大学文科数学1

大学文科数学目录前言第一章微积分的基础和研究对象§1 极限、实数与集合在微积分中的作用§2 微积分的研究对象－函数第二章微积分的直接基础——极限§1从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列极限§2函数极限§3极限应用的一个例子——连续函数数学发展的五个时期数学的萌芽时期初等数学时期变量数学时期近代数学时期现代数学时期数学的萌芽时期

（至公元前六、五世纪）大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果，围猎野兽为生.在集体劳动和“平均”分配的体制下，他们学会了在捕获一头猎物后用一块石子、一根木头来代表……如此等等.后来，人类在日常生活和生产实践中渐渐产生了计数的意识，并摸索出了多种计数方法，开始了结绳计数，掷石数羊和土地测量.这也就是数学的源起.巴比伦，古埃及，古印度初等数学时期古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪）（公元前6世纪至公元17世纪）第一个时期：从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪

伊奥尼亚学派（泰勒斯，几何论证之父） 开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃.毕达哥拉斯学派 “万物皆数”，勾股定理柏拉图学派“不懂几何者不得入内．”

重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统地运用分析方法和推理方法.第一次数学危机希帕索斯， 的发现否定了毕达哥拉斯学派的信条直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的.从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物.第一次数学危机的产物—古典逻辑与欧氏几何学第一章微积分的基础和研究对象进入封建时代后，数学的发展经历了一个黑暗的时期.直到欧洲文艺复兴，数学重新进入了一个伟大的时代！§1 微积分的基础－集合、实数和极限1.1从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起（1）微积分的建立进入17世纪，科技发展给数学提出了四类问题：瞬时速度问题；曲线的切线；函数极值问题；求积问题(曲线长度、图形面积等)。b.英国数学家牛顿（Newton,1642---1727）和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646---1716)分别独立地建立了微积分。牛顿

莱布尼茨c.牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献澄清概念——特别是建立导数（变化率）的概念；提炼方法——从解决具体问题的方法中提炼、创立出普遍适用的微积分方法；改变形式——把概念与方法的几何形式变成解析形式，使其应用更广泛；确定关系——确定微分和积分互为逆运算。

（2）微积分的特点 与以往的数学相比：微积分的突出特点是可以研究不断变化的事物现象——运动，是变量数学的标志。（3）微积分的应用 从17世纪末到19世纪初，微积分理论被广泛而有效地应用于物理、天文等领域。（4）微积分存在的问题

理论体系粗糙，极不严密。它的一些定理和公式在推导过程前后出现逻辑矛盾，使人们感到难以理解，这种矛盾集中体现在对“无穷小量”的理解与处理中。第二次数学危机无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾.牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替.但是，他始终无法解决上述矛盾.莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁.英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”

