2015年数学(全国2)理科

2015高考数学新课标H卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合人={-2,-1,0,1,2},B={x|(X-l)(x+2)<0},则ACIB=()

(A){-1,0}(B){0,1}(C){-1,0,11(D){,0,,1,2)

【答案】A

【解析】由已知得8={H—2<x<l},故Afi3={_1,0},故选A

(2)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=4,则a=()

(A)-1(B)0(C)1(D)2

【答案】B

【解析】学科掰

由已知得4a+(a--4)S=—k'>所以4a=-4=-4,解得a=0,故选3.

(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。以下结论不正确的是

(B)2007年我国治理二氧化硫排放显现

(C)2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

(D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【答案】D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关.

(4)等比数列{%}满足。1=3,%+%+%=21，则。3+。5+。7=()

(A)21(B)42(C)63(D)84

【答案】B

【解析】

设等比数列公比为g，则q+aq-=,又因为勾=3,所以g"+q--6=0,解得

q-=2,所以生+生+a-=（q+q+。5）。-=42，故选3.

l+log,(2-x),x<l,

(5)设函数〃x)=Li2,/(-2)+/(10g212)=()

2,x>1,

(A)3(B)6(C)9(D)12

【答案】C

【解析】由已知得/(—2)=l+logz4=3,又噫12>1,所以“log212)=2*2T=2晦6=6,故

/(-2)+/(log212)=9.

（6）一个正方体被•个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的

8765

【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体ABC。—A4GR中，截去四面体A—A百R,如图所示，，设正方体棱

长为a,则匕Mo=-xi«3=i«3,故剩余几何体体积为d一工。3=2/,所以截去部分体积与剩余部

A~A,B,D,32666

分体积的比值为

5

(7)过三点力(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点，则卜

(A)276(B)8(C)476(D)10

【答案】C

【解析】

3—。12+7

由已知得上任==一：，^E=~—=一3,所以七心=一1，所以-4一CB,即X13C为直

角三角形，其外接圆圆心为Q-2),半径为5,所以外接圆方程为(x-l)：+(j+2>=25,令x=0,得

j=±2#-2,所以口/.V|=4不，故选C.

(8)右边程序抗土.的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,

若输入a,b分别为14,18,则输出的a=

A.OB.2..C.4D.14

【答案】B

【解析】程序在执行过程中，a,。的值依次为a=14,b=18；b=4；a=10：a=6；a=2；b=2,

此时。=6=2程序结束，输出a的值为2,故选B.

(9)已知A,B是球O的球面上两点，/AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为

36,则球。的表面积为

A.36兀B.64兀C.144兀D.2567t

【答案】c

【解析】如图所示，当点C位于垂宜于而AOB的直径端点时•，三棱锥。-ABC的体积最大，设球。的半

23

径为R,ittR'J-V0_ABC=VC_AOB^-x-RxR^-R^36,故R=6,则球。的表面积为

326

S=4〃R2=144»,故选C.

10.如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=1,0是AB的中点，点P沿着边BC,CD与DA运动，记/BOP=x.将

动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为

【答案】B

【解析】学科掰

由已知得，当点尸在8C边上运动时，即时，PA+PB=7tan：x+4+1anx；当点尸在CO边

上运动时，SP-<x<—+=+1)：+1,当x=W时，

44'2"tanx丫tanx2

PA+PB=2拒;当点尸在.10边上运动时，<x<^W，PA+PB=^tanzx+4-tanx»从点?

的运动过程可以看出，轨迹关于直线x=/对称，且/(?)>/C|)，且轨迹非线型，故选B.

(11)已知4,8为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，A4BM为等腰三角形，且顶角为120。，则E的

离心率为

(A)«5(B)2QC)色(D)42

【答案】D

【解析

设双曲线方程为土一上=13>0力>0),如图所示，门3|=阳/|,Z.W/=120c,过点W作JZV_x

aV

轴，垂足为.V,在&A&UV中，|AV|二a,口八1二3々，故点M的坐标为A/QqWa),代入双曲线

方程得f=6*=〃-—L,即厂=2。一，所以e=J5\故选D.

(12)设函数f<x)是奇函数/(X)(XER)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，好*(x)-/(x)<0,则使得

/(%)>0成立的x的取值范围是

(A)酶翻殴阳(B)1-1,0)11(1.+OO)

(C)(PO,-DUCLO)(D)*l)U(1,+8)

【答案】A

【解析】

记函数g(x)=/^,则g'(x)=?(x)；"x),因为当x>0时，xf'(x)-f(x)<0,故当x>0时,

XX

g'(x)<0,所以g(x)在(0,+oo)单调递减；又因为函数/(x)(xeR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数,

所以g(x)在(—oo,0)单调递减，且g(-l)=g(l)=0.当0<x<l时,g(x)>0,则/(x)>0：当x<T

时，g(x)<0,则〃x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是

(-oo,-l)U(0,l),故选A.

二、填空题

(13)设向量B不平行，向量/lZ+坂与Z+2B平行，则实数4=.

【答案】-

2

【解析】因为向量/U+沙与。+2匕平行，所以/U+b=Ma+26),则/所以丸=—.

1=2k,2

x-y+1>0,

(14)若x,y满足约束条件“x-2yW0,，则z=x+y的最大值为.

x+2y-2<0,

3

【答案】-

2

【解析】学科掰

画出可行域，如图所示，将目标函数变形为j=-x+z,当z取到最大时，直线j=-x+z的纵截距最大,

故将直线尽可能地向上平移到D(ll),贝ijz=x+j的最大值为1.

(15)(a+x)(l+x)4的展开式中x的奇数次帮项的系数之和为32,则。=.

【答案】3

【解析】由已知阳1+X)4=1+4X+6X2+4/+X4,故(a+x)(l+x)4的展开式中x的奇数次某项分别为

4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为4r+4a+1+6+1=32,解得a=3.

（16）设是数列｛〃〃｝的前〃项和，且q=—1,〃用=S〃S〃+],则S“二

【答案】---

n

两边同时除以s“+「s”，得一!——1=—1,故数列J'｝是

【解析】山已知得4川=S„+1-S„=Sn+]-Sn,

5„S.

+1[Sn\

以一1为首项，—1为公差的等差数列，则」-=—1—（〃—1）=—〃，所以s.=—L.

s“〃

三.解答题

(17)AABC中，D是BC上的点，AD平分/BAC,AABD是AADC面积的2倍。

.sinZj?

求-----:

(J)sinZC

若AD=1・DC=^,求80和NC的

(II)2w…

（18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的

满意度评分如下:

A地区：62738192958574645376

78869566977888827689

B地区：73836251914653736482

93486581745654766579

（I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值

及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级:

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满.意

记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级假设两地区用户的评价结果相互独

立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率

19.（12分）

如图，长方体ABCD-AiBiGDi中AB=16,BC=10,AA,=8.点E,F分别在A1B1,D1C1±,A1E=D1F»

过带你E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形

(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理山)

(II)求直线AF与平面a所成角的正弦值

20.已知椭圆C：9^+y2直线1不过原点O且不平行于坐标轴，1与C有两个交点A,B,

线段AB的中点为M.

(I)证明：直线OM的斜率与1的斜率的乘积为定值；

(II)若1过点(，m)，延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时1的

斜率，若不能，说明理由.

21.设函数f(x)=emx+x2-mx.

(I)证明：fi[x)在(Q,0)单调递减，在(0,+oo)单调递增：

(II)若对于任意x仆2口-1,1],都有If(X))-f(x2)Ie1,求m的取值范围

请考生