专题11.1 与三角形有关线段的几何综合（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）VIP

专题11.1与三角形有关线段的几何综合【典例1】【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．（1）①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点；②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）【综合应用】（2）如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD=；②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM．如图5，△ABC中，M是BC上一点，且BM=13BC，N是AC的中点，若△ABC【思路点拨】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE=12∠BAC=35°，再由直角三角形的性质得∠ABE=55°（3）连接CD，由中线的性质得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，设S△ADN【解题过程】（1）解：①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A=90°，∴ΔABC的三条高所在直线交于点故答案为：A；②如图2，延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，∴∠BAC=70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=1∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-35°=55°，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=80°-55°=25°，故答案为：25°；②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC-∠ACB，理由如下：∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-∠BAD，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=∠ABC+∠BAD-90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∴∠BAD=90°-1∴∠EBD=∠ABC+∠BAD-90°=∠ABC+90°-1∴2∠EBD=∠ABC-∠ACB，故答案为：2∠EBD=∠ABC-∠ACB；（3）解：连接CD，如图5所示：∵N是AC的中点，∴S△ADN∴S同理：S△ABN设S△ADN∵△ABC的面积是m，∴S∴S∵BM=1∴BMCM∴S△BDMS△CDM∴S△CDM=2∴S△CDM=∵S即：23解得：a=1∴S故答案为：5121．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6【思路点拨】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得SΔBEFSΔABF=BE【解题过程】解：如图：连接AF∵BE=3，AE=6，∴AB=9，∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等，∴SΔBEF同理可得：SΔABF=∴S△BEF故选：A．2．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是（

）A．28 B．32 C．30 D．29【思路点拨】根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，来计算．设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，根据BE=4EC，D为AB中点，找到相关等量关系，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可求解．【解题过程】解：设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，∵BE=4EC，∴根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，有：S△BEF=4S∴S△BAF∵D为AB中点，∴S△BDF=S∵S△BDC=S∴3b=2b+5a，即b=5a，∵四边形BEFD面积为14，∴S四边形∴b=5a2b+4a=14，解得a=1∵△ABC的面积为S△ABC∴S△ABC故选：C．3．（2022春·江苏苏州·七年级期末）如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且ADBD=1m，CEAE=1n，若A．mn+n+1n B．mn+m+1n C．mn+n+1m【思路点拨】连结AF，由ADBD=1m，得SΔACDSΔBCD=ADBD=1m，SΔAFDS【解题过程】解：连结AF，∵ADBD∴SΔ∴SΔ设S△ACD=a，S△AFD=b，∴SΔBCD=mS∴SΔ△BCF的面积为1，SΔ由CEAE同理SΔ∴SΔSΔ故选择：D．4．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（）A．24 B．28 C．35 D．30【思路点拨】连接CG、BF，设SΔAFG=m，表示出SΔBDG、SΔCFE，进而得出四边形DEFG【解题过程】解：连接CG、BF，过点F作FM⊥AB于点设SΔAFG∵G为AB的中点，∴AG=BG，∵SΔAFG=12∴SΔAFG∴SΔAFB∵CF=4AF，∴同理可得：SΔBFC∴SΔABC∵BD=DE=EC，∴BC=3EC，∴同理可得：SΔCFE∵G为AB的中点，∴同理可得：SΔACG∵BD=DE=EC，∴BC=3BD，∴同理可得：SΔBDG∴四边形DEFG的面积为：10m-m-8∴143m=∴SΔABC故选：D．5．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=311则a的值为（

