专题01 解一元二次方程 【考题猜想30题5种题型】（原卷版）

专题01解一元二次方程（30题5种题型）一、一元一次方程1．（2022秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．2．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．3．（2019秋·重庆江津·九年级校联考期末）先化简，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．二、一元二次方程的解法4．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市实验学校校考期中）用指定的方法解下列方程：（1）；（直接开平方法）（2）；（配方法）（3）；（公式法）（4）．（因式分解法）5．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？6．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．7．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．8．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知关于，的方程组与的解相同．（1）求，的值；（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．9．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB<AC）的边长，当BC=时，△ABC是直角三角形，求此时m的值．10．（2022秋·江苏·九年级期中）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．11．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．12．（2021秋·湖南·九年级校联考期中）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），解：设，则有，原方程可化为：，续解：13．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）阅读下列材料，解答问题．．解：设，则，原方程可化为，，即．或，解得．请利用上述方法解方程：．14．（2023秋·重庆渝中·九年级统考期末）阅读材料，解答问题．解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得，．或．，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：(1)；(2)．三、一元二次方程根的判别式15．（2023秋·湖南益阳·九年级校联考期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．16．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．17．（2022·北京西城·九年级北师大实验中学校考期末）已知关于的一元二次方程．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于0，求的取值范围．18．（2023秋·河南商丘·九年级校联考期末）已知T=(1)化简T；(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．19．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．已知．(1)填空：当时，，所以是的一个因式．于是．则________________；(2)已知关于x的方程的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．四、一元二次根与系数的关系20．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．21．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）阅读材料：材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．材料2：已知实数，满足，，且，求的值．解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．22．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值．23．（2022秋·四川绵阳·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．24．（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．25．（2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中）已知关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＋x2＝2－x1x2，求m的值．26．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若，求m的值．五、与一元二次方程有关的存在性问题27．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．28．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有，两实数根．（1）若，求及的值；（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．29．（2023秋·湖南衡阳·九年级校考期末）关于的方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的