2023年湖北省华大新高考联盟高考数学测评试卷（3月份）及答案解析

2023年湖北省华大新高考联盟高考数学测评试卷(3月份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4=(x\x2<1],B={x\\x-1|<Q},若4UB中有且仅有三个整数，则正数a的

取值范围是()

A.0<a<1B,0<a<1C.a>1D,a>2

2.已知复数z=l>,若z2=5(a+bi),a,beR,W是z的共轨复数，则a+b=()

A.0B.1C.-1D.—2

3.党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳

中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能

源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治

理.在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速.某村计划安装总

装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若

该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可

得下列说法正确的是()

A.全村年用电量的众数一定是500度

B.抽取50户用电量的中位数小于其平均数

C.根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电

D.全村用电量为[400,600)度的概率约为0.0015

4.已知定义域为(0,+8)的函数/(%)满足=§+1,r(1)=0,g(%)=Q+2—

-p若0<QV1,则/(x)-g(x)的极值情况是()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极小值，也无极大值

5.已知（x+a+或/（a>0）展开式的常数项为76,则a=（）

A.1B.61C.2D.VH

6.将函数/'（x）=2sin2x-1图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x轴向左平移

>0）个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数g（x）的图象.若对于任意的与e[0,?，

总存在亚6[-a0],使得f（“i）=g（x2）,则a的值可能是（）

A2-6BD-—24。C-45D—3

7.在三棱锥。一4BC中，△4BC是以AC为底边的等腰直角三角形，△ZZ4c是等边三角形，

AC=2/7.又BD与平面4OC所成角的正切值为号，则三棱锥。-ABC外接球的表面积是（）

A.87rB.127rC.147rD.167r

8.已知圆C：x2+y2=4,直线Z经过点P（1,0）与圆C相交于4B两点，且满足关系而？=

殍耐+浮面（O为坐标原点）的点M也在圆C上，则直线/的斜率为（）

A.1B.±1C.D.+2A/-2

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.如图，在已知直四棱柱4BCD-4B1G5中，四边形4BCD为D】C,

平行四边形，E,M,N,P分别是BC,BBi，

以下说法正确的是（）

A.若BC=1,AAr=>n，则CP1BJ

B.MN//CD

C.MN〃平面QOE

D,若AB=BC,则平面A41clic_L平面&BD

10.数列｛斯｝是等差数列，S8=10,则下列说法正确的是（）

A.a3+。6为定值B.若%=y,则ri=5时又最大

C.若d=p使%为负值的n值有3个D.若S4=6,则Si?=12

11.在正三棱柱ABC-ABiCi中，若4点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的

对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底

面4BC的概率为4,则下列说法正确的是（）

A.P1=；B.P2=g

C.{PL；}为等比数列D.匕=_2x（—）"T+；

12.已知P,Q是双曲线盘一'=1上关于原点对称的两点，过点P作PM1x轴于点M,MQ交

双曲线于点N,设直线PQ的斜率为匕则下列说法正确的是（）

A.k的取值范围是一②<k<2且人力0

aa

B,直线MN的斜率为?

C,直线PN的斜率为N

kal

D.直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为£

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为空，若上、下底面的半径分别为1和2,则

母线长为.

14.已知实数a,b满足4。+2a=3,log273b+1+b=|,则a+|b=.

15.过点（2,0）的直线与抛物线y2=以交于4,B两点，若“点的坐标为（一1,0）,则|M4『+

|MB|2的最小值为.

（\x+4|-l,x<0

16.已知函数/（%）=[（工厂-]%>0'关于%的方程产（%）+（2t-1）/（%）+1-t=0有6

个不等实数根，则实数£的取值范围是.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=5,2a=lOcosB4-b.

(1)求角c；

(2)若点。在AB边上，且满足4D：BD=3：2,当AABC的面积最大时，求CD的长.

