第2章第07讲 解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6类热点题型讲练)（解析版）

第2章第07讲解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【类型一利用二次根式的非负性求值】 1【类型二利用乘法公式进行计算】 4【类型三整体代入求值】 6【类型四新定义型运算】 9【类型五二次根式的分母有理化】 12【类型六复合二次根式的化简】 18【类型一利用二次根式的非负性求值】例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）若直角三角形两直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．【答案】【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，再根据勾股定理求解．【详解】解：，，，该直角三角形的斜边长，故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知则的值是．【答案】9【分析】根据根式的非负性结合非负式子和为0，它们分别等于0，即可得到答案；【详解】解：∵，，，∴，，解得：，，∴．故答案为：9．【点睛】本题考查根式的非负性，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0，它们分别等于0．2．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知，则的算术平方根是．【答案】4【分析】由非负数的性质得出a和b的值，代入再求算术平方根即可．【详解】解：∵，∴，解得：，则，∴的算术平方根是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了非负数的性质和算术平方根，正确求出a和b的值是解答本题的关键．3．（2023·全国·八年级假期作业）如果实数、满足，则的平方根为．【答案】/3或/或3【分析】根据算术平方根的非负性，求得的值，进而得出，代入代数式，然后再求平方根即可求解．【详解】解：∵实数、满足，∴，∴，∴，∴的平方根为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的平方根，熟练掌握算术平方根的非负性，平方根的定义是解题的关键．4．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知直角三角形两边的长满足，则第三边的长．【答案】或或【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分三种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足，∴，，解得（负值不合题意，舍去），或，当直角边长分别为2，2时，则第三边长为：；当直角边长分别为2，3时，则第三边长为：；当直角边长为2，斜边长为3，则第三边长为．故答案为：或或．【点睛】此题考查勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）已知实数a，b满足关系式．(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；（2）根据算术平方根的定义求解即可．【详解】（1）由题意，，可得，，解得，．（2）的算术平方根是．【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，注意：几个非负数的和为0时，则每个数都是0．6．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状．【答案】的周长为17，是等腰三角形．【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状．【详解】解：∵，∴，解得，∵a为方程的解，∴或1，当时，，不能组成三角形，故不合题意；∴，∴的周长，∵，∴是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．【类型二利用乘法公式进行计算】例题：（2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）计算：．【答案】【分析】先计算平方差和完全平方差，再计算减法，化简即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的运算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解题关键是牢记公式．【变式训练】1．（2023春·青海果洛·八年级统考期末）计算：．【答案】【分析】先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）计算：．【答案】2【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】原式．【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，正确计算是解题的关键．3．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）计算：【答案】【分析】原式根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．4．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）先根据平方差和完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可．【详解】（1）原式．（2）原式．【点睛】本题是对二次根式的混合运算的考查，熟练掌握二次根式的化简及运算法则是解决本题的关键．5．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先计算零指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左往右依次计算，即可得到答案；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【类型三整体代入求值】例题：（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，求．【答案】【分析】将进行平方，再将整体代入求值即可．【详解】解：将代入得：∴故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是整体代入法求值．【变式训练】1．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如果，，那么．【答案】【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，那么的值等于．【答案】【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．【详解】解：∵，∴，∴∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示．3．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知，求代数式的值．【答案】2【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可．【详解】解：，．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式．4．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）已知：，求的值．【答案】【分析】根据进行计算求解即可．【详解】解：∵，∴．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到是解题的关键．5．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，求下列式子的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；（2）将，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，，∴；（2）解：∵，∴【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．【类型四新定义型运算】例题：（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：，则计算的结果为．【答案】/【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式运算，再进行二次根式的运算即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的计算，理解新定义，将式子转化为二次根式的计算，并正确进行二次根式计算是解题关键．【变式训练】1．（2023春·广西南宁·七年级校联考期中）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么．【答案】3【分析】根据定义的新运输，将，代入化简即可得出答案．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．2．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．

若，（1）第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为；（2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为．【答案】1【分析】（1）若，根据题意进行计算即可得；（2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为，再算出第三次运算结果，第四次运算结果，第五次运算结果，第六次运算结果，根据所得规律进行计算即可得．【详解】解：（1）若，第一次“F运算”的结果为：，第二次“F运算”的结果为：，故答案为：，；（2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为，第三次运算结果为：，第四次运算结果为：，第五次运算结果为：，第六次运算结果为：，∵∴第2022次“F运算”的结果为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了数字类变化规律，解题的关键是理解题意，发现结果的变化规律．3．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值．【答案】【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：∵，∴根据题中的新定义得：，即：．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．4．（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．(1)已知：，求：①________；②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；(2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；(3)计算：．【答案】(1)①2；②(2)，10，2(3)【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；（3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案．【详解】（1）解：①∵，∴；故答案为：2②由①得，已知，两式相加得到，，即，则，解得，经检验，满足题意，即方程的解是；（2）解：由二根式有意义的条件得到，解得，即的取值范围是，x的最大值是10，x的最小值是2；故答案为：，10，2（3）【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．【类型五二次根式的分母有理化】例题：（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式．运用以上方法解决问题：(1)将分母有理化；(2)观察上面的解题过程，请直接写出结果：______．(3)计算的值．【答案】(1)(2)(3)2022【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（2）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（3）先分母有理化，最后合并即可．【详解】（1）解：==；（2）解：；故答案为：；（3）解：原式．【点睛】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解此题的关键是能正确进行分母有理化．【变式训练】1．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)化简：；(2)计算：；(3)比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）利用有理化因式，化去分母中的根号即可；（2）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行加减运算即可；（3）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行比较即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴，【点睛】本题考查分母有理化，掌握二次根式的运算是解题的关键．2．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________．(2)应用：化简．(3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数）【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】（1）①分子分母都乘以可得答案；②分子分母都乘以可得答案；（2）把分母中的二次根号去掉，再合并同类二次根式即可；（3）把分母中的二次根号去掉，再结合分配律，合并同类二次根式即可；【详解】（1）解：①；②；（2）；（3）．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的运算中的规律探究，熟练的分母有理化是解本题的关键．3．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题：已知，求的值他是这样解答的：，．，．．．请你根据小诚的解题过程，解决如下问题：(1)______；(2)化简；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据小诚的解答过程计算即可．（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可的结果．（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．【详解】（1）；（2）原式；（3），，，即．．．【点睛】本题考查了二次根式的加减，分母有理化，平方差公式，解题的关键是根据已知进行解答．4．（2023春·河北邢台·八年级校考期中）【阅读材料】在二次根式中，如：，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：，．【解决问题】(1)化简的结果为______；(2)已知，．①化简______，______；②求的值；(3)计算：．【答案】(1)(2)①；；②(3)【分析】（1）结合题意，利用分母有理化、平方差公式计算即可；（2）①利用分母有理化化简即可②利用提公因式法把原式变形，代入计算即可；（3）根据（1）的结论计算即可．【详解】（1），故答案为：．（2）①；②．（3）原式．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键．【类型六复合二次根式的化简】例题：（2023春·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考，小张解决这个问题的过程如下：①②③④在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；（2）化简；（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．【答案】（1）④，；（2）；（3）【分析】（1）第④步出现了错误，；（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：；（2）；（3）．【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．