.很显然，贝克莱抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，尽管他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索，事实上大大地促进了数学发展.罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集.”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象. 19世纪初，法国数学家柯西建立了严格的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特拉斯等加以完善，从而形成了严密的实数理论。由此把微积分的无矛盾性问题归结为实数系统的无矛盾问题。（5）微积分的严密化微积分得以严密化的基础是：实数系统的完备性（或连续性）对象：函数内容：微分、积分，以及连接微分与积分的桥梁——微积分基本定理。工具：极限微积分研究的对象、内容及工具函数：物质世界的基本模型世界是物质的，物质是运动的，运动是相互联系的。这种相互联系的物质运动大都可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系为基本特征的数学模型——函数。数学模型是人类认识与改造世界的一个基本手段。对象：函数有些事物的变化是离散的比如：随着时间的推移，中国奥运金牌的数量；随着时间的推移，母鸡下蛋的数量；随着重量的增加，邮局邮寄包裹的价格；随着路程的增大，乘坐出租车的费用；……0xy0xy0xy有些事物的变化则是连续的比如：随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度的变化；人的动作；随着时间的推移，某地气温的变化；随着半径的增大，圆盘面积的变化；随着气压的增高，水的沸点的变化；……0xy0xy0xy常值函数；幂函数与根式函数；三角函数与反三角函数；指数函数与对数函数通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函数及其反函数。……函数既有具有具体表达式的初等函数也有更多的不能具体通过代数式表示、但却具有实际意义的函数，以及一般的抽象函数。微积分：研究连续性变化连续性变化的情况涉及到每一个瞬间，涉及到“无穷小”的时间段内的变化情况，人类是无法精确捕捉到的。如何研究？动画片如何表现连续动作？切片！很短时间内的一种静止画面。“微小的差异”是微分积分的奥秘！观察某一微小变化=微分连接一系列微小变化=积分微分：函数的局部性质函数表示的是因变量依赖于自变量的变化关系，函数值反映的是变化结果，但不能反映变化速度。函数的微分刻画的正是函数的瞬时变化速度。平均速度VS瞬时速度内容：微分、积分，二者关系积分：函数的整体性质一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度，从而会行走一段距离；但是在一定时间内，速度可能在变，如何知道变速运动在一定时间内的运行路程，这就是积分问题。积分问题是研究函数的整体变化性质。对于一个给定函数来说，局部与整体是一个事物的两个方面，二者是对立的统一。因此，微分与积分具有密切关系，积分问题是由函数的局部性质研究整体性质。建立二者关系的桥梁是微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。极限：人类认识无限的必要手段由于生理的原因，人类只能看到有限时间、有限范围内的事物；只能判断、测量在一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变化的情况等，极限是一个有效工具。工具：极限平均速度VS瞬时速度

时刻t

之后s

秒内的平均速度=s

秒内的行走路程d/s时间幅度

s

无限趋近于0→时刻t

的瞬时速度直边图形面积VS曲边图形面积abxyoabxyo微积分研究函数的基本观点是以静代动；以直代曲。传统的处理方法视为公理；利用实数的直观表示：无限小数；利用戴德金分割理论。1.3 实数系的建立及邻域概念什么是“数”？数是用来反映量的，是量的抽象.自然数：0，1，2，3，….分数：有限小数或无限循环小数.分数都是有限小数或无限循环小数，反之亦然.回忆——有理数（rationalnumber):0和正负分数.无理数（irrationalnumber):正负无限不循环小数.实数整数（integer)：0，

.记号：有理数集Q；实数集R数系扩充的科学道理自然数中减法产生负数，

整数系统；整数中除法产生分数，

有理数系统；自然数中开方产生无理数，

实数系统；负数中开方产生虚数，

复数系统。有理数集是最小的数域（代数性质）

有理数的运算及其法则来源于整数；有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且乘法对加法满足分配律，具有这种性质的数集叫做数域。有理数集的性质有理数是有序的、可数的（集合性质）

像自然数一样，有理数可以比较大小，是有序的，因此可以在数轴上排列出来。可以与自然数一一对应。-10½1有理数在数轴上是稠密的、和谐的（几何性质）。稠密性：任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多么接近。

和谐性：有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，永远找不到一个与之最接近的有理数。0

－11x这里有有理数这两位之间有有理数从代数上看，有理数在四则运算下是封闭的，构成一个数域。从几何上看，有理数在数轴上是稠密的，因此，要去度量任何一件实际事物，不论要求多高的精度，只要有理数就够了。从集合上看，有理数是有序的、可数的，可以在数轴上排列出来，可以与自然数一一对应。

看看有理数优点说说有理数的缺陷从代数上看，有理数在开方运算下不封闭；从几何上看，有理数在数轴上还有许多缝隙；从分析上看，有理数对极限运算不封闭。由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。有理数扩充的直接结果是实数集。关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。实数数集产生的必要性如何定义实数？如何表示实数？实数是否能够填满整个数轴？实数是否是有序的？实数运算如何进行？法则如何？Question19世纪，德国数学家康托（G.Cantor,1845---1918）、戴德金(J.W.R.Dedekind,1831—1916)、魏尔斯特拉斯（K.W.T.Weierstrass,1815—1897）通过对无理数本质进行深入研究，奠定了实数构造理论，明确解决了以上问题。1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。11岁时进入德国，1867年获柏林大学的博士学位，1872年升为教授。1874年开始研究比较无穷集的元素多少问题。戴德金﹐R.(Dedekind,Richard)1831年10月6日生于德国不伦瑞克；1916年2月12日卒于不伦瑞克。数学家。Weierstrass(1815～1897)德国数学家先修财务、管理、法律，后学数学1854年，哥尼斯堡大学名誉博士；1856年，柏林科学院院士数论、几何、复分析邻域记作伽利略经过精确的实验，测得自由落体的运动方程：

