拓展06 全等三角形动点问题（解析版）

拓展06全等三角形动点问题1．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．

(1)求BO的长；(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【答案】(1)6(2)65或【分析】（1）证△BDO≌△ADC，即可得出结论；（2）分两种情况，点F在BC延长线上时△AOP≌△FCQ得t=6-4t；当F在线段BC上时，证出△AOP≌△FCQ得t=4t-6，解出方程即可．【详解】（1）解：∵AD，BE为△ABC的高，∴∠AEB=∠ADB=90°，∵∠AOE=∠BOD，∴∠DBO=∠DAC，又∵∠BDO=∠ADC=90°，BD=AD，∴△BDO≌△ADC，∴BO=AC=6；（2）解：∵△BDO≌△ADC，∴∠BOD=∠ACD，当点F在BC延长线上时，

∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠ACF，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ，∴t=6-4t，解得：t=6当F在线段BC上时，

∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠FCQ，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ，∴t=4t-6，解得：t=2；综上所述，△AOP与△FCQ全等时，t的值为65或2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定是解题关键．2．Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是直线CB上的一个动点，连接AD，过点C作AD的垂线，垂足为点E，过点B作AC的平行线交直线CE于点F(1)如图1，当点D为BC中点时，请直接写出线段BF与AC的数量关系．(2)如图2，当点D在线段CB上(不与C，B重合)，请探究线段BF，BD，AC之间的数量关系(要求：写出发现的结论，并说明理由)．(3)如图3，当点D在线段CB延长线上，请探究线段BF，BD，AC之间的数量关系(要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由)．(4)当点D在线段BC延长线上，请直接写出线段BF，BD，AC之间的数量关系．【答案】(1)BF=12AC(2)AC=BF+BD；理由见解析(3)画图见解析，BF=AC+BD；理由见解析(4)BD=AC+BF【分析】（1）证明△ACD≌△CBF(ASA)，得出BF=CD，根据D为BC的中点，AC=BC，即可得出结论；（2）证明△ACD≌△CBF(ASA)，得出BF=CD，即可得出结论；（3）根据题意，画出图形，由(2)可知：△ACD≌△CBF，又CD=BC+BD，AC=BC，则BF=AC+BD（4）由(2)可知：△ACD≌△CBF，得出BF=CD，即可得出BD=AC+BF．【详解】（1）BF=12AC理由如下：∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，∵CE⊥AD，∴∠ADC+∠BCF=90°，∴∠CAD=∠BCF，∵AC∥BF，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBF=90°，在△ACD和△CBF中，∠CAD=∠BCFAC=CB∴△ACD≌△CBF(ASA)，∴BF=CD，∵D为BC的中点，AC=BC，∴BF=12BC=12（2）结论：AC=BF+BD；理由如下：∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，∵CE⊥AD，∴∠ADC+∠BCF=90°，∴∠CAD=∠BCF，∵AC∥BF，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBF=90°，在△ACD和△CBF中，∠CAD=∠BCFAC=CB∴△ACD≌△CBF(ASA)，∴BF=CD，∵AC=BC=CD+BD，∴AC=BF+BD；（3）图形如图所示：结论：BF=AC+BD；理由如下：由(2)可知：△ACD≌△CBF，∴CD=BF，又∵CD=BC+BD，∴BF=BC+BD，∵AC=BC，∴BF=AC+BD；（4）结论：BD=AC+BF；理由如下：由(2)可知：△ACD≌△CBF，∴BF=CD，∴BD=CD+BC=AC+BF；即：BD=AC+BF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3．如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm，动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3cm的速度向点(1)在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．【答案】(1)4(2)存在，1【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到CP=CQ，据此列出方程求解即可；（2）分情况讨论：当BD=CP时，△BPD≌△CQP，PB=PC，BD=CQ时，△BPD≌△CPQ．【详解】（1）由题意得CQ=3tcm，CP=BC-BP=(8-3t)cm，∵点C位于线段PQ的垂直平分线上，∴CP=CQ，∴3t=8-3t，解得t=4（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵BP=CQ=3tcm，∴当BD=CP时，△BPD≌△CQP，∵AB=10cm，D为AB的中点，∴BD=5cm，∴8-3t=5，解得t=1；当PB=PC，BD=CQ时，△BPD≌△CPQ，∴3t=8-3t∴不存在△BPD≌△CPQ这种情况，综上所述，当t=1时，△BPD≌△CQP．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．4．如图，在△ABC中，BC=5，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，AD、BE相交于点O，BD=23

(1)线段CD的长度等于___________．(2)求证：△AOE≌△BCE．(3)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线AC上的一点且CF=BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3(2)见解析(3)t=53或t=1时，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、【分析】（1）由BD=23CD（2）由∠OAE+∠AOE=90°，∠OBD+∠BOD=90°，∠BOD=∠AOE，可得∠CBE=∠OAE，通过（3）分两种情形：如图2，当OP=CQ时；如图3，当OP=CQ时，分别进行求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵BC=5，BD=2∴BD+CD=BC=5，即23∴CD=3，故答案为：3；（2）证明：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠BEC=∠AEO=∠ODB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∴∠CBE=∠OAE，在△AOE和△BCE中，∠CBE=∠OAEAE=BE∴△AOE≌△BCEASA（3）解：存在，如图2，当OP=CQ时，

∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠BEC=∠ODB=90°∵∠EOD+∠ODC+∠OEC+∠ECD=360°，∴∠DOE+∠DCE=180°，∵∠DCE+∠QCF=180°，∴∠QCF=∠DOE，∵∠DOE=∠BOP，∴∠BOP=∠QCF，在△BOP和△FCQ中，BO=FC∠BOP=∠FCQ∴△BOP≌△FCQSAS∵CQ=5-4t，∴5-4t=t，∴t=1；如图3，当OP=CQ时，

∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠BEC=∠ODB=90°∵∠EOD+∠ODC+∠OEC+∠ECD=360°，∴∠DOE+∠DCE=180°，∵∠DCE+∠QCF=180°，∴∠QCF=∠DOE，∵∠DOE=∠BOP，∴∠BOP=∠QCF，在△BOP和△FCQ中，BO=FC∠BOP=∠FCQ∴△BOP≌△FCQSAS∵CQ=4t-5，∴4t-5=t，∴t=5综上所述：t=53或t=1时，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．5．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是射线BA上一动点，连接CD，以CD为边作∠DCE=45°，CE在CD右侧，CE与过点A且垂直于AB的直线交于点E，连接DE．(1)当CD，CE都在AC的左侧时，如图①，线段BD，(2)当CD，CE在AC的两侧时，如图②，线段(3)当CD，CE都在AC的右侧时，如图③，线段【答案】(1)BD+AE=DE(2)BD-AE=DE，详见解析(3)BD-AE=DE【分析】（1）过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF=AE，CF=CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可；（2）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF=AE，CF=CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可；（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF=AE，CF=CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可；【详解】（1）过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，如图．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=135°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCFSAS∴DE=DF．∵BD+BF=DF，∴BD+AE=DE．故答案为：BD+AE=DE．（2）图②的猜想：BD-AE=DE．证明：过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图②．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠CBF=∠CAE．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCFSAS∴DE=DF．∵BD-BF=DF，∴BD-AE=DE．（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCFSAS∴DE=DF．∵BD-BF=DF，∴BD-AE=DE．故答案为：BD-AE=DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．6．如图1，在△ABC中，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，点P、Q分别是△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．(1)求证：△ABQ≌(2)点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，直接写出∠QMC的度数．【答案】(1)见解析(2)∠QMC不变，是定值60°(3)120°【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质，得到∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC，即可得解；（3）证明△PBC≌△QCASAS，得到∠BPC=∠CQA，利用三角形的内角和定理，推出∠QMC=∠PBC=120°【详解】（1）证明：∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中AB=CA∠ABQ=∠CAP∴△ABQ≌△CAPSAS（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变理由：∵△ABQ≌△CAPSAS∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠QMC=60°；（3）解：∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，∵AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，∴∠PBC=∠ACQ=180°-60°=120°，BP=CQ，∴△PBC≌△QCASAS∴∠BPC=∠CQA，∵∠BCP=∠MCQ，∴180°-∠BPC-∠BCP=180°-∠CQA-∠MCQ，即：∠QMC=∠PBC=120°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角以及三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．7．在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F(1)如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是(2)如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是【答案】(1)BD∥MF，证明见解析(2)BD⊥MF，证明见解析【分析】（1）过点D作DH⊥BC，首先证明△ABD≌△HBD(AAS)，得到∠ADB=∠HDB，然后根据角平分线的概念和平行线的判定求解即可；（2）延长MF交BD于点H，首先根据三角形的内角和定理得到∠ABC=∠CME，然后根据角平分线的概念及垂直的判定求解即可．