18.(本小题12.0分)

某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色

发展、开放发展和共享发展5个一级指标.该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并

设指数值为100,通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发

展5个分领域指数值的变动趋势.分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享

发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如图所示.

若年份x(2015年记为x=1,2016年记为x=2,以此类推)与发展总指数y存在线性关系.

(1)求年份x与发展总指数y的回归方程；

(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视

为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表

示赋分之和，求X的分布列和数学期望.

参考公式:回归方程丫=以+〃其中a=歹一版，=邦戈第，)，£乙(々一1)8一9)=

228.9,y=119.05.

y

140.0

135.0

130.0

125.0

120.0

115.0

110.()

105.0

100.0

20152016201720182019202020212022

年年年年年年年年

19.(本小题12.0分)

1

数列｛an｝满足的=1,舞=1+"

(1)设垢=贮二4,求｛g｝的最大项;

an

(2)求数列｛4｝的前n项和5.

20.(本小题12.0分)

己知平行六面体力BCD-43传1。1中，AB=1,BC=B]C=2,/-ABC=侧面BB144是

菱形，

(1)求&C与底面4BCD所成角的正切值；

(2)点E,F分别在8遇和BiC上，EF"AiC\,过点B,E,F的平面与当。交于G点，确定G点位

置,使得平面8EF_L平面BiGOA.

21.(本小题12.0分)

己知4B为椭圆条+，=1左右两个顶点，动点D是椭圆上异于4,B的一点，点户是右焦点.当

点。的坐标为(一/至,一1)时，DF=3.

(1)求椭圆的方程.

(2)已知点C的坐标为(4,0),直线CD与椭圆交于另一点E,判断直线4D与直线BE的交点P是否

在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=2e2x—a(2x4-l)ln(2x+1).

(1)当Q=2时，研究函数f(x)的单调性；

(2)当％W[0,且时，/(%)N2cos2%—2(Q-2)%恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由题意可得4={x|-1<x<1],B={x|l-a<x<1+a},

若4UB中有且仅有三个整数，则只能是-1,0,1,

故一2<l-a<l+a<2,解得0<aW1.

故选：B.

由题意化简集合A,B,根据4UB中有且仅有三个整数列不等式求解，可得答案.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：因为2=号口，

所以z2=-3-2Ci=±vF,』=士气,

422

因为z?=z(a4-bi),

所以l=a+bi.又a,b&R,

所以a=1,b=0,

所以a+b=1.

故选:B.

先根据复数运算法则计算z2,W,再化简复数等式，根据复数相等列方程求a,b,由此可得结论.

本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：因为抽取50户的年用电众数为500,所以全村年用电众数的估计值为500,

所以全村年用电众数不一定等于500,所以A错误；

由图可知从左至右各组用电频率分别为0.14,0.16,0.30,0.26,0.14,

则中位数为400+：x200=等,

而平均数1=100x0.14+300x0.16+500x0.3+700x0.26+900x0.14=520,

因为嘤>520,

所以抽取50户用电量的中位数大于其平均数，所以B错误；

全村估计年用电量为300x520=156000度，

年发电量约为200x800=160000度〉156000度，所以C正确；

由频率分布直方图可得，抽取的50户中，用电量为［400,600)度的户数的频率为0.30,

所以全村用电量为［400,600)度的户数的概率约为0.30,所以。错误.

故选：C.

由频率分布直方图求样本数据的众数，中位数，平均数，样本数据在区间［400,600)内的频率，由

此判断各选项.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数、众数和中位数的估计，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：;=/(X)+x/'(x)=：+1，二="%+%+C,

取X=1可得，/(I)=1+c,

由f(x)+xf'(x)=；+1，令x=l,得/(1)+/'(1)=2,

•.•广⑴=0,可得f(1)=2,

*'-C=1>则f(x)=+：+1,

0/、/、/nx,2,1/,y、

•••/(x)-g(x)=—+-+2ax-(a+1)•

令人(X)=?+：+-(a+1),则=-"X誉xT(0<a<1);

令m(x)=-Inx+|ax2-1,m'(x)="上'，

4X

・・・当x=J；时,m。)取最小值zn(J：)=|(Zna—1)，

-1)<0,当％->0时，m(x)4-oo,久—+8时，m(x)+oo,

・,・存在%i，x2,使得mQi)=m(x2)=0,

不妨设％i<不，则当0<x</时，m(x)>0,当％1<x<工2时，小(%)<0,当%>外时，机(%)>0.

