2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷（含答案解析）

2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列实数为无理数的是（）

A.—B.0.8C.-6D.V2

3

2.下列单项式中，的同类项是（)

A.a3b2B.2a2t)3C.a2bD.4加

3.计算之-乌的结果是（）

a-ba-b

A.2B.-2C.0D.2b-2a

4.下面四个立体图形中，三视图完全相同的是（）

5.如图，AABC经ADEF,DE=5,AE=2,则BE的长是()

6.某班一合作学习小组有6人，初三上学期数学期末考试成绩数据分别为114、86、

95、77、110、93,则这组数据的中位数是（）

A.86B.95C.77D.94

7.如图，OA,OB是O的两条半径，点C在。上，若NC=38。，则NAOB的度数

为（）

C.80°D.60°

8.如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的尸、。两点分别测

定对岸一棵树7的位置，T在尸的正北方向，且T在。的北偏西50。方向，贝U河宽（PT

的长）可以表示为（）

B.200tan500米

D^米

C.200sin50。米

9.已知一次函数丫=以-4的函数值y随X的增大而减小，则该函数的图象大致是（）

10.如图，折线ABCDE描述了-一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离

出发地的距离s（千米）和行驶时间，（小时）之间的函数关系.根据图中提供的信息,

给出下列说法，其中正确的说法是（）

A.汽车共行驶了120千米

B.汽车在整个行驶过程中停留了2个小时

试卷第2页，共6页

C.汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时

D.汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少

填空题

11.如果凶=2023,那么x=

12.若a,。是一元二次方程Y-5x-3=O的两实根，则a-ab+Z?的值为.

13.寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、

宁乡泡温泉.妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到

方案为近郊露营的概率是.

14.如图，与△OA"是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为1:3,若点

8'的坐标为（2,6）,则点8的坐标为.

15.如图，一扇形纸扇完全打开后，48和AC的夹角为120。，A8长为30cm,则该扇

16.一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看

春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有

万人观看了春晚.

三、解答题

17.计算：3tan3（T+（-g）-|l-^|+（^-2023）°.

,1

18.先化简，再求值：（〃+与-+（〃+人）（〃一勾一加（々一匕），其中〃=2,6=--.

19.如图，在；ABC中，分别以点A,3为圆心，以大于《A8的长为半径画弧，两弧

2

相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接8E.

(1)请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的；

A.角平分线B.高C.中线D.垂直平分线

⑵若A3C中，ZACB=90%ZCfi£=30°,A8=8,求CE的长.

20.某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、"手工”、

“厨艺”及"编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校

面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？(要求必须选修一门且

只能选修一门)”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：

鉴赏数学

请结合上述信息，解答下列问题:

(1)共有名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心

角是度；

(2)补全调查结果条形统计图；

(3)小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法

求出两人恰好选到同一门课程的概率.

21.如图，AB是；。的直径，点E在AB的延长线上，AC平分/ZME交一。于点C,

连接EC并延长，AO垂直EC于点Q.

试卷第4页，共6页

D

C

0BE

(1)求证：直线£>E是。的切线；

(2)若J?的半径为3,BE=2,求线段AO的长.

22.2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)，将劳动从原

来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种

园，需要去某菜苗基地采购A,8两种菜苗开展种植活动.若购买30捆A种菜苗和10

捆8种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆8种菜苗共需740元.

(1)求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；

(2)学校决定用828元去菜苗基地购买A,8两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活

动，对A,B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？

23.在吊ABC中，N84C=90。，。是BC的中点，E是AO的中点，过点A作A歹〃

交CE的延长线于点

(1)求证：四边形4)8尸是菱形；

⑵若tan/48C=2,菱形AZ58尸的面积为40.求菱形AZJB/7的周长.

24.我们不妨约定：若存在实数对于函数图象上任意两点(4,另)、%),

E-y214A都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的“中，其最小值称为

这个函数的幸福指数.例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4.

(1)下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“4”,不是的打“X”；

@y=2x-l(-l<x<2)；

②y=_j536X«;

(3)y=(x-l)2+2(2<x<3).

⑵若一次函数y=ax+)和反比例函数y=，(〃方为常数，且awO),当f-

且f>g时，这两个函数的幸福指数相同，求f的值；

⑶若关于X的幸福函数y=-/+4x+rG为常数)，当"iWxWf时，幸福指数为f,求

f的值.

25.如图1,抛物线丫=℃2+3以(a为常数，o<0)与x轴交于O,A两点，点B为

抛物线的顶点，点。是线段。4上的一个动点，连接8。并延长与过0,A，8三点的P

相交于点C,过点C作尸的切线交x轴于点E.

