",则到期后利息将计入本金,即计"复利".这样,在第二个存期结束时地本利与为零三两个重要极限(连续复利问题)在银行存款,如果本金为,存期为年,年利率为,则每期利率为.第一个存期结束时,46第个存期结束时地本利与为如