专题15.2 分式的乘法和除法之六大考点（解析版）

专题15.2分式的乘法和除法之六大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一分式乘法】 1【考点二分式除法】 3【考点三分式乘除混合运算】 4【考点四分式乘方】 5【考点五含乘方的分式乘除混合运算】 7【考点六分式乘除混合运算中化简求值】 9【过关检测】 11【典型例题】【考点一分式乘法】例题：（2023秋·八年级课时练习）计算．【答案】【分析】利用分式的乘法运算法则计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查分式的乘法，掌握分式乘法运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期末）计算的结果是．【答案】【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，掌握分式的乘法运算法则是解答本题的关键．2．（2023秋·广西玉林·八年级统考期末）计算：.【答案】【分析】根据分式的乘法法则即可得．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．3．（2023·吉林·模拟预测）计算的结果是．【答案】/【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可得解．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的乘法运算，掌握分式的乘法运算法则是解答本题的关键．【考点二分式除法】例题：（2023秋·八年级课时练习）计算：（1）_____________；（2）_____________．【答案】【分析】根据分式的除法计算法则求解即可．【详解】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的除法计算，正确计算是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广东汕头·校联考二模）把式子化到最简其结果为____________．【答案】【分析】第二个分式的分子和分母先分解因式，再化除法为乘法，然后约分即可．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算的结果是______．【答案】【分析】利用分式的除法运算法则计算即可得到结果．【详解】解:，故答案为：．【点睛】此题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解本题的关键．【考点三分式乘除混合运算】例题：（2023春·全国·八年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】根据分式乘除法进行计算即可求解．【详解】．【点睛】本题考查了分式乘除法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：．【答案】2【分析】根据平方差公式和分式乘除法则求解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行运算以及分式乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．2．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算；（2）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算．【详解】（1）原式．（2）原式．【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，正确分解因式是关键，属于基础题．【考点四分式乘方】例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算．【答案】【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则先算乘方，然后再算乘法即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查分式的乘法运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级期中）计算：（1）；

（2）﹣a﹣1．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先计算分式的乘方，幂的乘方，再算分式的乘除，最后化为最简分式；（2）先通分，利用公式展开，再合并同类项．【详解】解：（1）；

=，=，=；（2），=，=，=，=．【点睛】本题考查分式的加减，分式的乘方，幂的乘方，分式乘除混合运算，掌握分式的加减，分式的乘方，幂的乘方，分式乘除混合运算是解题关键．2．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据分式的乘方运算法则计算即可；（2）先计算分式的乘方，再计算分式的除法；（3）根据分式的乘方运算法则计算即可；（4）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法．【详解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则是解题的关键．【考点五含乘方的分式乘除混合运算】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：【答案】【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．【详解】解：【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案．【详解】（1）（2）【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：（1）；（2）；（3）•÷；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法；（2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法；（3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法；（4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可．【详解】解：（1）原式=）=；（2）原式==1；（3）原式==；（4）原式==．【点睛】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关键．【考点六分式乘除混合运算中化简求值】例题：（2023秋·广东肇庆·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】将除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查了分式的除法运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）化简并求值：，其中．【答案】，9【分析】先对各分式进行因式分解，然后将除法变为乘法，进行化简，再将的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：，∵，∴原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式乘除法的运算法则．2．（2023春·全国·八年级专题练习）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】先利用分式的除法法则将原式变形，再利用分式的乘法法则进行化简，最后把的值代入计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的乘法、除法法则和求值．能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·八年级课时练习）下列运算结果为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过约分化简即可判定A、D，根据分式的乘法法则计算判定C，根据分式除法法则计算判定C．【详解】解：A．原式，故此选项不符合题意；B．原式，故此选项符合题意；C．原式，故此选项不符合题意；D．原式，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题词考查分式化简和分式乘除法，熟练掌握分式化简与分式乘除法法则是解题的关键．2．（2023秋·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）下列计算不正确的题是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案．【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意；B、，原计算正确，本选项不符合题意；C、，原计算错误，本选项符合题意；D、，原计算正确，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．3．（2023·河北沧州·校考模拟预测）若x为正整数，则计算的结果是（