(1)①求点A的坐标；

②求证：CE=DE；

(2)如图2,连接AB,AC,BE,BO,当〃=-上，NC4E=NO8E时,

3

①求证：AB2=ACBE；

②求W-圭的值•

试卷第6页，共6页

参考答案:

I.D

【分析】根据有理数和无理数的定义、实数的分类解答即可.

【详解】解：A.g为有理数，故该选项不符合题意；

B.0.8是有理数，故该选项不符合题意；

C.-6是有理数，故该选项不符合题意；

D.正是无理数，故该选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查无理数的定义,熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的定义是解题关键.

2.B

【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可.

【详解】解：根据同类项的定义可知，各选项中，-2/瓜的同类项是2/ZA

故选：B.

【点睛】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键.

3.B

【分析】根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减,

计算即可.

【详解】解：义-义

a-ba-b

_2b—2a

a-b

2^a-b)

a-b

=—2.

故选：B.

【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键.

4.B

【分析】根据圆柱、球、圆锥和三棱柱的三视图逐项作出判断即可.

【详解】解：A.圆柱的主视图、左视图是长方形，俯视图是圆，故A不符合题意；

B.球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故B符合题意；

C.圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；

D.三棱柱的主视图、俯视图都是长方形，左视图是三角形，故D不符合题意；

答案第1页，共17页

故选B.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，属于基础题型，熟知常见几何体的三视图是解题

的关键.

5.C

【详解】根据全等三角形的性质即可得到结论.

【分析】解：：/^ABC%ADEF,DE=5,

AB=DE=5,

:AE=2,

BE=AB-AE=3.

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.

6.D

【分析】把这组数从小到大排列，求出中间两个数的平均数即可.

【详解】解：这组数从小到大排列为：77,86,93,95,110,114,

•••这组数据的中位数是是（93+95）+2=94,

故选：D.

【点睛】本题考查中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的定义.

7.B

【分析】根据圆周角定理求解即可.

【详解】解：VZAOB=2^C,ZC=38°,

ZAOB=16°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解

题的关键.

8.A

【分析】在RtJQT中，利用PQ的长，以及NPQT的度数，进而得到/尸丁。的度数，根据

三角函数即可求得PT的长.

【详解】解：在RiPQT中，

ZQPT=90°,ZPQT=90°-50°=40°,

答案第2页，共17页

.・・ZPTQ=50°,

:.tan50。=丝,

PT

,pT二PQ二200

••~tan50°-tan50°

故选：A.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解

题的关键.

9.B

【分析】根据一次函数的增减性可得。<0,进一步可知》="-4的图象经过的象限，即可

判断.

【详解】解：•..一次函数丫=公-4的函数值y随X的增大而减小，

••a<0,

"：b=-A<0,

.•.丫=〃-4经过第二、三、四象限，故选项B符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解

题的关键.

10.C

【分析】根据所给的函数图象，以及速度、时间和路程的关系，逐项判定即可.

【详解】解：1•汽车共行驶了：120x2=240（千米），

选项A不符合题意；

•・•汽车在整个行驶过程中停留了0.5个小时，

选项B不符合题意；

•••汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为：120+3=40（千米/时），

；•选项C符合题意：

•.•汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，

二选项D不符合题意.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了函数的图象，以及速度、时间和路程的关系和应用，要熟练掌握.

答案第3页，共17页

11.±2023

【分析】根据绝对值的定义解答即可.

【详解】解：•••IX=2023,

，x=±2023,

故答案为：±2023.

【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它

的相反数.

12.8

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出与必的值，代入原式计算即可求出值.

【详解】解：。，b是一元二次方程Y-5x-3=O的两实根，

「.々+6=5,他=-3,

则a-ab+b={a+b)-cib=5-(-3)=8.

故答案为：8.

【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关

键.

13.-##0.25

4

【分析】直接由概率公式求解即可.

【详解】解：由概率公式可知，妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取

1张，则抽到方案为近郊露营的概率是!.

故答案为：

4

【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【分析】根据位似变换的性质解答即可.

【详解】解：Q4B与△04'"是以原点。为位似中心的位似图形，且位似比为1:3,点8'

的坐标为(2,6),

二点5的坐标为(二,二］,

答案第4页，共17页

•,*点3的坐标为（-1-2

故答案为：（-1-4

【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键.

15.300^cm2

【分析】根据扇形面积公式计算即可.

【详解】解：・.・120万x3（）2=3oo"（cn?）,

.,•该扇形纸扇的面积为300;rcm2,

故答案为：300乃cm?.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积公式.

16.615

【分析】利用长沙市人数x看了今年的春晚的人数所占百分比，计算即可得出答案.

