2024版高考复习A版数学考点考法讲解：基本不等式及不等式的应用

高考

数学不等式2.2基本不等式及不等式的应用基础篇考点一基本不等式及其应用1.基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件

≤

a>0,b>0a=b其中

为正数a,b的算术平均数,

为正数a,b的几何平均数,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.几个重要不等式1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.2)a+b≥2

(a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.3)ab≤

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.4)a+

≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+

≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.注意:运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.另外,等号

成立仅用来验证最值是否能取到,不能用来求值.3.一个重要的不等式链条:

≤

≤

≤

(a>0,b>0)上述链条中的任意两个中有将“和式”转化为“积式”或将“积式”

转化为“和式”的放缩功能,并且有很多不同的变形,如:a2+b2≥2ab,

≤

,

≤

,

+

≥2(ab>0)等,所以利用基本不等式及其变式求最值(或证明不等式)既方便又具有很强的技巧性.考点二应用基本不等式求解最值已知x>0,y>0,1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2

(简记:积定和最小).2)如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值

(简记:和定积最大).注意:1.求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一

正”是指两数均为正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积

为定值,“三相等”是指必须满足等号成立的条件.2.连续使用基本不等式时,等号要同时成立.综合篇考法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略1.恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上恒

成立⇔f(x)min>A(x∈D);若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<

B(x∈D).2.能成立问题:若f(x)在区间D上存在最大值,则在区间D上存在实数x使不

等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D);若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成

立⇔f(x)min<B(x∈D).3.恰成立问题:不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D;不等式

f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.4.双变量的恒成立与存在性问题1)若∀x1∈I1、∀x2∈I2,f(x1)>(≥)g(x2)恒成立,则f(x)min>(≥)g(x)max.2)若∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)min>(≥)g(x)min.3)若∃x1∈I1,∀x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)max.4)若∃x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)min.5)已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上的值域为B,若∀x1∈I1,∃x2

∈I2,使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B.例1

若对任意x>0,

≤a恒成立,则实数a的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.

解析对任意x>0,有

=

=

≤

=

,当且仅当x=

,即x=1时,等号成立,即

的最大值为

﹒由对任意x>0,

≤a恒成立,∴a≥

,即a的取值范围是

.故选B.答案

B例2

(2021江苏苏州新草桥中学月考,13)已知函数f(x)=

,设b>0,若存在x∈

,使f(x)≥1,则b的取值范围是

.解析若存在x∈

,使f(x)≥1,f(x)=

,则

≥1,由b>0得b≤x-x2,即b≤

,∵x-x2=-

+

,x∈

,∴x=

时,(x-x2)max=

,则b≤

.故0<b≤

.答案

0<b≤

例3

已知函数f(x)=x2,g(x)=

-m,若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥g(x),则实数m的取值范围是

.解析对任意的x∈[1,2],都有f(x)≥g(x),转化为m≥

-x2,则m≥

,令h(x)=

-x2,易证h(x)在x∈[1,2]上为减函数,故h(x)max=h(1)=-

,故m∈

.答案

例4

已知f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2],使

得g(x1)=f(x2),则a的取值范围是

.解析由x∈[-1,2],f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0)可得f(x)的值域为[-1,3],g(x)

的值域是[-a+2,2a+2].对任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2]