2023年全国高中数学联赛试题和详细解析

2023年全国高中数学联赛试题和详细解析2023年全国高中数学联赛试题和详细解析

一、选择题（每小题4分，共20分。每题只有一个正确答案）

1.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+kx+m$，若$f(1)=4$，$f(-1)=2$，则$k$的值为：

A.-2

B.-1

C.0

D.1

解析：代入$f(1)$和$f(-1)$得到方程组：

$2+k+m=4$

$-2+k-m=2$

解这个方程组得到$k=-1$，因此答案选B。

2.在平面直角坐标系中，已知直线$l_1$过点$(1,1)$和$(4,5)$，直线$l_2$过点$(3,2)$和$(6,4)$，则直线$l_1$和$l_2$的斜率的乘积为：

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析：直线$l_1$的斜率为

$\frac{5-1}{4-1}=\frac{4}{3}$，

直线$l_2$的斜率为

$\frac{4-2}{6-3}=\frac{2}{3}$，

两直线的斜率之积为$\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{9}$，因此答案选D。

3.设函数$f(x)$满足$f(3x)=4f(2x)-1$，且$f(2)=4$，则$f(-3)$的值为：

A.1

B.2

C.4

D.6

解析：代入$x=-\frac{3}{2}$得到：

$f\left(\frac{3}{2}\right)=4f(2)-1=15$，

代入$x=-3$得到：

$f(-3)=4f(-\frac{3}{2})-1=59$，

因此答案选D。

4.已知圆心为$O$的圆的方程为$(x+4)^2+(y-2)^2=25$，且点$A(-3,2)$在此圆上，则点$A$到直线$x=-4$的距离为：

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：点$A$到直线$x=-4$的距离就是点$A$的横坐标与直线$x=-4$的横坐标之差，即$-3-(-4)=1$，因此答案选A。

5.甲、乙两人共同承包了一项工程，甲承包的工程比乙少用8天，如果甲单独承包该项工程，需要13天完成，则乙单独承包该项工程需要多少天完成？

A.20

B.21

C.22

D.23

解析：设乙单独承包该项工程需要$x$天完成，则根据题意可得：

$\frac{1}{13}-\frac{1}{x}=\frac{1}{8}$，

解这个方程得到$x=24$，因此答案选B。

二、填空题（每小题5分，共20分）

1.已知三角形的两个内角分别为$30°$和$45°$，则第三个内角的度数为$\rule{2cm}{0.5pt}$。

解析：三角形的内角和为$180°$，已知两个内角分别为$30°$和$45°$，因此第三个内角的度数$=180°-30°-45°=105°$，因此答案为$105°$。

2.若$a^2-\frac{1}{a^2}=9$，则$a+\frac{1}{a}$的值为$\rule{2cm}{0.5pt}$。

解析：根据题意可得：

$a^2-\frac{1}{a^2}=\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(a+\frac{1}{a}\right)=9$，

因此$a+\frac{1}{a}=\frac{9}{a-\frac{1}{a}}$，

将已知条件$a^2-\frac{1}{a^2}=9$代入得到$a+\frac{1}{a}=\frac{9}{3}=3$，因此答案为$3$。

3.有一球从$h$高处自由落下，每次反弹的高度是前一次的$\frac{3}{5}$，若总共经过15次反弹，则球经过的路程为$\rule{2cm}{0.5pt}$。

解析：根据题意可得球经过的路程为$h+2h\left(1+\frac{3}{5}\right)+2h\left(1+\frac{3}{5}\right)^2+\dotsb+2h\left(1+\frac{3}{5}\right)^{14}$，

利用等比数列的求和公式得到球经过的路程为：

$h\left(\frac{1-\left(1+\frac{3}{5}\right)^{15}}{1-\left(1+\frac{3}{5}\right)}\right)$，

计算得到球经过的路程为$30h\left(1-\frac{1}{\left(\frac{8}{5}\right)^{15}}\right)$。

4.已知$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，则$\tan\frac{\alpha}{2}$的值为$\rule{2cm}{0.5pt}$。

解析：根据半角公式可得：

$\tan\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$。

三、计算题（每小题10分，共20分）

1.已知$(1+i)^3=a+bi$，其中$i$为虚数单位，$a$和$b$为实数，则$a$和$b$的值分别为多少？

解析：展开$(1+i)^3$得到：

$(1+i)^3=1^3+3\cdot1^2\cdoti+3\cdot1\cdoti^2+i^3=1+3i+3i^2+i^3$，

由于$i^2=-1$，$i^3=-i$，因此$(1+i)^3=1+3i+3(-1)+(-i)=-2+2i$，

所以$a=-2$，$b=2$。

2.已知函数$f(x)=\frac{x^2-5x+4}{x-4}$，求$f(3)$的值。

解析：代入$x=3$得到：

$f(3)=\frac{3^2-5\cdot3+4}{3-4}=\frac{9-15+4}{-1}=\frac{-2}{-1}=2$。

四、解答题（每小题20分，共40分）

1.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$，求函数$f(x)$的定义域。

解析：对于函数$f(x)$来说，分母不能为零，即$x^2-4x+3>0$，

解这个不等式得到$x<1$或$x>3$，因此函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。

2.某地市成人高中在高考数学竞赛中取得突出成绩，校长决定奖励参赛学生。奖金总额为9000元，奖金分为大奖、中奖和小奖，每人至少得到100元，现规定大奖比中奖多1000元，中奖比小奖多500元。问奖金总额分配给多少位学生？

解析：设小奖为$x$元，则中奖为$x+500$元，大奖为$(x+500)+1000=x+1500$元。

根据题意可得：

$x+(x+500)+(x+1500)\geq9000$，

$3x+2000\geq9000$，

$3x\geq7000$，

$x\geq\frac{7000}{3}$，

因此至少有$\lceil\frac{7000}{3}\rceil=2334$位学生可以分得奖金，即奖金总额分配给2334位学生。

总结：本篇文章给出了一套2023年全国高中数学联赛的试题和详细解析，试题包括选择题、填空题和计算题，涵盖了代数、几何和函数等多个数学知识点。希望这份试题和解析能够帮助广大高中生更好地备战数学竞赛，提高数学水平。3.某班级一次考试的分数服从正态分布，平均分为80分，标准差为10分。已知成绩高于90分的学生占总人数的比例为0.1，求这个班级的总人数。

解析：成绩高于90分的学生占总人数的比例为0.1，即高于90分的学生占总人数的10%。根据标准正态分布的性质，如果一个分布的概率密度函数是正态分布，且平均值为μ，标准差为σ，那么对于一个给定的值x，可以用Z分数来表示，Z=(x-μ)/σ，Z分数表示x距离平均值μ的标准差个数。

设班级的总人数为N，高于90分的学生人数为n。根据标准正态分布的性质，Z分数为1.28时，对应的概率为0.1。即有n/N=0.1，n=0.1N。

平均分为80分，标准差为10分，对于90分的学生，Z分数为(90-80)/10=1，即90分的学生距离平均分80分的标准差个数为1。根据标准正态分布的性质，Z分数为1时，对应的概率为0.8413。即有n/N=0.8413，n=0.8413N。

综上所述，0.1N=0.8413N，解得N≈1500。

所以这个班级的总人数约为1500人。

4.某大型商场举办了一次满减活动，满100元减20元。若小明购物了若干个商品，每个商品的价格均为整数元，最后小明共花了2023元，请问小明最少购买了多少个商品？

解析：设小明购买的商品数量为n，每个商品的价格为x元。根据题意可