・•・/l(x)在(0,/)上单调递增，在(%1，%2)上单调递减，在(%2,+8)上单调递增，

/l(x)既有极大值，又有极小值.

故选：C.

结合导数运算公式由条件求/Xx),由此可得/(x)-g(x),再根据极值与导数的关系，利用导数求

函数/。)一9。)的极值即可.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：因为(x+a+妥>=[(x+昼)+a]，,

所以(x+a+爰A=C式x+f6+Cl{x+1TXa+Cl(x+^)4x.a2+C式x+^)3Xa3+

琮(％+5)2xa4+琮Q+1)ixas+C^xa6,C^x+》的展开式的通项为C"*-/9=

CgC"6-3匕k=o,1,2,3,4,5,6,

当k=2时为常数项，常数项为C标，盘。+65xa的展开式的通项为C/C统-气才*°=

己C>5-3kxa,fc=0,1,2,3,4,5,

展开式没有常数项，弓(X+点)4X的展开式的通项为盘以X"气毋Xa2=C犯上4-3kX,

k=0,1,2,3,4,

展开式没有常数项，琮(X+或)3X。3的展开式的通项为C犯依3-气射X=德C*-3kX。3,

k=0,1»2,3,

当k=1时为常数项，常数项为C犯xa3,砥X+毋xa4的展开式的通项为G)kx

a4=C^C^x2-3kxa4,k=0,1,2,

展开式没有常数项，/(尤+点)】xa5的展开式没有常数项，

又以xa6为常数，

所以常数项为以•服+CQ废x+dxa6=15+60a3+a6=76,

所以(a3+61)(a3-l)=0,又a>0,解得a=1.

故选：A.

由(x+a+爰)6=©+念+印，利用二项式定理求其展开式，再求各部分的展开式，确定展开

式的常数项表达式，列方程求a.

本题主要考查二项式定理，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y=4sin2x-2的图象，

再沿左轴向左平移⑴">0)个单位长度,再向下平移1个单位长度得到g(x)=4sin(2x+2(p)-3的

图象，

因为对于任意的与e[0,£，总存在&6[-*0]，使得/(%)=g(冷)，

所以{y|y=f(x),xe[0,$}u{y|y=g(t),te[-^,0]},

又当OSxS即寸，0W2xs],0<sin2x<1,

所以-1<2sin2x-1<1,即{y|y=f(x),xG[0,^]}=[-1,1],

所以[—1,1]={y|y=e[—*,0]},

因为一号WtWO,所以2t+2“€[2<p—2。],

当(p屋时，2t+2”[-滴,g«)w[—5,271-3]，故4不合题意.

当3=U时，2t+2”[—各部g(t)取不到最大值1,故B不合题意.

当程=孑4，2t+2(pe[0,^],g(t)e[-3,1],故C符合题意.

当卬=竽时'2t+2R6[^-,^-]>g(t)6[―2V3—3,—1],故。不合题意.

故选：C.

