2023-2024学年人教A版必修第一册 　任意角 学案

任意角学习目标心中有丘壑1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念.(数学抽象)2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(直观想象)3.理解终边相同的角的含义及表示.(数学运算)【情境导学】周日早晨,小明起床后发现自己的闹钟指针停在5:00这一时刻,他立即更换了电池,调整到了正常时间6:30,并开始正常的学习.小明在调整闹钟时间时,时针与分针各转过了多少度?角的正负与旋转方向之间有怎样的关系?一、角的概念的推广1.角的定义及分类(1)角的概念一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形.(2)角的分类类型定义图示正角按照逆时针方向旋转形成的角负角按照顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转2.角的加减的几何意义α+β表示在角α的基础上,逆时针旋转β角度;α-β表示在角α的基础上,顺时针旋转β角度.思考用几何意义表示角的加、减时,按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边?提示:在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边.二、象限角与终边相同的角1.象限角(1)定义:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.(2)实质:看终边落在的象限,终边落在第几象限就是第几象限角.(3)应用:判断已知角是第几象限角;写出某一象限的角.2.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.【教材深化】1.对角的概念的理解(1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的,它们是用来表示具有相反意义的旋转量的.(2)在判断角度时,应时刻抓住“旋转”二字:①要明确旋转方向;②要明确旋转角的大小;③要明确射线的起始位置;④要注意由旋转方向来确定角的符号.(3)高中阶段所说的角实际上是初中所学概念“由一点出发的两条射线组成的图形叫做角”的推广.角的概念推广后,角度的范围不再限于0°~360°.(4)零角的始边与终边重合.如果α是零角,那么α=0°.2.对终边相同角的几点说明(1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略.k有三层含义:①特殊性:对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向转动的圈数.k取正整数时,逆时针转动;k取负整数时,顺时针转动;k=0时,没有转动.(2)k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).(3)当角的始边相同时:相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍;终边不同则表示的角一定不同.3.关注两种思想(1)nα所在象限的判断方法注意转化思想的运用;(2)αn所在象限的判断方法注意分类讨论思想的运用4.辨明两个易错点(1)象限角是以角的终边的位置分类的,而锐角、钝角和直角是以角的大小分类的,不能将它们混淆.同时要注意第一象限角、锐角、小于90°的角三者的区别;(2)用分类讨论法解决分角象限问题时要注意找准分类角度,分类要做到不重不漏,切忌以偏概全.【自我小测】1.辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)经过1小时,时针转过30°. (×)提示:因为是顺时针旋转,所以时针转过-30°.(2)终边与始边重合的角是零角. (×)提示:终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).(3)小于90°的角是锐角. (×)提示:锐角是指大于0°且小于90°的角2.(教材改编题)终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是 ()A.αB.αC.αD.α【解析】选B.终边为第一象限的平分线的角的集合是αα=45终边为第三象限的平分线的角的集合是αα=由①②得αα3.在0°~180°内,与-930°终边相同的角是.

【解析】与-930°角终边相同的角是-930°+k·360°,k∈Z,当k=3时为150°,在0°~180°内,与-930°角终边相同的角是150°.答案:150°类型一任意角的概念及应用(数学抽象)[例1](1)(2023·沈阳高一检测)概念是数学的重要组成部分,厘清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要.现有如下三个集合,A={钝角},B={第二象限角},C={小于180°的角},则下列说法正确的是 ()A.A=B B.B=CC.A⊆B D.B⊆C【解析】选C.钝角是大于90°,且小于180°的角,一定是第二象限角,故A⊆B;第二象限角的范围是90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,即第二象限角不一定小于180°,故ABD错误,C正确.(2)喜羊羊步行从家里到草原学校去上学,一般需要10分钟,则10分钟内,钟表的分针走过的角度是 ()A.30° B.-30° C.60° D.-60°【解析】选D.利用定义,分针是顺时针走的,形成的角是负角,又周角为360°,所以有360°60×10=60°,即分针走过的角度是(3)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角的度数为,将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为.

【解析】把35°角的终边按顺时针方向旋转60°得35°-60°=-25°;把35°角的终边按逆时针方向旋转一周后得35°+360°=395°.答案:-25°395°【总结升华】1.理解角的概念的三个“明确”常见角α的范围:锐角0°<α<90°,钝角90°<α<180°.2.判断角的概念型问题的关键与技巧(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧:判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可.提醒:解答概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,只需举一个反例即可,二是利用定义直接判断.【即学即练】1.(多选题)下列说法中不正确的是 ()A.三角形的内角必是第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角【解析】选ACD.A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A不正确;B中始边相同而终边不同的角一定不相等,故B正确;C中钝角大于-100°角,而-100°角是第三象限角,故C不正确;D中零角或负角小于180°,但它们既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.2.将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是.

