变系数常微分方程本征问题

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一.引言

1.求解二阶线性常微分方程的重要性

2.困难

3.解决问题的途径

二.线性常微分方程的变换性质

设最一般的二阶变系数线性齐次常微分方程为

（5。1——1）1.方程（5。1——1）对自变量的任意变换的保线性性2.方程（5。1——1）对未知函数的线性变换的保线性性三.常系数化法1.通过自变量的变换使方程的系数化为常数

2.通过未知函数的齐次线性变换使方程的系数化为常数

例１.将Ｅuler型方程解:将方程化为标准型(５.１—１)(a,b为常数)常系数化

例.2.将μ

阶Ｂessel方程(μ为常数)常系数化.

解:根据判别式若可以经未知函数的线性变换常系数化,只要在(5.1-12)中取1.d’Alembert

降阶法设已知一个特解（用观察法）y1,用变换y=uy1可以把原方程化为关于u的一阶线性方程。2.利用算子因式分解降阶四.降阶法

END求解二阶线性常微分方程

的重要性

这些方程是物理学与科学技术最常见的，有直接应用；是解高阶线性常微分方程的基础；是解数学物理方程和学习后继课程的基础。

2.困难

最一般的二阶变系数线性常微分方程非常难解，至今没有一般的方法。3.解决问题的途径

一阶线性常微分方程总是可解的;

降阶法——化二阶为一阶.二阶常系数线性常微分方程总是可解的;

常系数化法——化变系数为常系数.如：著名的Euler方程及其它一些方程。

但是，都没有解决哪些方程可以常系数化，用什么变换，怎么找到这个变换，变换成什么样的常系数方程，以便迅速求解。方程（5。1——1）对自变

量的任意变换的保线性性

方程（5。1——1）化为2.方程（5。1——1）对未知函数

的线性变换的保线性性

若β=0，上式化为1.通过自变量的变换使方程的

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