利用图象变换结论求出函数g(x)的解析式，转化条件关系可得{y|y=fM,xe[0.J}c[y|y=

再求函数/(x)的值域，并根据包含关系验证w的取值，确定结论.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：取4C的中点E,连接BE,DE,则BE1AC,DE1AC,可得ACJL平面DEB,

又ACu平面/WC,故平面40C_L平面DEB,且平面40CC平面BOE=DE,

在平面DEB中，过点B作BH_LDE于点H,则_L平面ADC,

•••是直线BD与平面4CC所成角的平面角,

设BH=久，则D，=qx,易求DE=V~^，BE=>J~2,则=

由勾股定理可得BE?=BH2+E“2,即2=产+(/%一，攵为2,解得乂=亨，于是EH=?,

点”恰好是正△n4c的中心(外心)，故球心。必在BH上，Rt△BAC^J^-^E,连接OE,

则0E，平面ABC,OE1BE,设三棱锥0-ABC外接球的半径8。=R,

在RtABE。中，由射影定理可得BE?=BHXBO,即2=?R,解得R=「，

.••三棱锥。-力BC外接球的表面积S=4TTR2=127r.

故选：B.

根据线面角算出点B到平面4DC的距离，从而找到球心的位置，利用儿何关系算出球的半径即可.

本题主要考查球的表面的求法，多面体外接球问题，考查运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】D

尸卜(%_|)，,

【解析】解；设直线1的方程为y=k(x—|),联立

x2+y2-4=0,

整理得(1+k2)x2—3k2x+—4=0,

设4(乙,乃)，B(x2,y2)，

由韦达定理得%1+%2=言7，=三系，则y，2=-|k2(Xi+*2)+[12,

由而=?耐+?而，点M在圆C上，可知I而I=?|耐+而I=2，

所以|6?+南|=2y/~2,

所以07+OB)2=0U42+OB2+2OAOB=8'

所以。4,OB-0>即+%%=0，

所以(1+1)仁-^x吕+［卜2=0,解得k=±2C.

故选：D.

由丽^=42成+¥丽可得函•南=0，即X1g+%，2=0，设直线I的方程为y=k(x-'),

联立圆的方程，设4(xi，yi),B(x2,y2),由韦达定理可得/上，y02,代入化简即可求出直线I的

斜率.

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题.

9.【答案】ACD

【解析】解：连接CM,PM,由已知PM〃4B,AB//DC,

二PM//DC,.•.四边形CDPM是平行四边形，:CM//PC,

vtanZ.CjBC=tan乙CMB=V_2>

•••4GBC=乙CMB,

•••zCjfiC+乙BCM=乙CMB+乙BCM=90°,

C]B1MC,：.C[B]PD,故A正确；

•••M,E分别是BBi，BC的中点，•••ME//BrC,

vND//BrC,：.ME//ND,

•.•ME=ND,.♦.四边形CEMN是平行四边形，

•••COn平面DEMN=D,DCMN,MNu平面DEMN,

MN与CD是异面直线，故B错误；

vMN//DE,。5<2平面的。后，

•••MN〃平面GDE,故C正确；

若AB=BC,则四边形力BCD为菱形，二AC1BD,

VCCj1BD,ACnCCr=C,•••BD1平面ACGAI，BDu平面ACCI4,

.,•平面上平面力CG4，故O正确.

故选：ACD.

证明CM1BG，根据异面直线夹角定义证明OP1BQ,判断4；证明MN与CD异面，判断B；由

线面平行判定定理判断C；由线面垂直判定定理证明平面ACC14；由面面垂直判定定理证明

平面441cle1平面4BD.

本题考查异面直线夹角定义、线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直判定定理等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

10.【答案】AD

【解析】解：由数列｛%｝是等差数列，58=10,有幽抖=10,即的+。8=|，

由等差数列性质得（13+a6=ai+a8=|为定值，选项A正确.

当％=郛t，。8=-11，公差d=-g则数列5｝是递减数列，

则。4=3,a5=故71=4时，Sn最大，选项B错误.

当d=机寸，由于%+a8=|>则％=-Sn=-^n4-"（丁）x|=,

令Sn<0得0<n<3,又n6N*,

故%为负值的n值有2个，选项C错误.

当S4=6时，设｛%｝公差为d,即4%+6d=6,结合%+=|，即2%+7d=|,

解得的=小d=故S]2=12al+口。；1）xS=12,选项。正确.