）A．1 B．2 C．6 D．3【思路点拨】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得a．【解题过程】解：在图①中，连接OC，∵AE1=C∴S△OAE1=S∵S△OAE1∴S△OA∴S△OA设S△OAS1解得S1在图②中，连接OE2、OC、则S△ABE1设S△OAS2解得S2在图③中，连OE2、OE3、OC、则S△ABE1设S△OAS3解得S3.....．由可知，Sn∵S∴12×5+1解得a=3．故选：D6．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，则S1-S2=_______．【思路点拨】S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE，所以求出△ABD的面积和△ABE的面积即可，而EC=2BE，点D是【解题过程】解：∵点D是AC的中点，即：AD=1∵S∴S∵EC=2BE，SΔABC∴S∵S即S△ADF即S1故答案为：6．7．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=52，AC=4,CD=3BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形【思路点拨】连接CF，设S△BFD=a，然后求出图中各个三角形的面积，从而得到S四边形【解题过程】解：连接CF，如图所示，设S△BFD∵CD=3BD，∴S∵点E是AC的中点，∴S∴S∴S∴S∴S∴S∴S∵在ΔABC中，AB=52∴SΔABC∴S四边形DCEF故答案为：948．（2023春·七年级单元测试）在△ABC中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若△ABC的面积是14，则△DEF的面积为_________．【思路点拨】连接AF，BD，CE，利用三角形的中线的性质，三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算，得到7S【解题过程】解：如图，连接AF，BD，CE，∵点D是AE的中点，点E是BF的中点，∴BD是ΔABE的中线，DE是Δ∴SΔABD=∴SΔ同理可得SΔBCE=∴SΔABD=SΔ∵SΔABD+SΔBDE+∴7SΔDEF故答案为：29．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为______．【思路点拨】根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AF，∵EF=FC，△BEF的面积为4，∴S△BFC∵BF=2FD，∴S△DFC∵EF=FC，∴S△AEF∵BF=2FD，∴S△ABF∴S△AEF∴S△ADF+2+4=2S∴S△AEF∴S四边形故答案为：14．10．（2022春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）如图，在△ABC中，点E是AB边上的点，且AE:EB=2:3，点D是BC边上的点，且BD:DC=1:2，AD与CE相交于点F，若四边形BDFE的面积是16，则△ABC的面积为______．【思路点拨】连接FB，设S△BDF＝a，S△BEF＝b，推出S△AEF=23b，S△CDF＝2a，S△ABD=12S△ACD=（16+23b），S△ACE=23（16+2a），根据S△ACF＝S△ACD﹣S△CDF＝S△ACE﹣S△AEF得到10a﹣6b＝64，与a+b＝16【解题过程】解：连接FB，如图所示：设S△BDF＝a，S△BEF＝b，∵AEEB∴S△AEF=23∵BD：DC＝1：2，∴S△CDF＝2a，∴S△ABD=12S△ACD＝16+23b，S△ACE=∵S△ACF＝S△ACD﹣S△CDF＝S△ACE﹣S△AEF，∴32+43b﹣2a=23（16+2a∴10a﹣6b＝60，∵a+b＝16，10a-6b=64a+b=16解得a=10b=6∴S△ABC＝S△ACD+S△AEF+S四边形BDFE＝（32+43b）+＝48+2b＝48+12＝60．故答案为60．11．（2022春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，点C为直线AB外一动点，AB=5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC的长度的最小值为___．【思路点拨】如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，根据三角形中线的性质只需要求出S△ABC=15从而求出【解题过程】解：如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴S△ABE=S∴S△CEF+S∴S四边形∴S△ABC∴12∴CH=6，又∵点到直线的距离垂线段最短，∴AC≥CH=6，∴AC的最小值为6，故答案为：6．12．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD相交于点O．若AD与BC之间的距离为m，AC＝6，BD＝152，则AD＋BC的最大值为________【思路点拨】作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，DH⊥BC于点H，由面积法可得S梯形ABCD=S△ADC+S【解题过程】解：如图，作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，DH⊥BC于点H，得DH=m，∴S△ADC而S梯形∵S梯形∴12而3DF+3BE=3DF+BE∴1得：AD+BC≤45∴AD＋BC的最大值为45m故答案为：4513．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是______．【思路点拨】连接FC，设S△BFD=a，利用CD=4BD及中点，分别表示四边形DFEC的面积与△ABC的面积，利用△ABC的面积最大，四边形【解题过程】解：连接FC，∵CD=4BD，设S△BFD=a，则∵E为AC的中点，∴S△BAE=∴S∴S∴S△AFE=S△CFE∴四边形DFEC的面积=7∴△ABC的面积最大，四边形DFEC的面积最大，∴当AB⊥AC时，△ABC的面积最大，四边形DFEC的面积最大，此时四边形DFEC的面积=7故答案为：7．14．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足AE=2BE，CD=3AD，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若△CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________【思路点拨】连接AO，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．【解题过程】解：如图，连接AO，∵CD=3AD，∴AD：CD=1：3，∴S△ADF=13S∵S△CDF∴S△ADF=4，∵AF∥BC，∴S△ABF∴S△ABD∴S△CBD=36，∵AE=2BE，∴BE：AE=1：2，∴S△AEC=2S∴S△AEC=32，∴S△AOE即S△AOE∴13S△COD∴S△COD∵S△BCD∴S△COD∴S四边形AEOD=S故答案为：52515．（2022秋·全国·七年级期末）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF=2AF，点E1是CB边的中点，连接E1F，E1D，得到△E1FD；点E2是CE1的中点，连接E2F，E2D得到△E2FD；点E3是【思路点拨】由题意得：AB=CD,AD=BC，∠A=∠B=∠C=90°，AF=AB=CD=3AF，S△E1【解题过程】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠C=90∵BF=2AF，点E1是CB∴AF=AB=CD=3AF，∴S=6-1=6-1=6-1=6-1=6-1+∵E2是∴BE2=∴S整理得：S△同理可得：S△∴S=3-1S△故答案为：3-116．（2022春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC=70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．（1）求∠BDC的度数；（2）试比较DA+DB+DC与12【思路点拨】（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，再由角平分线的定义求出∠CBD+∠BCD=55°，然后由三角形内角和定理即可得出答案；（2）由三角形的三边关系得：DA+DB>AB，DB+DC>BC，DA+DC>AC，则2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC，即可得出结论．【解题过程】（1）解：∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∠ACD=∠BCD=12∠ACB∴∠CBD+∠BCD=12(∠ABC+∠ACB)=12×110°∴∠BDC=180°-(∠CBD+∠BCD)=180°-55°=125°；（2）解：DA+DB+DC>12(AB+BC+AC)在△ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DB>AB①，同理∶DB+DC>BC②，DA+DC>AC③，+②+③得∶2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC，∴DA+DB+DC>12(AB+BC+AC)17．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．【思路点拨】根据AD是BC边上的中线，可以得到BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则BC=2x，AC=4x．分两种情况讨论：当AC+CD=60，AB+BD=40时，求出x、y的值，即可确定AC和AB的值；当AC+CD=40，AB+BD=60时，同理可求出AC和【解题过程】解：因为AD是BC的中线，所以BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则BC=BD+CD=2x，AC=2BC=4x，分两种情况讨论：①AC+CD=60，AB+BD=40，则4x+x=60，x+y=40，解得x=12，y=28，即AC=4x=48，AB=28；②AC+CD=40，AB+BD=60，则4x+x=40，x+y=60，解得x=8，y=52，即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此时AC+BC<AB，不符合三角形三边关系定理，不符合题意．综上所述，AC=48，AB=28．18．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，则S1（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到