）A．正整数 B．负整数 C．非负整数 D．非正整数【答案】C【分析】先化简分式，再由x为正整数即可判断；【详解】解：原式==∵x为正整数，∴，∴，∴计算的结果是非负整数．故选：C．【点睛】本题主要考查分式的化简，正确理解题意是解本题的关键．4．（2023秋·全国·八年级课堂例题）一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过分析，用静水速度减去水流速度表示出逆水速度，用静水速度加上水流速度表示出顺水速度，然后用路程除以速度分别表示出逆水行驶的时间和顺水行驶的时间，最后用顺水行驶的时间除以逆水行驶的时间即可解答．【详解】解：由题意得：船在顺水中的速度是千米/时，船在逆水中的速度是千米/时，则，故选：A．【点睛】本题主要考查了分式的乘除应用，解题的关键是表示出顺水行驶的时间和逆水行驶的时间．5．（2023秋·河北石家庄·八年级校联考阶段练习）下面是某同学化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的卡片序号为（

）．①

②

③

④A．③②① B．③①② C．④②① D．④①②【答案】C【分析】先把除法化为乘法，再约分即可得到答案．【详解】解：；故选C【点睛】本题考查的是分式的除法运算，熟记分式的除法的运算的运算法则是解本题的关键．二、填空题6．（2023春·全国·八年级专题练习）计算．【答案】【分析】先算分式的乘方，然后再按分式的乘法运算法则计算即可．【详解】解：．故答案为．【点睛】本题主要考查了分式的乘方和运算乘法运算，掌握分式的乘方运算法则是解答本题的关键．7．（2023秋·湖南邵阳·八年级校考阶段练习）计算：．【答案】【分析】直接根据分式的乘方以及乘除法法则进行计算即可得到答案．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的乘方以及乘除法混合运算，正确掌握运算法则是解答本题的关键．8．（2023春·浙江·七年级专题练习）若分式的值为正整数，则整数的值为．【答案】0或1【分析】先把分式进行约分，再根据分式的值是正整数，得出的取值，从而得出的值．【详解】，要使的值是正整数，则分母必须是4的约数，即或或，则或或(舍去)，故答案为：0或1．【点睛】本题考查了分式的化简、分式的值，利用约分的方法进行分析是解决问题的关键．9．（2023春·浙江·七年级专题练习）对实数定义新运算例如：，化简．【答案】或．【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析，分别求出化简的结果，即可得到答案．【详解】解：∵，当时，即，==；当，即，==；故答案为：或．【点睛】本题考查了新定义的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．10．（2023秋·湖北武汉·九年级校考自主招生）已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为．【答案】4【分析】先求出，则，进而得出，则，把代入进行计算即可．【详解】解：，∴，∴，∴，，当时，，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．三、解答题11．（2023秋·山东泰安·八年级青云中学校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可；（2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可．【详解】（1）；（2）．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．12．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可；（2）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算．13．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．（4）解：．【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．14．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（3）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可．（4）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．15．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】将分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约分计算，再将x值代入计算即可．【详解】解：,当时，原式．【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，正确化简分式是解题关键．16．（2023秋·八年级课时练习）在解答题目“已知，求的值”时，小明误将看成了，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？【答案】见解析【分析】根据分式的除法法则，对式子进行化简求值，即可．【详解】解：．因为原式结果是常数2，与x的值无关，所以小明误将看成了，其结果仍然是正确的．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除运算，平方差和完全平方公式的运用．17．（2023秋·八年级课时练习）先化简，再求值：，其中，．【答案】【分析】先算乘方，然后计算乘除化简分式，最后代入数值计算解题．【详解】解：．当，时，【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．18．（2023秋·八年级课时练习）计算：．原式第一步．第二步回答：(1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________；(2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________；(3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________．【答案】(1)，(2)约分(3)二，【分析】先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【详解】（1）解：第一步使用的公式是完全平方公式和平方差公式，即，；故答案为：，；（2）解：第二步所使用的运算方法是约分；故答案为：约分；（3）解：第二步出现错误，，故答案为：二，．【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．19．（2023春·全国·八年级专题练习）涪陵是举世闻名的“榨菜之乡”，今年榨菜更是喜获丰收．为了选育更好的榨菜品种，农民伯伯们开始自己建试验田，王大伯家试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，李大爷家试验田是边长为米的正方形，两块试验田的榨菜最后都分别收获了1000kg．(1)哪家的榨菜品种单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？【答案】(1)李大爷家的产量高；(2)．【分析】（1）分别计算出两种试验田收获榨菜的单位面积产量，再去比较大小；（2）利用分式的除法法则计算即可．【详解】（1）解：王大伯家试验田的面积是：，