【详解】（1）BD∥MF，理由如下：过点D作DH⊥BC，∵∠A=∠BHD=90°，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△HBD(AAS)，∴∠ADB=∠HDB，∵ME⊥BC，∴∠EMC=∠HDC，∴∠AME=∠ADH，∴∠AMF=∠ADB，∴FM∥BD；（2）BD⊥MF，理由如下：延长MF交BD于点H，∵∠BAM=∠BEM=90°，∠AOM=∠BOE，∴∠ABC=∠CME，∴∠AMF=∠ABD．∵∠AFM=∠BFM，∴∠BHM=∠MAB=90°，∴MF⊥BD．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的内角和、平行线的判定及垂直的判定，是一道综合题．8．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH=AC；(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM=EM；(3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC=5CM，则S△ADBS【答案】(1)见解析(2)见解析(3)47或【分析】（1）由AE⊥AD,EH⊥AC,∠ACB=90°，得∠AHE=∠C=∠DAE=90°，根据余角的性质可证∠AEH=∠DAC（2）作EF⊥CM交CM的延长线于点F，先证明△AEH≌△DAC(AAS)，得EF=AC=BC，再证明△BMC≌△EMF(AAS)可证结论成立；（3）分当点D在CB的延长线上时和当点D在线段BC上时两种情况求解即可．【详解】（1）∵AE⊥AD,EH⊥AC,∠ACB=90°，∴∠AHE=∠C=∠DAE=90°，∵∠AEH+∠EAH=90°，∠DAC+∠EAH=90°，∴∠AEH=∠DAC，在△AEH和△DAC中，∠AHE=∠C∠AEH=∠DAC∴△AEH≌△DAC(AAS)，∴EH=AC．（2）如图，作EF⊥CM交CM的延长线于点F，∵∠F=90°,∠ACD=180°-∠ACB=90°,∠DAE=90°，∴∠F=∠ACD=∠MCB，∵∠FAE+∠CAD=90°，∠CDA+∠CAD=90°，∴∠FAE=∠CDA，在△FAE和△CDA中，∠F=∠ACD∠FAE=∠CDA∴△FAE≌△CDA(AAS)，∴EF=AC，∵AC=CB，∴EF=AC=BC，在△BMC和△EMF中，∠MCB=∠F∠BMC=∠EMF∴△BMC≌△EMF(AAS)，∵BM=EM．（3）当点D在CB的延长线上时，作EG⊥AM交AM的延长线于点G，则∠G=∠ACD=90°，∵∠DAE=90°，∵∠D+∠DAC=90°，∠DAC+∠GAE=90°，∴∠GAE=∠D，在△AGE和△DCA中，∠G=∠ACD∠GAE=∠D∴△AGE≌△DCA(AAS)，∴AG=DC,EG=AC，∵AC=CB，∴EG=AC=BC∴AG-AC=DC-BC，∴CG=DB，∵∠BCM=180°-∠ACB=90°，∴∠G=∠BCM，在△EGM和△BCM中，∠G=∠BCM∠EMG=∠BMC∴△EGM≌△BCM(AAS)，∴GM=CM，设GM=CM=m，则DB=CG=2m，∵2AC=5CM，∴AC=5∴AM=5∴SΔADBSΔAEM∴⋅SΔADB∴⋅SΔADBS当点D在线段BC上时，作EG⊥AM于点G，同理可证：EG=AC=BC，GM=CM，设CM=GM=n，则BD=CG=2n，∵2AC=5CM，∴AC=5∴AM=5∴SΔADBSΔAEM∴SΔADB综上所述，SΔADBSΔAEM的值为4故答案为：47或4【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为线段CA上一动点，连接BE，作BF⊥BE且BF=BE(1)如图1，过点F作FD⊥BC于点D，求证：FD=AC；(2)如图2，连接AF交BC于点G，若BG=6，CG=2，求证：E为AC中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明△BCE≌△FDB，得到：BC=DF，进而得到FD=AC；（2）证明△ACG≌△FDG，得到CG=DG，得到BD的长度，进而得到D点是BC的中点，根据CE=BD,AC=BC，即可得证．【详解】（1）证明：∵BF⊥BE，∠ACB=90°，∴∠EBF=∠ACB=90°，∴∠CBE+∠CEB=∠FBD+∠CBE=90°，∴∠CEB=∠FBD，又∵BF=BE，∠FDB=∠ACB=90°，∴△BCE≌△FDBAAS∴BC=DF，∵AC=BC，∴FD=AC；（2）证明：在△ACG和△FDG中，∠ACB=∠FDG=90°∠CGA=∠FGD∴△ACG≌△FDGAAS∴DG=CG=2，∵BC=BG+CG=8，BD=BG-DG=6-2=4，∴BD=1∵△BCE≌△FDB，∴CE=BD，∴CE=1即点E为AC的中点．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．10．如图1，直线l⊥BC于点B，∠ACB=90°，点D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E(1)求证：BE=AC；(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CF⊥AD；(3)如图3，在（2）的条件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，S△ABD【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5【分析】（1）由ASA可证△BDE≌△CDA，可得BE=AC；（2）由SAS可证△CBF≌△EBF，可得∠BED=∠DAC=∠BCF，由余角的性质可得结论；（3）由SAS可证△EBP≌△CBP，可得PE=PC，则当点E，点P，点D三点共线时，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值为DE的长，由面积法可以求解．【详解】（1）证明：如图1，过点D作DM⊥BC，由题意可得：∠EDM=∠ADM，∴∠BDE=∠ADC，∵点D是BC的中点，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，∠EDB=∠ADCBD=CD∴△BDE≌△CDA，∴BE=AC；（2）∵AC=BC，∴BE=BC，∵AC=BC，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵∠EBC=90°，∴∠EBA=∠ABC=45°，又∵BF=BF，∴△CBF≌△EBF，∴∠BED=∠BCF，∵△BDE≌△CDA，∴∠BED=∠DAC=∠BCF，∵∠DAC+∠ADC=90°=∠BCF+∠ADC，∴∠CHD=90°，∴CF⊥AD；（3）在△EBP和△CBP中，EB=BC∠EBA=∠CBA∴△EBP≌△CBP，∴PE=PC，∴PC+PD=PE+PD，∴当点E，点P，点D三点共线时，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值为DE的长，∵△BDE≌△CDA，∴ED=AD，∵BD=CD，∴S△ABD∴12∴AD=5×2×1∴PC+PD的最小值为5．