故选：AD.

根据题意利用等差数列前n项和公式，可判断4利用%=:结合$8=10,解得公差，判断数列

的单调性，可判断8；求得等差数列前n项和公式，解不等式可判断C；求出数列公差和首项，即

可求得12,判断，

本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：由题可知，当71=1时，P1=|,故选项A错误.

当n>2时，Pn_i表示第71-1次在平面4BC的顶点上的概率，1一Pn_i表示第九-1次在平面4/C1

的顶点上的概率.

由底面走到底面的概率为|,由上面走到底面的概率为季

所以匕=|Pn-l+|（1—得匕-2=一2（。71-1-g），又「I-巨一.，

所以血-昌是等比数列，首项为一卷公比为正确；

故&一\=_去（_凯*

化简得%=•（-软T+故22=5所以选项80正确.

故选：BCD.

由已知求P1，判断A,再求出分，Pn_i的递推关系，再由递推关系证明｛%-；｝是等比数列，判断C,

结合等比数列通项公式求心，判断B,D.

本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题.

12.【答案】ABC

【解析】解：设点P（x（）,yo），Q（-Xo,-y。），M（xo,O）,直线与双曲线两支各有一个交点,

则斜率k在两条渐近线斜率之间，即-&<k<2且k于0,选项A正确；

aa

=或'=件=），选项8正确；

设N%.%）,贝心。=合,％=富，=喙=”.铝=界，

xixoxi+xoy十%。xi~xo

因为N（xi，yi）,（2（-殉,一小）在椭圆上，

d_d=1

所以《:两式相减，则曾=簪

所以,=含焉=kNP■卜取＞

又々MN=^NQ=2****^NP=^2,选项C正确;

%+5=鬻+拄5,当且仅当篇3,即］=±J时取等，即—N，

但kpN丰%N，所以等号无法取得，选项。错误.

故选：ABC.

因为直线与双曲线两支各有一个交点，则斜率k在两条渐近线斜率之间可判断4设点P(&,yo)，

Q(-&，-y。)，M(xo,O),表示出媪N=券=?可判断B；由双曲线的第三定义知、=

再结合%N="=寺，求出心=雪可判断C；由均值不等式可判断以

本题主要考查了双曲线的性质，考查了点差法的应用，同时考查了学生的运算求解能力，属于中

档题.

13.【答案】2

【解析】解：设圆台的母线长为/,高为八，则F+(2-1)2=口，

因为圆台上、下底面的半径分别为1和2,

所以圆台的侧面积工=兀(14-2)1=3R,轴截面面积S2="及xh=3h,

由已知翌=纥红，化简得/

3h32

所以半+1=~

4

解得l=2.

故答案为：2.

设圆台的母线长为/,根据圆台的侧面积公式和梯形面积公式分别计算侧面积和轴截面面积，由条

件列方程求母线长.

本题主要考查圆台的侧面积，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：因为kg2速3b+l+b=|,化简得log2(3b+1)+(3b+1)=3.

所以2'°死(3"1)+iog2(3b+1)=3,又4a+2a=22a+2a=3,

构造函数/1(4)=2X+x,

因为函数y=2',y=x在(-8,+8)上都为增函数，

所以函数/(©在(-8,+8)上为单调递增函数，

由/(I)=3,所以2a=log2(3b+1)=1,

解得a=",b=g,

所以a+|b=1.

故答案为：1.

由2092V3b+1+b=|可变形为2‘。92(3"1)_|_10出(36+1)=3,故考虑构造函数/'(x)=2*+x,

判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求a,b.

本题主要考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

15.【答案】34

【解析】解：设直线AB的方程为x=ty+2,代入抛物线方程犬=4x得产=4ty+8.