在力学中，质量为m，速度为v的物体运动时所具有的能量（称为动能）在电学中，电流强度为I

的电流通过电阻为R的导线时，在单位时间内所产生的热量§2 微积分的研究对象－函数在几何中半径为r的圆的面积上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式这就是一个函数关系式。

如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了.

数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就具有应用的广泛性.下面给出函数的一般定义.一、函数概念x称为自变量，y称为因变量.注意：例如，是定义在R上的一个函数，它的值域是确定函数的两要素：定义域和对应法则。例1

判断下列各对函数是否相同？

相同不同(定义域不同)不同(对应法则不同)相同不同(定义域不同)(1)根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值.如何求函数的自然定义域？

(a)分式的分母不等于零；

(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；

(c)对数的真数应大于零；

(e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集.定义域的确定：例2求下列函数的(自然)定义域。

因此，函数的定义域为解即定义域为因此，函数的定义域为1）图象法2）表格法3）解析法(公式法)二、函数的表示法

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数这也是分段函数，其定义域为

yOx11-12-2-1解例31)符号函数几个分段函数的例子.2)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo1234o有理数点无理数点•1xy3)狄利克雷函数(Dirichlet)函数的几种基本特性一、有界性M-Mba则称函数有界。ba函数的有界性还可以细分为：

则称函数f(x)在I上下有界

.M2

M1

M1称为

f(x)在I上的下界。M2称为

f(x)在I上的上界。定理：函数f(x)有界当且仅当f(x)上有界且下有界。则称函数f(x)在I上上有界

.

因为存在M=1，使对任意x

(-

,+

)，有|sinx|

1，所以y=sinx是(-

,+

)内的有界函数。y

=sinx有界吗?二、单调性

例如,函数y=x

3在(-

,+

)内单调增加。

而函数

y

=

x

2

在区间(-

,0)内单调减少；在区间(0,+

)内单调增加。三、奇偶性例1

判断下列函数的奇偶性：

偶函数非奇非偶偶函数奇函数奇函数奇函数例2是偶函数；而是奇函数。证明是容易的。

由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：偶函数的图形关于y轴对称。yxox-x具有奇偶性的函数的图形有某种对称性：yxox-x奇函数的图形关于原点对称。例3解故f(x)是偶函数.2-11四、周期性(通常周期函数的周期是指其最小正周期).注意：并非任意周期函数都有最小正周期.如狄利克雷函数任何正有理数都是它的周期,但并不存在最小的正有理数。2.2 逆向思维的一例——

反函数

定义

设函数y=f

(x)的定义域为D，值域为Z。如果对于每个y

Z，存在唯一x

D，使f

(x)=y，则x是一个定义在Z上的函数，称为

y=f

(x)的反函数，记为x=f-1(y)。函数y

=f

(x)与函数x

=f-1(y)是互为反函数。将x与y互换，就得所求反函数为例1

求y

=

3x-1的反函数。解

直接函数与反函数的图形关于直线对称.

例如，在(-

,+

)内，y

=

x2

不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。

在(0,+

)内y

=

x2有反函数

在(-

,0)内，y

=

x2有反函数

x-x

y解例2

求函数xyO的反函数。所以所求反函数为例3与互为反函数。1.常数函数2.3 基本初等函数

常函数的定义域为(-

,+

)，图形为平行于x轴,在y轴上截距为C的直线。

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数3.指数函数

定义域为(-

,+

)，值域为(0,+

)，都通过点(0,1),当a>1时，函数单调增加；当0<a<1时，函数单调减少。4.对数函数

对数函数是指数函数y=ax的反函数,定义域为(0,+

),图形通过(1,0)点,当a>1