新高考数学一轮复习课时讲练 第5章 第1讲　平面向量的概念及线性运算 (含解析)

知识点最新考纲平面向量的几何意义及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.向量的线性运算掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.平面向量的基本定理及坐标表示理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.平面向量的数量积及向量的应用理解平面向量数量积的概念及其几何意义．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．会用坐标表示平面向量的平行与垂直．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.复数了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．了解复数的加、减运算的几何意义．理解复数代数形式的四则运算.第1讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)续表向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．[说明]三点共线的等价关系A，P，B三点共线⇔eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．()(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化](必修4P108B组T5改编)在平行四边形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状为________．解析：如图，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．答案：矩形[易错纠偏](1)对向量共线定理认识不准确；(2)向量线性运算不熟致错；(3)向量三角不等式认识不清致错．1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3).答案：－eq\f(1,6)eq\f(2,3)3．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．答案：[2，6]平面向量的有关概念给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；其中真命题的序号是________．【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．③是正确的，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③eq\a\vs4\al()平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)用已知向量表示未知向量；(2)求参数的值．角度一用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))【解析】在△CEF中，有eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).因为点E为DC的中点，所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→)).因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故选D.【答案】D角度二求参数的值如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．【解析】因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为点M为AH的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BH,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)eq\a\vs4\al()向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．(2020·嘉兴质检)已知平行四边形ABCD，点M1，M2，M3，…，Mn－1和N1，N2，N3，…，Nn－1分别将线段BC和DC进行n等分(n∈N*，n≥2)，如图，若eq\o(AM1,\s\up6(→))＋eq\o(AM2,\s\up6(→))＋…＋AMn－1＋eq\o(AN1,\s\up6(→))＋eq\o(AN2,\s\up6(→))＋…＋ANn－1＝45eq\o(AC,\s\up6(→))，则n＝()A．29 B．30C．31 D．32解析：选C.由题图知，因为eq\o(AM1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,n)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AM2,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,n)eq\o(BC,\s\up6(→))，…，AMn－1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(n－1,n)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AN1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,n)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AN2,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,n)eq\o(DC,\s\up6(→))，…，ANn－1＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(n－1,n)eq\o(DC,\s\up6(→)).eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).所以eq\o(AM1,\s\up6(→))＋eq\o(AM2,\s\up6(→))＋…＋AMn－1＋eq\o(AN1,\s\up6(→))＋eq\o(AN2,\s\up6(→))＋…＋ANn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1＋\f(1,n)＋\f(2,n)＋…＋\f(n－1,n)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3（n－1）,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\f(3（n－1）,2)＝45，解得n＝31.故选C.2．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1－λ3＋λ5－λ6＝0,λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0))时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).答案：02eq\r(5)平面向量共线定理的应用设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【解】(1)证明：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.eq\a\vs4\al()1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是()A．λ＝0 B．λ＝－1C．λ＝－2 D．λ＝－eq\f(1,2)解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，因为a，b共线⇔b＝eq\f(1,2)a⇔b＝e1－eq\f(1,2)e2⇔λ＝－eq\f(1,2).2.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)试用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)证明：B，E，F三点共线．解：(1)△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b.(2)证明：eq\o(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,3)b))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))与eq\o(BE,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．核心素养系列10数学运算——共线定理的推广与应用[共线定理]已知eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))为平面内两个不共线的向量，设eq\o(PC,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.[推广形式]如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设eq\o(PC,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))(x，y∈R)．当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋μeq\o(PB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得eq\o(PC,\s\up6(→))＝meq\o(PF,\s\up6(→))，则eq\o(PC,\s\up6(→))＝meq\o(PF,\s\up6(→))＝mλeq\o(PA,\s\up6(→))＋mμeq\o(PB,\s\up6(→)).又eq\o(PC,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.以上过程可逆．因此得到结论：eq\o(PC,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))，则x＋y＝m(定值)，反之亦成立．(应用实例)如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AF,\s\up6(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．【解析】当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(AN,AM)，\f(AD,AM)))＝[3，4]．【答案】[3，4]如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是________．【解析】由点D是圆O外的一点，可设eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))(λ＞1)，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(BA,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→)).因为C，O，D三点共线，令eq\o(OD,\s\up6(→))＝－μeq\o(OC,\s\up6(→))(μ＞1)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(λ,μ)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1－λ,μ)·eq\o(OB,\s\up6(→))(λ＞1，μ＞1)．因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，所以m＝－eq\f(λ,μ)，n＝－eq\f(1－λ,μ)，则m＋n＝－eq\f(λ,μ)－eq\f(1－λ,μ)＝－eq\f(1,μ)∈(－1，0)．【答案】(－1，0)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝eq\f(π,3)，C为弧AB上的动点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则x＋3y的取值范围是________．【解析】eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋3yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OB,\s\up6(→)),3)))，如图，作eq\o(OB′,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→)),3)，则考虑以向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1，3]．