设为)，5(x2,y2),则％+y2=4t,yry2=-8,

2

•••xr+x2=t(yx+y2)+4=4t+4,xvx2=4,

2222=x2

•••\MA\+\MB\=Qi+l)+*+(x2+l)+y2Qi+2)—2X1X2+6(/+x2)+2

=(4t2+4)2+6(4t2+4)-6=(4t2+7)2-15>49-15=34,当且仅当t=0时取等号.

故答案为：34.

设直线48的方程为》=1丫+2,代入抛物线方程丫2=4也利用韦达定理结合二次函数的性质即可

求出答案.

本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，函数思想，属中档题.

16.【答案】(—(,_?)u存,1)

【解析】解：由已知当xW-4时，/(x)=-%-5,

当一4<x<0时:/(x)=x+3,

当x>0时，/。)=4©尸一1,

画出函数/'(X)的图象如图所示:

所以函数f(x)的图象与函数y=c(c为常数)的图象最多3个交点，

且f(x)=c有3个实数根时一1<c<3,

所以产(x)+(2C-1)/(%)+1-t=0有6个不等实数根等价于一元二次方程/+(2t-l)x+l-

t=0在(-1,3)上有两个不同的实数根，

'(2t—1)2—4(1—t)>0,

2t-l

所以4―1(——厂<3，解得一2Vxe-孕或早<x<1.

1-(2t-1)+1-t>0,522

、9+3(2t-1)+1-t>0,

故答案为：(q_?)u存,1).

化简函数/(x)的解析式，画出函数/Xx)的大致图像，结合图象分析方程f(x)=c的解的个数与c的

关系，结合二次方程根的分布的相关结论求t的取值范围.

本题主要考查了分段函数的应用，本题解决的关键在于作出函数图象，通过图象观察确定方程

/(x)=c的解的个数与c的关系，从而将条件转化为二次方程的区间根问题，结合二次函数性质和

图象求解，属于中档题.

17.【答案】解:(1)依题意,2a=2ccosB+b,

由正弦定理可得2si?L4=2sinCcosB+sinB,

・•・2sin(B+C)=2sinCcosB+sinB,

所以2sinBcosC+2cosBsinC=2sinCcosB+sinB,

则2sinBcosC=sinB,因为8E(0,兀)，sinBH0,

化简得cos。=I，

7T

VCG(O,zr),・•・C=§；

解：(2)由余弦定理得cosC=也尤卫=1,

2ab2

・•・ab=a2b2—c2>2ab—c2,ab<25,当且仅当Q=b时,等号成立.

此时SMBC=\absinC=^-ab<

若△ABC的面积取到最大，则a=b=5,△ABC为等边三角形，

AD=3,由余弦定理得CD?=AC2+AD2-2AC-AD-cos^=19,

•••CD=09.

【解析】(1)由正弦定理结合两角和的正弦公式可得cosC=即可求出角C；

(2)由余弦定理结合均值不等式可得abW25,可求出当△ABC的面积最大值时40=3,再由余弦

定理即可求出CD的长.

本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由已知1=1+2+3+4J5+6+7+8=生5,

2

所以£?=1(々-x)=(-3.5)2+(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2+(0.5)2+(1-5)2+(2.5)2+

(3.5)2=42

又邓=式/一4)3-y)=228.9

琥=i8r)(y1y)

所以b=5.45,

E?=l84)2

因为歹=119.05.

所以a=y-bx=94.5251

••・y=5.45x+94.525•

(2)由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个,

"(X=3)=1.，p(x=4)=管=|,P(X=5)=管/

所以X的分布列为:

X345

p133

10510

数学期望为E(X)=3x=+4x|+5x^=4.2.

【解析】(1)利用已知数据求V£a=1(/一彳)2,利用公式和参考数据求b，a，由此可得回归方程：

(2)由条件确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求

均值.

本题考查线性回归直线方程的求解，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题.

19.【答案】解：⑴由第=1+；得鬻=3x攀.又?=1,

二年｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

.—Qn-1

••n—of

19—7

则Cln=nx3nT,bn=

当n<7时，bn不会最大；当葭>7时，设“是最大项，则匕+1<bn,且垢-14匕，

即上1日I〈匕Z.