【解析】由于顺时针旋转,分针每分钟转-6°,所以20分钟转了-120°.答案:-120°类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象、数学运算)[例2]在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,(1)有几种终边不相同的角?(2)在集合S中有几个在[-360°,360°)内的角?【解析】(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45°,135°,225°,315°角的终边相同的角.(2)令-360°≤k·90°+45°<360°,得-92≤k<72.又因为k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在[-360°,360°)内的角共有8【备选例题】已知α=-1090°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)写出与α终边相同的角θ构成的集合S,并把S中适合不等式-360°≤θ<360°的元素θ写出来.【解析】(1)因为-1090°=-4×360°+350°,270°<350°<360°,所以把角α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式为-1090°=-4×360°+350°,它是第四象限角.(2)因为θ与α的终边相同,所以令θ=k·360°+350°,k∈Z,所以S={θ|θ=k·360°+350°,k∈Z},当k=-1,0时,满足题意,得到θ=-10°,350°.【总结升华】确定在某范围内终边相同的角的基本思路求与已知角α终边相同的角时,先将这样的角表示成α+k·360°(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求出满足条件的角,或通过解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.【即学即练】已知α=-1845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最小的正角;(2)最大的负角;(3)-360°~720°的角.【解析】因为-1845°=-45°+(-5)×360°,即-1845°角与-45°角的终边相同,所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°,k∈Z}.(1)最小的正角为315°;(2)最大的负角为-45°;(3)-360°~720°的角分别是-45°,315°,675°.【补偿训练】(2023·济宁高一检测)在0°~360°内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角:(1)-265°;(2)-1000°;(3)-843°10';(4)3900°.【解析】(1)因为-265°=-1×360°+95°,所以在0°~360°内,与-265°终边相同的角为95°,为第二象限角.(2)因为-1000°=-3×360°+80°,所以在0°~360°内,与-1000°终边相同的角为80°,为第一象限角.(3)因为-843°10'=-3×360°+236°50',所以在0°~360°内,与-843°10'终边相同的角为236°50',为第三象限角.(4)因为3900°=10×360°+300°,所以在0°~360°内,与3900°终边相同的角为300°,为第四象限角.类型三象限角及区域角的表示(数学运算、直观想象)角度1象限角[例3]若α是第一象限角,则角2α,α2各是第几象限角【解析】因为α是第一象限角,所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(*)所以k·720°<2α<k·720°+180°(k∈Z).故2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角.方法一:由(*)得k·180°<α2<k·180°+45°(k∈Z)(1)当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),得n·360°<α2<n·360°+45°(n∈Z),这表明α2(2)当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),得n·360°+180°<α2<n·360°+225°(n∈Z),这表明α2综合(1)(2)知,α2是第一或第三象限角方法二:如图,将各象限分成两等份,再从x轴正方向的上方起,按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,标有Ⅰ的区域(阴影部分)即α2的终边所在的区域,故α2【总结升华】关于角nα或αn(1)由α的范围,表示出nα,αn的范围,由n的取值确定象限(2)特别地,求αn所在象限时,可以把每个象限等分为n份,沿x轴非负半轴,逆时针方向顺序标记一、二、三、四,找到原象限数字即可角度2区域角的表示[例4](1)(2023·济南高一检测)如图,阴影部分表示角α的终边所在的位置,试写出角α的集合.(2)在直角坐标系中画出表示集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}的范围.【解析】(1)①{α|-30°+k·360°≤α≤k·360°,k∈Z}∪{α|150°+k·360°≤α≤180°+k·360°,k∈Z}={α|-30°+k·180°≤α≤k·180°,k∈Z};②{α|-30°+k·360°<α<60°+k·360°,k∈Z}.(2)因为{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}={α|k·360°-90°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}∪{α|k·360°+90°≤α≤k·360°+225°,k∈Z},所以集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}表示的范围如图所示:【总结升华】表示区域角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β},其中β-α<360°.(3)起始、终止边界对应的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角集合.【即学即练】1.已知θ是第二象限角,那么θ3是 (A.第一象限角B.第一或第二象限角C.第一、第二或第三象限角D.第一、第二或第四象限角【解析】选D.因为θ是第二象限角,所以360°·k+90°<θ<360°·k+180°,k∈Z,因此120°·k+30°<θ3<120°·k+60°,k∈Z当k=3m(m∈Z)时,360°·m+30°<θ3<360°·m+60°,m∈Z,为第一象限角当k=3m+1(m∈Z)时,360°·m+150°<θ3360°·m+180°,m∈Z,为第二象限角;当k=3m+2(m∈Z