专题14.5 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大类型（解析版）

专题14.5解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一提多项式的公因式的因式分解法】 1【类型二综合利用提公因式法和公式法因式分解】 2【类型三十字相乘法因式分解】 4【类型四分组分解法因式分解】 9【类型五因式分解的应用】 14【过关检测】 17【典型例题】【类型一提多项式的公因式的因式分解法】例题：（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）分解因式：．【答案】【分析】提公因式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查利用提公因式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：．【答案】【分析】分别运用提公因式，公式法进行因式分解即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查因式分解的相关知识．灵活运用提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．解题时注意，分解一定要彻底，这是易错点．2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）分解因式：．【答案】【分析】先变形，再提取公因式，然后再利用平方差公式进行分解因式．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【类型二综合利用提公因式法和公式法因式分解】例题：（2023春·江苏苏州·七年级期末）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用平方差公式分解即可．（2）先提取公因式，后套用公式分解即可．【详解】（1）解：．（2）．【点睛】本题考查了平方差公式，提取公因式，完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的基本步骤和方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查因式分解，能够综合运用提取公因式法和公式法是解题的关键．2．（2022秋·四川巴中·八年级统考期中）因式分解：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解；（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【类型三十字相乘法因式分解】例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：

第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：①的系数为；②的系数为；③的系数为；④的系数为．显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．问题：(1)分解因式：；①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善横线上的数字；

②分解因式：________．【答案】(1)①见解析；②(2)①见解析；②【分析】（1）（2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，仿照材料分解即可．【详解】（1）解：①

；②；（2）①

；②．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是读懂材料，理解十字相乘法的计算方法．【变式训练】1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解；（2）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解．【详解】（1）解：如图，∴（2）解：如图，∴．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步骤是解题的关键．2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，基本式子为：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘积相加等于，得到，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．【详解】（1）解：；（2）当时，原式．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．【答案】(1)(2)图见解析，，，，16【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．【详解】（1）解：，常数项，，，故答案为：；（2）解：，常数项，画“十字图”如下：

，，，16．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根据进行解答即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．【类型四分组分解法因式分解】例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式．解：添加两项．原式请你结合自己的思考和理解完成下列各题：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因；（2）根据例题用拆项补项法分解因；（3）根据例题用拆项补项法分解因；【详解】（1）解：；（2）（3）【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．【答案】(1)）；(2)；(3)．【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解．【详解】（1）解：=；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．2．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）

（2）【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲发现该多项式前两项有公因式，后两项有公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式，第一项和第三项含有公因式，把，提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲发现先将看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；（1）分解因式：；（2）分解因式：；【拓展提升】：（3）分解因式：．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）把前面两个和后面两个分别组成两组，提公因式后再利用平方差公式继续分解；（2）把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可；（3）把15分解成，再把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）．【点睛】解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式．【类型五因式分解的应用】例题：（2023秋·广东深圳·九年级校考开学考试）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华【答案】C【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．【详解】解：原式由条件可知，可表示为“爱我中华”，故选：C．【点睛】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．【变式训练】1．（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）已知正方形的边长为b，正方形的边长为．如图1，点H与点A重合，点E在边上，点G在边上，记阴影部分的面积为；如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形的右下角又放了一个和正方形一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在和上，记阴影部分面积为和．若，，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先表示出和的面积，进而求出a和b的值，再根据表示边长为的正方形的面积，即可求解；【详解】∵的面积等于正方形面积-正方形面积，是边长为的正方形的面积，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，解，得，，∵S3表示边长为的正方形的面积，∴；【点睛】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，掌握割补法求图形面积的方法是解决（1）的关键；解（2）的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．2．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．请解决下列问题：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由，【答案】(1)(2)是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；（2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状．【详解】（1）；（2）是等腰三角形．理由如下：，，，，是的三边，，，，是等腰三角形．【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键．3．（2023秋·山西临汾·八年级统考阶段练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题：