【详解】解：1025x（黑xl00%）=615.

故答案为：615.

【点睛】本题主要考查了用样本估计总体、有理数的乘除法，关键是掌握用样本去估计总体

时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.

17.0

【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数'幕运算法则、零指数基运算法则、绝对

值的意义分别化简各数，然后再按照实数的混合运算法则计算即可.

【详解】解：3tan30°+（-；）-卜一代|+（乃一2023）°

=3x

=6-2-石+1+1

=0.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数事、零指数幕、绝对值、实数的混合

运算，熟练掌握相关的运算法则是解本题的关键.

18.4ab,-4

答案第5页，共17页

【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并

同类项.再将a、b的值代入化简后的式子计算即可.

【详解】解：（a+匕）-+（〃+人）（〃一〃）一2a（a—b）

—cr+2ab++cr~b~~2〃~+2ab

=4ab,

当a=2,6=-工时，

2

【点睛】本题考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意

完全平方公式、平方差公式的应用.

19.（1）D

⑵递

3

【分析】（D由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段A8的垂直平分线；

（2）根据三角形的内角和定理，得出NC£B=60。，再根据线段垂直平分线的性质，得出

BE=AE,再根据等边对等角，得出NA=ZEBF,再根据三角形的外角的性质，得出Z4=30。，

在RABC中，根据直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半，得出8C=gAB=4,

在用BCE中,再根据锐角三角函数，计算即可得出答案.

【详解】（1）解：（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段A5的垂直平分线；

故答案为：D.

（2）解：如图，设与A8交于点尸，

VZACB=90°,ZCBE=30°,

NC£B=60°,

MN是线段AB的垂直平分线，

BE=AE，

:・ZA=/EBF,

/CEB=ZA+ZEBF=2ZA=60°,

/.ZA=30°,

在RABC中,

答案第6页，共17页

VZA=30°,

/.BC=-AB=4,

2

在凡BCE中，

ZCBE=30°,

/.CE=BCtan30°=4x—=—.

33

【点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、三

角形的外角的性质、含30。角的直角三角形、锐角三角函数，熟练掌握线段垂直平分线的性

质是解本题的关键.

20.（1）120,75

（2）见解析

【分析】（1）由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生

人数，求出选修“手工”的学生人数，用360。乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；

（2）根据（1）的结果，补全条形统计图即可；

（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果

有5种，再由概率公式求解即可.

【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：30^25%=120（名），

则选修“厨艺”的人数为：120xl5%=18（名），

则选修“手工''的人数为：120—30—20—18—27=25（名），

则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°x*=75。；

故答案为：120,75

答案第7页，共17页

（3）解：把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、

B、C^£＞、E,

画树状图如下：

开始

ABCDE

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，

小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为三=9.

255

【点睛】本题考查了用树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，树状图法可以不重复不

遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.概率公式：概率等于所求情

况数与总情况数之比.

21.⑴见解析

【分析】（1）连接0C,由角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出ND4C=NACO,再

根据平行线的判定定理，得出AO〃OC,进而得出NOCE=90°,再根据切线的判定定理，

即可得出结论；

（2）连接。C,证明一•.（%）£由相似三角形的性质可求出答案.

【详解】（1）证明：如图1,连接。C,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：AC平分//ME,

答案第8页，共17页

:.ZDAC=ZOAC,

：.ZDAC=ZACOf

：.AD//OC,

：.ZOCE=ZADC

,:ADA.DE,

：.ZA£)C=90°,

/.NOCE=90。,

:.OCLDE,

•/OC是半径，

；・DE是。的切线;

图1

(2)解：如图1,连接OC,

■:AD//OC,

:・COEsDAE,

.OCOE

.-----=-----,

ADAE

.32+3

*'AD-2+3+3'

24

二AD=—.

5

【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判

定与性质，解本题的关键是作辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

22.(1)菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，B种菜苗每捆的单价为8元

(2)本次购买最多可购买60捆A种菜苗

【分析】(1)设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，8种菜苗每捆的单价为)，元，根据“购

买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需

答案第9页，共17页

740元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设本次可购买加捆A种菜苗，则可购买（100-m）捆8种菜苗，利用总价=单价x数量，

结合总价不超过828元，可得出关于机的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出

结论.

【详解】（1）解：设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，3种菜苗每捆的单价为），元，

30x+10y=380

根据题意得:

50x+30y=740

x=10

解得:

y=8

答：菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，8种菜苗每捆的单价为8元；

（2）解：设本次可购买〃，捆A种菜苗，则可购买（100-m）捆8种菜苗，

根据题意得：10x0.9w+8x0.9（100-m）＜828,

解得：“（60,

m的最大值为60,

答：本次购买最多可购买60捆A种菜苗.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次

不等式.

