高考数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 课时分层作业六十九 10.6 几何概型 理试题

课时分层作业六十九几何概型一、选择题(每小题5分,共35分)1.在区间[0,2]上随机取一个数x,使|x-1|>成立的概率是 ()A. B. C. D.【解析】选C.由|x-1|>,得x>或x<,由图可知,所求概率P==.2.(2018·咸阳模拟)某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过2分钟的概率是 ()A. B. C. D.【解析】选C.试验的全部结果构成的区域长度为5,所求事件的区域长度为2,故所求概率P=.3.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P,则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为 ()A. B. C. D.【解析】选A.正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合,且棱长为1的正方体,该正方体的体积是V1=13=1,而原正方体的体积为V=33=27,故所求的概率P==.【变式备选】一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.

【解析】根据几何概型知识,概率为体积之比,即P==.答案:4.(2018·青岛模拟)如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角θ=.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是 ()A. B.C. D.【解析】选C.由题意,知小正方形的边长为-1,故所求概率P==.【变式备选】已知等边三角形的面积为,在其内部任取一点,则该点落在三角形内切圆内的概率是 ()A. B. C. D.【解析】选D.如图,设等边△ABC的边长为a,则a2=,解得a=2.在Rt△ODB中,BD=1,∠DBO=30°,所以r=BD·tan30°=,S☉O=πr2=π.由几何概型的概率公式得P==.5.(2018·石家庄模拟)如图,M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长度超过R的概率是 ()A. B. C. D.【解析】选D.由题意知,当MN=R时,∠MON=,所以所求概率为1-=.【变式备选】如图所示,A是圆上一定点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,得到一条弦,则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为 ()A. B. C. D.【解析】选C.当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=,A′点在A点左右都可取得,故由几何概型的概率计算公式得P==.6.(2018·济南模拟)已知点P,Q为圆O:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆O内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()A. B. C. D.【解题指南】把|PQ|<6转化为|MO|>4.【解析】选B.由题意得|MO|=>=4,所以PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在圆O内部任取一点落在M内的概率为=.7.(2018·太原模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为()A. B. C. D.【解题指南】把问题转化为线性规划问题求解.【解析】选C.由题意,得即表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在[0,1]内任取一个数x,使函数y=有意义的概率是________.

【解析】由lo(4x-3)≥0得0<4x-3≤1,即x∈,由几何概型的概率公式,得P==.答案:【变式备选】已知函数f(x)=2x,若在[1,8]上任取一个实数x0,则不等式1≤f(x0)≤8成立的概率是________.

【解析】因为f(x)=2x,1≤f(x0)≤8,所以1≤≤8,且1≤x0≤8,解得1≤x0≤3,所以所求概率为=.答案:9.(2018·郑州模拟)欧阳修《卖油翁》中写道:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止,若铜钱是直径为2cm的圆,中间有边长为0.5cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为【解析】由题意得,所求概率为=.答案:10.(2018·福州模拟)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为________.

【解题指南】用定积分求阴影部分的面积.【解析】题干图中阴影部分的面积S=(-x)dx==,正方形OABC的面积为1.故所求概率P==.答案:1.(5分)(2018·广州模拟)在区间上随机取一个数x,则sinx+cosx∈[1,]的概率是 ()A. B. C. D.【解析】选B.因为x∈,所以x+∈.由sinx+cosx=sin∈[1,],得≤sin≤1,所以x∈,故要求的概率为=.2.(5分)(2018·大连模拟)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为______.

【解题指南】这是一个长度型几何概型的概率问题.根据事件发生的条件可求出k所在的区间长度.进而容易求解.【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=<3,即-<k<,所以所求概率P==.答案:3.(5分)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是________. 【解题指南】用分割法、间接法求阴影部分的面积.【解析】如图,设OA=2,S扇形AOB=π,S△OCD=×1×1=,S扇形OCD=,所以在以OA为直径的半圆中,空白部分面积S1=-2=1,所有阴影部分面积为π-2.故所求概率P==1-.答案:1-【变式备选】如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.

【解析】设阴影部分的面积为S,由几何概型可知=,所以S=0.18.答案:0.184.(12分)(2018·济南模拟)已知向量a=(2,1),b=(x,y). (1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率.(2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.【解析】(1)设“a∥b”为事件A,由a∥b,得x=2y.所有基本事件为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12个基本事件.其中A={(0,0),(2,1)},包含2个基本事件.则P(A)==,即向量a∥b的概率为.(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.基本事件为所表示的区域,B=,如图,区域B为图中阴影部分去掉直线x-2y=0上的点,所以,P(B)==,即向量a,b的夹角是钝角的概率是.5.(13分)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.(2)设点(a,b)是区域内的随机点,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.【解析】(1)因为函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=,要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数,当且仅当a>0且≤1,即2b≤a.若a=1,则b=-1;若a=2,则b=-1,1;若a=3,则b=-1,1.所以事件包含基本事