(1)写出图2中所表示的数学等式：___________．(2)利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知，，求的值．(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为．【答案】(1)=(2)45(3)见解析【分析】（1）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于边长为的正方形即可得出答案；（2）利用（1）中所求，将原式变形，进而求出答案；（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为，宽为的矩形面积；【详解】（1）由拼图面积可得：；（2），，；（3）如图所示，所拼出的几何图形的面积为：

【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题，利用因式分解解决证明问题，利用因式分解简化计算问题．【过关检测】一、单选题1．（2023春·重庆·八年级重庆市南坪中学校校联考期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义“将多项式化为几个整式的积的形式”，由此即可求解．【详解】解：、不是因式分解，不符合题意；、不是因式分解，不符合题意；、等号右边不是整式，不是因式分解，不符合题意；、是因式分解，符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解题的关键，尤其需要主要的是选项中是积的关系，但不是整式，不属于因式分解．2．（2023春·湖南株洲·七年级校考期中）分解因式，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可．【详解】解：故选：D【点睛】此题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的有关方法．3．（2023秋·八年级课时练习）已知a，b，c是的三边长，且满足，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】由因式分解，可知，可得，因而可判断的形状．【详解】解析：∵，∴，∴．∵a，b，c是的三边长，∴，∴，∴，即的是等腰三角形．【点睛】题考查了因式分解的应用，还考查了等腰三角形的定义，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关键．4．（2023秋·八年级课时练习）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，一，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱学 B．爱一中 C．我爱一中 D．一中数学【答案】C【分析】根据提公因式和平方差公式分解因式即可得出答案．【详解】解：∵，∴这几个字分别为：中，爱，我，一，即我爱一中．故选C．【点睛】本题考查因式分解．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．二、填空题5．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）因式分解：=．【答案】【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是综合运用提公因式法和公式法．6．（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考开学考试）分解因式：．【答案】【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．7．（2023秋·九年级课时练习）若实数，满足，则的值为．【答案】或1【分析】将看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程求出的值即可．【详解】解：∵，∴或，解得：或，故答案为：或1．【点睛】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，将x＋y看作一个整体是解本题的关键．8．（2023秋·八年级课时练习）已知的三边长a，b，c满足，则的形状为．【答案】等腰三角形【分析】将进行因式分解，转化为，进而得到，即可得出结论．【详解】解析：∵，∴，∴．∵a，b，c是的三边长，∴，∴，∴，即为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．【点睛】本题考查因式分解的应用，正确的进行因式分解，是解题的关键．三、解答题9．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；（2）利用十字相乘法进行因式分解；（3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．【详解】（1）解：；（2）解：，，，；（3）解：．【点睛】本题考查因式分解，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法是解题的关键．10．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根据分解因式的方法求解即可．【详解】（1）解：原式；（2）原式．（3）原式．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．11．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：(1)（添项）；(2)（拆项）；(3)（换元）．【答案】(1)(2)(3)【分析】根据分解因式的方法求解即可．【详解】（1）原式．（2）方法一：原式．方法二：原式．（3）设，则原式．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．12．（2023秋·八年级课时练习）用十字相乘法分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．【详解】（1）原式．（2）原式．（3）原式【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．13．（2023秋·八年级课时练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．阅读以上材料，解决下列问题．(1)分解因式：．(2)当a为何值时，二次三项式取得最小值．【答案】(1)(2)时，二次三项式取得最小值，最小值为1【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可；（2）利用配方法求最值即可．【详解】（1）解：原式；（2）∵，又，∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为1．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握配方法，是解题的关键．14．（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．比如因式分解：这种分组法是分组后用提公因式法分解；比如因式分解：这种分组法是分组后用公式法分解．根据以上信息分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分组，提公因式分解；（2）分组，分别运用平方差公式，提公因式法分解；（3）运用整式乘法法则变形，再运用平方差公式展开，进一步化简．【详解】（1