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．11．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC(1)如图1，若BC＝4，则S△EBC＝(2)如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，过点A作AF⊥BE于F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．求证：MF＝(3)如图3，连接BM，EM，过点B作BM'⊥BM于点B，且满足BM'＝BM，连接AM'，MM'，过点B作BG⊥CE于点【答案】(1)8(2)见解析(3)6≤AM'≤12【分析】（1）由平行线的性质可得S△AEC（2）由“AAS”可证△ABF≌△BCM，利用全等三角形的性质可得AF=BM，BF=CM，由“ASA”可证△ADF≌△CDH，利用相似三角形的性质可得（3）由“SAS”可证△CBM≌△ABM'，可得CM=AM'，由三角形的三边关系定理可求解．【详解】（1）解：∵∠ABC=90°，∴S△ABC∵AE⊥AB，∴AE∥BC，∴S△EBC故答案为：8；（2）∵∠ABC=90°=∠AFB=∠CMB，∴∠ABF+∠CBM=90°，∴∠BAF=∠CBM，在△ABF和△BCM中，∠BAF=∠CBM∠AFB=∠BMC=∴△ABF≌△BCMAAS∴AF=BM，∵AF⊥BE，∴AF∥CM，∴∠FAD=∠HCD，∵D为AC中点，∴AD=CD，又∵∠ADF=∠CDH，在△ADF和△CDH中，∠ADF=∠CDH∠FAD=∠HCD∴△ADF≌△CDHAAS∴AF=HC，∴BF-BM=CM-AF=CM-CH，∴MF=MH；（3）连接CM，如图，∵BM'⊥BM，∴∠MBM'=∠ABC=90°，∴∠ABM'=∠CBM，在△CBM和△ABM'中，CB=AB∠CBM=∠AB∴△CBM≌△ABM'SAS∴AM'=CM，∵AE∥BC，∴S△ABC∴12∴EC=18×2在△EMC中，EC-EM＜∴6＜∴6＜∴当点E，点M，点C共线时，CM最大值为12，最小值为6，∴6≤AM'≤12．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．12．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于(1)点D在边AB上时，证明：DA=FA；(2)在（1）的条件下，证明：AB=FA+BD；(3)点D在AB的延长线或反向延长线上时，探索AB，FA，BD这三条线段之间的数量关系，请画出图形并直接写出正确结论．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF【分析】（1）易证∠FBA=∠FCE，结合条件容易证到△FAB≌△DAC；（2）由△FAB≌△DAC，从而有FA=DA，就可得到AB=AD+BD=FA+BD；（3）由于点D的位置在变化，因此线段AF、BD、【详解】（1）证明：∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠FEC=90°，∴∠F+∠FCE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠F+∠FBA=90°．∴∠FBA=∠DCA．∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，∴∠FAB=∠DAC=90°．在△FAB和△DAC中，∠FAB=∠DACAB=AC∴△FAB≌△DAC．∴DA=FA．（2）∵△FAB≌△DAC，∴FA=DA，∴AB=AD+BD=FA+BD．（3）解：①当点D在AB的延长线上时，如图2．∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠FED=90°，∴∠F+∠FCE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠F+∠FBA=90°．∴∠FBA=∠FCE．∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，∴∠FAB=∠DAC=90°．在△FAB和△DAC中，∠FAB=∠DACAB=AC∴△FAB≌△DAC，∴FA=DA．则AB=AD-BD=AF-BD；②点D在AB的反向延长线上时，如图3．∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠FED=90°，∴∠EFC+∠FCE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AFB+∠FBA=90°，∵∠AFB=∠EFC，∴∠FBA=∠FCE．∵∠CAD=180°-∠BAC=90°，∴∠FAB=∠DAC=90°．在△FAB和△DAC中，∠FAB=∠DACAB=AC∴△FAB≌△DAC，∴FA=DA．∴AB=BD-AD=BD-AF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段和差等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AB=2，点P是AC边上的一动点（点P不与端点A、C重合），过点A作AE⊥BP于点D，交BC的延长线于点E(1)求证：△ACE≌(2)在点P移动的过程中，若AD=DC，试求CP的长；(3)试探索，在点P移动的过程中，∠ADC的大小是否保持不变？若保持不变，请求出∠ADC的大小；若有变化，请说明变化情况．【答案】(1)见解析(2)2-(3)不变，为135°【分析】（1）根据同角的余角相等证得∠CPB=∠DEB，根据AAS证明△ACE≌△BCP即可；（2）由AD=DC得到∠DAC=∠DCA，即可利用余角定义求出∠DCE=∠DEC，证得AD=DE，结合BD⊥AE得到BE=AB=2．再根据全等三角形的性质求得CP=CE，即可求出答案；（3）∠ADC的大小保持不变．作CF⊥BD于点F，CH⊥AE于点H，证明△CFP≌△CHEAAS，得到CF=CH，由此推出CD平分∠EDB，求出∠EDC=12∠EDB=45°【详解】（1）证明：∵AE⊥BP，∴∠DBE+∠DEB=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DBE+∠CPB=90°，∴∠CPB=∠DEB．在△ACE和△BCP中，∠ACE=∠BCP,∴△ACE≌△BCPAAS（2）解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA．∵∠DAC+∠DEC=90°，∠DCE+∠DCA=90°，∴∠DCE=∠DEC，∴DC=DE，∴AD=DE．∵AD=DE，BD⊥AE，∴BE=AB=2．∵△ACE≌△BCP，∴CP=CE=BE-BC=2-2（3）解：∠ADC的大小保持不变．理由如下：作CF⊥BD于点F，CH⊥AE于点H，如图．∵△ACE≌△BCP，∴CE=CP，∠E=∠BPC．在△CFP和△CHE中，∠CFP=∠CHE,∴△CFP≌△CHEAAS∴CF=CH．又∵CF⊥BD，CH⊥AE，∴CD平分∠EDB，∴∠EDC=1∴∠ADC=180°-∠EDC=135°，即∠ADC的大小保持不变，为135°．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，余角的定义，角平分线的判定定理，熟记全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．14．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B