23.（1）见解析

（2）200

【分析】（1）利用平行线的性质可得=NFAE=NCDE,利用中点的定义可

得AE=DE,从而证明二E4E四°CDE,然后利用全等三角形的性质可得AF=CD,再根据。

是8c的中点，可得质=切，从而可证四边形AFQ是平行四边形，最后利用直角三角形

斜边上的中线可得瓦＞="＞,从而利用菱形的判定定理即可解答；

（2）利用（1）的结论可得S菱*AW=2SABO,再根据点。是8c的中点，可得%me=2S-PO,

进而可得工彩."=sABC=40,然后利用三角形的面积进行计算即可解答.

【详解】（1）证明：VAF//BC,

答案第10页，共17页

AZAFC=ZFCDfZFAE=ZCDE,

•・•点E是4。的中点，

:.AE=DE,

：.FAE^CDE(AAS),

・・・AF=CD,

•・•点。是3C的中点，

:・BD=CD,

JAF=BD,

・・・四边形AFRO是平行四边形，

VZBAC=90°,。是5c的中点，

・・・AD=BD=-BC

2f

・•・四边形A03厂是菱形；

(2)解：・・•四边形AD8产是菱形，

：•S菱形408尸=2SABD,

丁点。是3。的中点，

•,SfBC~2s△AM，

•"S菱形ADBF=SABC=4(),

.\-ABAC=40,

2

AC

VZBAC=90°,tanZABC=——=2,

BC

设BC=m,则AC=2加，

—xmx2m-40,

2

...机=2函或初=-2J环(负根舍去)，

AAB=2>/10,AC=4x/iU,

二BC=YAC~AB2='(4丽丫+(2屈)2=10丘,

：.BD=-BC=5y/2,

2

二菱形458尸的周长=4x8。=20夜.

答案第II页，共17页

【点睛】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三

角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性

质以及菱形的判定与性质是解题的关键.

24.⑴①Y,②x,③x

⑵咚

2

(3)g或3或5

【分析】(1)①当A-1时，y=2x-l=-3,当x=2时，y=2x-l=3,则％,必”=3-(-3)=6,

符合题意，故正确；②、③同理可解；

(2)时，求出两个函数人的最小值，即可求解；

(3)当1<2时，当》=/时，y=-t2+5t,当x=f—l时，y=-t2+7t-5,则

-t2+5t-(-r+7t-5)^t,即可求解；当2W3时、当r>3时，同理可解.

【详解】(1)解：①当％=-1时，y=2x-l=-3,当x=2时，y=2x-l=3,

则(而=3-(-3)=6,符合题意，故正确；

②当x=—3时，y=--3=l,当x=-3‘时，贝Uy=—3±=5,

x5x

则以,=5-1=4声6,故错误；

③当x=3时，y=(x-l)2+2=6,当x=2时，^=(X-1)2+2=3,

则%,=6-3=3H6,故错误;

故答案为：d,x,X;

(2)解：•••/＞：,故

22

当。〉0时,

当x=t+，时,

2

当X=+时，尸-二，当E+g时，

22

答案第12页，共17页

解得…享

当.<0时，列出的函数关系式和/的值和a>0得情况完全相同，

故r="；

2

(3)解：当尤=，时，y2+4X+方=一，+4，+1=一尸+5」,

当％=，一1时，y=-z2+7r-5,当x=2时，y=/+4；

①当，<2时，

22

当工=，时，y=-t+5t9当％=，-1时，y=-t+7t-5,

贝iJ一d+5r-(-r2+7r-5)=r,

解得：r=g；

②当2Wf«3时，

当rz|时，当x=2时，y=f+4,当工=『一1时，y=-t2+lt-5,

则/+4-(-/+7/-5)=0,

解得：，=3；

当t<|时，同理可得：z+4-(-z2+5r)=z,

解得：r=4或I(均舍去)；

③当r>3时，

当x=f—1时，y=-t2+7t-5,当X=r时，y=-r+5t,

则-产+5,一(-/+7/-5)=T,

解得：f=5；

综上，r=g或3或5.

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、一次函数、反比例函数、二次函数

的图象和性质，数形结合和正确理解新定义是解题的关键.

25.⑴①A(-3,0)；②见解析

答案第13页，共17页

⑵①见解析；②;

【分析】（1）①令，=0,可得or（x+3）=0,则A点坐标可求出;

②连接PC,连接BP延长交x轴于点M,由切线的性质可证得ZECD=NCDE,则CE=DE；

⑵①由）,=加+3心一手/-2&=一竽［x+|J+¥