【答案】[1，3][基础题组练]1．下列各式中不能化简为eq\o(PQ,\s\up6(→))的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))) B．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))C.eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→)) D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))解析：选D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))＝eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))，显然由eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))得不出eq\o(PQ,\s\up6(→))，所以不能化简为eq\o(PQ,\s\up6(→))的式子是D.2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．3．(2020·浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|，则|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝()A．12 B．6C．3 D.eq\f(3,2)解析：选C.因为|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CM,\s\up6(→))|，|eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，所以2|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝6，所以|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝3，故选C.4．已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是()A．|a|＋|b|≥|a－b|B．|a·b|≤|a|·|b|C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正确；因为|a·b|＝|a||b||cosa，b|，又|cosa，b|≤1，所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正确；由向量数量积的运算，得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，C正确；根据排除法，故选D.5．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A.若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q，若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ＞0，故qeq\o(⇒,\s\up0(/))p.所以p是q的充分不必要条件，故选A.6．(2020·温州市普通高中模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(0，eq\r(2))解析：选B.由题意可得eq\o(OD,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝eq\f(1,k)＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．解析：如图，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.答案：b－a－a－b8．(2020·温州质检)如图所示，在△ABC中，BO为边AC上的中线，eq\o(BG,\s\up6(→))＝2eq\o(GO,\s\up6(→))，设eq\o(CD,\s\up6(→))∥eq\o(AG,\s\up6(→))，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ的值为________．解析：因为eq\o(BG,\s\up6(→))＝2eq\o(GO,\s\up6(→))，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(CD,\s\up6(→))∥eq\o(AG,\s\up6(→))，可设eq\o(CD,\s\up6(→))＝meq\o(AG,\s\up6(→))，从而eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(m,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(m,3)))eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\f(m,3)＝eq\f(1,5)，λ＝1＋eq\f(m,3)＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)9．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是________．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，当eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))同向时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3；当eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))反向时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8＋5＝13；当eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线时，3＜|eq\o(BC,\s\up6(→))|＜13.综上可知3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.答案：[3，13]10．(2020·杭州中学高三月考)已知P为△ABC内一点，且5eq\o(AP,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于________．解析：因为5eq\o(AP,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，延长AP交BC于D，则eq\f(5,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD＝eq\f(2,3)CB，设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为eq\f(2,3)×eq\f(3,5)d＝eq\f(2,5)d，所以△PAC的面积与△ABC的面积之比为eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)11.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).解：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，求eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值．解：设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－ma＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PG,\s\up6(→))，即nb－ma＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)λb，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)＝3.[综合题组练]1．设P是△ABC所在平面内的一点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积的比值是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选B.因为eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(CP,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(PA,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,1)，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以eq\f(S△PAB,S△PBC)＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(CP,\s\up6(→))|))＝eq\f(1,2).2．(2020·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则xy的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(4,9))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,4)))解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤λ≤－\f(1,3)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝－λeq\o(AC,\s\up6(→))＋(λ＋1)eq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－λ,x＝λ＋1))，所以x＋y＝1且eq\f(1,3)≤x≤eq\f(2,3)，于是xy＝x(1－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，所以当x＝eq\f(1,2)时，xy取得最大值eq\f(1,4)；当x＝eq\f(1,3)或x＝eq\f(2,3)时，xy取得最小值eq\f(2,9)，所以xy的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,4)))，故选D.3．(2020·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，则m＋n＝________．解析：作BG∥AC，则BG∥NC，eq\f(|BG|,|AN|)＝eq\f(|BM|,|AM|).因为O是BC的中点，所以△NOC≌△GOB，所以|BG|＝|NC|，又因为|AC|＝n|AN|，所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以eq\f(|BG|,|AN|)＝n－1.因为|AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|，所以eq\f(|BM|,|AM|)＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2.答案：24.(2020·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足eq\f(1,CM2)＋eq\f(1,CN2)＝1，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))，则x＋y的最小值为________．解析：连接MN交AC于点G，由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所以1＝eq\f(1,CM2)＋eq\f(1,CN2)＝eq\f(MN2,CM2·CN2)，即MN＝CM·CN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线．因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y)\o(AM,\s\up6(→))＋\f(y,x＋y)\o(AN,\s\up6(→))))，所以由共线定理知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋y)eq\o(AG,\s\up6(→))，所以x＋y＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AG,\s\up6(→))|)＝eq\f