W3n~3"-1'H3n.2-3“一1'

即n-6<3(n-7)且3(n-8)<n-7,

解得年<n<^.

又九EN*,n=8,

•••｛为｝的最大项是4=或=+・

(2)Sn=Ix30+2x3i+…+nx3”-i,①

①x3得3Sn=1x3】+2x32+…+nx3'②

①-②得一2Sn=1+31+32+…+371T-nx3n=-nx3n=-nx3n;

.<_(2n-l)3n+l

••0n—4・

【解析】(1)构造等比数列攀，从而求出an的通项公式，进而得到当的通项公式，即可求出最大项：

(2)由已知利用错位相减法即可.

本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，还考查了数列的最大项的求解，还考查了错位相减

求和方法的应用，属于中档题.

20.【答案】解：（1）取4B的中点M,连接MB】，MC,AC,BrA,

.♦•△ABB1为等边三角形，AB=BBX=1,LAB,

=BC=2,^ABC=^,由余弦定理知4C=JAB2+BC2-2AB-BCcos^=y/~3,

•••BC2=AB2+AC2,：.AC1AB,

22

在AABiC中，ABX=1,BXC=2,WBjC=ABl+AC,■■■AC1ABX.

XvABXCtAB=A,4Bu平面88出4,二AC1平面88出4.

又•••MB】u平面BBi&A,AAC1

•:MB11AB,ACnAB=A,AC,ABu平面4BCD,二MB】_L平面4BC0,

；.NBiCM为直线BiC与底面4BCD所成的角，

由AC1AB,则CM=，心+4匠=J3+1=y,

33*=普=&=曾

2

(2)当E,F分别为线段为4和BiC的中点时，平面BEFJ•平面BiGDA,证明如下：

连接为B,BCEF,41cl.侧面B81a4是菱形,则4当_L&B.

XvAC//AXCX//EF,AC1平面BBiaA,

EF_L平面BB144,AB】u平面B8144故£7」佃，BA^EF=E,EFu平面BEF,

•••ABr工平面BEF,AB】u平面/的。?!,平面当(:必_L平面BEF.

连接Bi。1交4G于点N,连接BN,B[D,BD,

平面BWiDBn平面BEF=BN,

aD与平面BEF的交点G在线段BN上，

•:B]DJ/BD,.sBiNGFDBG,.•.等=嚏='

UuDDL

即点G在线段靠近/的三等分点处.

【解析】(1)证明MB11平面48CD,从而找到&C与底面力BCD所成角，解三角形，即可求得答案；

(2)证明当E,F分别为线段8通和/C的中点时，平面BEF平面B1GD4,说明当。与平面BEF的

交点G在线段8N上，结合三角形相似即可确定G点位置.

本题主要考查了直线与平面所成的角，考查了平面与平面垂直的判定定理，属于中档题.

21.【答案】解:(1)设椭圆的右焦点为F(c,O),左焦点为F1(-C,O),c>0,

则|DF|=J(c+尸)2+1=3>解得c=/攵,

2

\DFr\=J(-<2+<2)+1=1>

•••\DF1\+\DF\=2Q=4,a=2,b=

椭圆的方程为1+4=1;

42

(2)由题设，直线。E斜率一定存在，设DE的直线方程为y=k(x-4),

联立椭圆方程，消去y得(2%2+1)%2-16k2x+32k2-4=0,

X-iX2=|(%1+%2)-4.

又4(—2,0),B(2,0),

.••直线力。的方程为y=急(x+2),直线BE的方程为y=含(x-2),

联立得鼻(、+2)=昌(万一2),

人1T乙人2乙

._2(勺一4)(』2-2)+2(%2-4)(巧+2)_2巧-2-6勺-2%2

••P一(刀2-4)(%1+2)-(町-4)(冷-2)-3%2-勺-8'

又xrx2=I