(1)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1s，△ACP与△BPQ是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ(2)如图2，将“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等．(3)在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，如图3，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【答案】(1)全等，理由见解析；垂直(2)9(3)24s【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，得出结论即可；（2）由△ACP，△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，建立方程组求解后发现此时点Q的运动速度与点P的运动速度相等，与题目不符，故舍去；②AC=BQ，（3）因为Q以（2）中的运动速度92cm/s从点B出发，点P以原来速度3cm/s从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，只能是Q点绕圈追上P点，即点P比点Q多走【详解】（1）全等，理由如下：当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP与△BPQ中，AP=BQ∠A=∠B∴△ACP≌△BPQSAS∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，∴线段PC与线段PQ垂直．（2）设点Q的运动速度xcm/s，①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，9=12-3t3t=xt解得t=1x=3由于此时点Q的运动速度与点P的运动速度相等，不合题意，故舍去此种情况；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，9=xt3t=12-3t解得t=2x=综上所述，当点Q的运动速度为92cm/s时，能使△ACP与（3）∵C，D分别是AE，BE中点，AC=BD=9cm，∴AE=BE=18cm，∵Q以（2）中的运动速度92cm/s从点B出发，点P以原来速度3cm/s从点A同时出发，都逆时针沿∴只能是Q点绕圈追上P点，即点Q比点P多走BE+AE的路程，设运动时间为m秒，列方程：92解得：m=24，故经过24s，点P与点Q第一次相遇．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程和二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定、一元一次方程和二元一次方程组的运算是解题的关键．15．如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB＝DE，AF＝CD，点G是AD与BE的交点．（1）求证：BG＝EG；（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析【分析】（1）如图①，连接AE，BD，根据AF=CD，可得AF+FC=CD+FC，即AC=DF，可以证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再证明四边形ABDE是平行四边形，即可得结论；（2）如图②，连接AE，BD，根据AF=CD，可得AF-FC=CD-FC，即AC=DF，可以证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再证明四边形ABDE是平行四边形，即可得结论．【详解】解：（1）证明：如图①，连接AE，BD，∵BC⊥AD，EF⊥AD，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，∴AC＝DF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠BAC＝∠EDF，∴AB∥DE，∵AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵平行四边形ABDE的对角线AD与BE相交于点G，∴BG＝EG；（2）上述结论能成立，理由如下：如图②，连接AE，BD，∵BC⊥AD，EF⊥AD，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，∵AF＝CD，∴AF﹣FC＝CD﹣FC，∴AC＝DF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠BAC＝∠EDF，∴AB∥DE，∵AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵平行四边形ABDE的对角线AD与BE相交于点G，∴BG＝EG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．16．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2【分析】（1）根据SAS证明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的长；（2）延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，证明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，从而证得结论；（3）延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，证明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再证明∠AME＝∠1，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出∠3＝2∠1+∠2．【详解】解：（1）如图1，∵AM⊥BM，∴∠AMC＝∠BMD＝90°，∵AM＝BM，MD＝MC，∴△AMC≌△BMD（SAS），∴AC＝BD＝17．（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，∵F为BC中点，∴BF＝CF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，又∵BD＝AC，EC＝AC，∴BD＝EC，∴BG＝BD，∴∠G＝∠BDF，∴∠BDF＝∠CEF．（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，∵AM⊥BM，AE⊥BE，∴∠BEC＝∠AMC＝90°，∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，

∴△BFM≌△AHM（AAS），∴FM＝HM，∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL），∵∠FEH＝90°，∴∠FEM＝∠HEM＝12∠FEH＝45°∵∠AEB＝∠GEC＝90°，∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，∵AE＝EG，EM＝EM，∴△AEM≌△GEM（SAS），∴∠AME＝∠GME，∵∠BEM＝∠BAM＝45°，∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，∵∠3＝∠AMG+∠2，∴∠3＝2∠1+∠2．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等．17．如图1，AD//BC，DE平分（1）求证：∠DEC+∠ECD=90°；（2）如图2，BF平分∠ABD交CD的延长线于F点，若∠ABC=100°，求∠F的大小；（3）如图3，若H是BC上一动点，K是BA延长线上一点，KH交BD于M，交AD于O,KG平分∠BKH,交DE于N，交BC于G，当H在线段BC上运动时（不与B重合），求∠BAD+∠DMH∠DNG【答案】（1）证明见解析；（4）40°；（3）2【分析】（1）由题意根据两直线平行同旁内角互补，并结合角平分线的性质进行角的运算即可求解；（2）根据题意设∠ABF=x，利用角平分线的性质进行角的运算进而求出∠F的大小；（3）根据题意设AD交KG于P，进而结合角平分线的性质进行角的运算即可求解【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DE平分∠ADB，∴∠EDB=∠EDA，∴∠ADC+∠BCD=∠EDB+∠EDA+∠BDC+∠BCD=2(∠EDB+∠BDC)=180°，∴∠EDB+∠BDC=90°，∴∠DEC+∠ECD=180°-∠EDC=90°；（2）设∠ABF=x，∵BF平分∠ABD，∴∠DBF=∠ABF=x，∴∠DBC=∠ABC-∠DBF-∠ABF=100°-2x，∵∠BDC=∠BCD，∴∠BDC=1∴∠F=∠BDC-∠DBF=40°+x-x=40°；（3）设AD交KG于P，∵KG平分∠BKH，DE平分∠ADB，∴∠BKH=2∠NKH，∠ADB=2∠ADE，∴∠BAD+∠DMH=∠BKH+∠AOK+∠ADB+∠DOM=2∠NKH+2∠AOK+2∠ADE=2(∠NKH+∠AOK+∠ADE)=2(∠NPD+∠ADE)=2∠DNG，∴∠BAD+∠DMH∠DNG【点睛】此题考查几何图形角的运算，熟练掌握并结合平行线性质和角平分线的性质进行角的运算是解题的关键.18．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．（1）求证：AF＝AM；（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；（3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED【答案】（1）见解析；（2）143；（3【分析】（1）由角平分线的性质可知DF=DM，根据HL可证明Rt△AFD≌Rt△AMD；（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜4时，②当4≤t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可．（3）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．【详解】解：（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，在Rt△AFD和Rt△AMD中，DF=DMAD=AD∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）；（2）解：①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．EF=10-2t，MG=4-t∴10-2t=4-t，∴t=6（不合题意，舍去）；②当4≤t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．EF=10-2t，MG=t-4，∴10-2t=t-4，∴t=143综上：当t=143时，△DFE与△DMG（3）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，∵S△AED=12AE•DF，S△DGC=12∴S△ADE∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴AE=2tcm，CG=tcm，∴AECG=2即S△ADE∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解．19．如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以3cm/s的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以3cm/s的速度向点A运动，运动时间是ts．（1）在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；（2）在运动过程中，当△BPD≌△CQP时，求出t的值；（3）是否存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）t=43时，点C位于线段PQ的垂直平分线上；（2）t＝【分析】（1）根据题意求出BP，CQ，结合图形用含t的代数式表示CP的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP＝CQ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得BP＝则CP＝当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，CP＝∴8-3t＝解得，t=4则当t=43时，点C位于线段（2）∵D为AB的中点，AB＝∴BD＝∵△BPD≌△CQP，∴BD＝∴8-3t＝解得，t＝则当△BPD≌△CQP时，t＝（3）不存在，∵△BPD≌△CPQ，∴BD＝则3t＝解得，t=53，∴不存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．20．在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A<∠ABC，D是AC边上一点，且DA=DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请写出∠OCE和∠OAC的数量关系并说明理由；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON=∠ADB，ON与射线CA交于点N．如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系．【答案】（1）∠ECO=∠OAC，理由见解析；（2）OM=ON，证明见解析．【分析】（1）由题意可由直角三角形斜边中线的性质得出OA=OC，即∠OCA=∠A，再根据三角形的中位线定理得出OE∥AC，OE=12AD，进而得出CE=OE（2）根据题意只要证明△COM≌△AON（ASA），进行分析即可解决问题．【详解】解：（1）结论：∠ECO=∠OAC.理由：如图1中，连接OE.∵∠BCD=90°，BE=ED，BO=OA，∵CE-ED=EB=12BD∴∠OCA=∠A，∵BE=ED，BO=OA，∴OE//AD，OE=1∴CE=EO.∴∠EOC=∠OCA=∠ECO，∴∠ECO=∠OAC.（2）如图2中，∵OC=OA，DA=DB，∴∠OAC=∠OCA=∠ABD，∴∠COA=∠ADB，∵∠MON=∠ADB，∴∠AOC=∠MON，∴∠COM=∠AON，∵∠ECO=∠OAC，∴∠MCO=∠MAO，∵OC=OA，∴△COM≌△AONASA∴OM=ON.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．21．已知△ABC为等边三角形，D为直线BC上一动点（点D不与点B、点C重合）以AD为边作等边三角形ADE，连接CE.

（1）如图①，当点D在边BC上时，且点A、点E在BC同侧，其他条件不变，求证：BC=DC+CE；（2）如图②，当点D在边BC的延长线上时，且点A、点E在BC同侧，其他条件不变，请直接写出线段BC，DC，CE之间存在的数量关系，不需证明；（3）如图③，当点D在边CB的延长线上时，且点A、点E分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请直接写出线段BC，DC，CE之间存在的数量关系，不需证明.【答案】（1）见解析；（2）BC+CD=CE；（3）DC=CE+BC．【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE；（2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE；（3）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出CE+BC=CD．【详解】（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EAC∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．（2）BC+CD=CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EAC∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；（3）DC=CE+BC．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EAC∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．∵DC=BD+BC，∴DC=CE+BC.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用等知识，解题的关键是找出全等的条件证明三角形全等．22．已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D为射线BF上一动点．（1）如图所示，若DA=DC，求证：∠ABC=∠ADC；（2）在D点运动的过程中，试比较BA+BC与DC+DA的大小，并说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BA+BC<DA+DC．理由见解析.【分析】（1）在BE上取点M，使BM=BA，连接DM，可证明△ADB≌△MDB，可得DM=DC，可证得∠DAB=∠DCB，再结合三角形内角和定理可证得结论；（2）由（1）可得到DM=DC，在△DMC中，可得DM+DC＞BM+BC，则有DA+DC＞BA+BC，可得出结论.【详解】解：（1）证明：如图1，在BE上取点M，使BM=BA，连接DM，∵BF平分∠ABE，∴∠ABD=∠MBD，在△ABD和△MBD中，{AB∴△ABD≌△MBD（SAS），∴DM=DA，∠DAB=∠DMB，又∵DA=DC，∴DM=DC，∴∠DMB=∠DCB，∴∠DAB=∠DCB，∴∠ABC=∠ADC；（2）BA+BC<DA+DC．理由如下：在（1）中可得△ABD≌△MBD，∴AD=MD，AB=MB，在△DMC中，由三角形三边关系可得DM+DC＞MC，∴DM+DC＞MB+BC，∴DA+DC＞BA+BC，即BA+BC＜DA+DC.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键，在（1）中构造三角形全等是解题的关键．23．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．（1）如图1，连CF，求证：∠ABE＝∠ACF；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：AF+EF＝FB；（3）如图3，当∠ABC＝45°时，若BD平分∠ABC，求证：BD＝2EF．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．【分析】（1）先根据SAS证得△ACF≌△AEF，推出∠E＝∠ACF，再根据等腰三角形性质推出∠E＝∠ABF，即可得出结论；（2）在FB上截取BM＝CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF＝FC＝BM，AF＝AM，再证得△AMF是等边三角形，于是可得MF＝AF，即可证得结论；（3）连接CF，延长BA、CF交N，根据ASA证△BFC≌△BFN，推出CN＝2CF＝2EF，再根据ASA证明△BAD≌△CAN，推出BD＝CN，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵AF平分∠CAE，∴∠EAF＝∠CAF，∵AB＝AC，AB＝AE，∴AE＝AC，在△ACF和△AEF中，AC=AE∠CAF=∠EAF∴△ACF≌△AEF（SAS），∴∠E＝∠ACF，∵AB＝AE，∴∠E＝∠ABE，∴∠ABE＝∠ACF．（2）∵△ACF≌△AEF，∴EF＝CF，∠E＝∠ACF＝∠ABM，在FB上截取BM＝CF，连接AM，如图2，在△ABM和△ACF中，AB=AC∠ABM=∠ACF∴△ABM≌△ACF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠CAF，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠MAF＝∠MAC+∠CAF＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∵AM＝AF，∴△AMF为等边三角形，∴AF＝AM＝MF，∴AF+EF＝BM+MF＝FB，即AF+EF＝FB．（3）连接CF，延长BA、CF交于点N，如图3，∵∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，AB＝AC，∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，∠ACB＝45°，∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，由（1）的结论得：∠ACF＝∠ABF＝22.5°，∴∠BFC＝180°﹣22.5°﹣45°﹣22.5°＝90°，∴∠BFN＝∠BFC＝90°，在△BFN和△BFC中，∠NBF=∠CBFBF=BF∴△BFN≌△BFC（ASA），∴CF＝FN，由（2）题得：CF＝EF，则CN＝2CF＝2EF，∵∠BAC＝90°，∴∠NAC＝∠BAD＝90°，在△BAD和△CAN中，∠ABD=∠ACNAB=AC∴△BAD≌△CAN（ASA），∴BD＝CN＝2CF＝2EF．【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，其中第（2）小题解题的关键是在FB上截取BM＝CF，连接AM，构建全等三角形和等边三角形的解题模型；第（3）小题解题的关键是延长BA、CF交于点N，利用两次三角形全等，把证明BD＝2EF的问题转化为证明BD＝CN.24．如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，D为直线BC上一动点（不与点B、C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）求证：∠ABC=∠ACB；（2）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE；②当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由；（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数．（直接写出结果，无需写出求解过程）【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE，理由见解析；（3）20°或40°或100°【分析】（1）证明Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），即可解决问题．（2）①根据SAS即可证明；②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE；利用等腰三角形的三线合一即可证明；（3）分三种情形分别求解即可解决问题；【详解】解：（1）∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠AHB=∠AHC=90°，在Rt△AHB和Rt△ACH中，AB＝∴Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），∴∠ABC=∠ACB．（2）①如图1中，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB＝∴△BAD≌△CAE．②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE；理由：如图2中，∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAH=∠CAH，∵∠BAH=∠CAE，∴∠CAH=∠CAE，∵AH=AE，∴AC⊥DE．（3）∠ADB的度数为20°或40°或100°．理由：①如图3中，当点D在CB的延长线上时，∵CE∥AB，∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC，∵△DAB≌△EAC，∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，此时∠ADB=180°-20°-60°=100°．③当点D在BC延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°，综上所述，满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100°．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．25．如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=8cm，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以1cm/s的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止.连接AQ，交射线BD于点E.设点P(1)在运动过程中，△BQE的面积始终是△APE的面积的2倍，为什么？(2)当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BPE和∠【答案】（1）详见解析；（2）t=【分析】(1)BD为等腰直角三角形斜边上的高，根据三线合一得BD为角平分线，所以E到AB和E到BC距离相等；又△BQE的底BQ为△APE的底AP的2倍，得证．(2)∠BPE和∠BQE相等，加上BE为公共边，∠PBE=∠QBE，即有三角形全等，利用对应边相等列方程即求出t的值．【详解】解：(1)过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N,∵∠ABC=90∘，AB=BC=8cm，BD∴BD平分∠ABC,∴EM=EN∵AP=t，BQ=2t,∴S∴△BQE的面积始终是△APE的面积的2倍,(2)∵BD平分∠ABC,∴∠PBE=∠QBE,在△BPE与△BQE中∠BPE=∠BQE∠PBE=∠QBE∴△BPE≌△BQE(AAS),∴BP=BQ,∵BP=AB-AP=8-t,∴8-t=2t,解得：t=8∴t=83时，∠BPE和∠BQE【点睛】考查了等腰直角三角形，角平分线性质定理，全等三角形的判定和性质.由BD是斜边上的高得三线合一再利用角平分线性质解题是关键．26．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F（1）点D在边AB上时，试探究线段BD、AB和AF的数量关系，并证明你的结论；（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出正确结论并证明．【答案】（1）AB=A