应用概率统计课后习题答案详解

应用概率统计课后习题答案详解

习题一解答

1.设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C及其运算符号表示出来:

(1)A发生，B、C不发生；

(2)A、B不都发生，C发生；

(3)A、B中至少有一个事件发生，但C不发生；

(4)三个事件中至少有两个事件发生；

(5)三个事件中最多有两个事件发生；

(6)三个事件中只有一个事件发生.

解：⑴ABC(2)XfiC⑶(ADB兄(4)ABC^ABC^JABC

(5)ABC(6)ABCuABCuABC

2.袋中有15只白球5只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只.设Ai表示“第i次

取到白球"(i=l,2,3,4),B表示“至少有3次取到白球”.试用文字叙述下列事件:

4—

(1)4=|jAi，(2)A,⑶豆，(4)A2UA3.

/=1

解：(1)至少有i次取得白球

(2)没有一次取得白球

(3)最多有2次取得白球

(4)第2次和第3次至少有一次取得白球

3.设A、B为随机事件，说明以下式子中A、B之间的关系.

(1)AUB=A⑵AB=A

解：(1)AqB⑵AqB

4.设A表示粮食产量不超过500公斤，B表示产量为200-400公斤，C表示产量低于300

公斤，D表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事件：

(1)AB,⑵BC,⑶BUC,(4)(BUD)C,(5)ABC.

解：(1)[200,450]；(2)[200,300]⑶[0,450](4)[200,300](5)[0,200]

5.在图书馆中任选一本书，设事件A表示“数学书”，B表示“中文版”，C表示“1970

年后出版”.孙

(1)ABC表示什么事件？

(2)连什么条件下，有ABC=A成立？

(3)3uB表示什么意思？

(4)如果入=B,说明什么问题？

解：(1)选了一本1970年或以前出版的中文版数学书

(2)图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书

(3)表示1970年或以前出版的书都是中文版的书

(4)说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书

6.互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系.

（1）X<20与X220；

（2）X>20与X<18；

（3）X>20与XW25；

（4）5粒种子都出苗与5粒种子只有一粒不出苗；

（5）5粒种子都出苗与5粒种子至少有一粒不出苗.

解：（1）对立；（2）互斥；（3）相容；（4）互斥；（5）对立

（古）7.抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率.

解：0=』=）=°」25

2'o

（古）8.在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有55个，现从26个英文

字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率.

55

解：P=«0.0846

26x25

（古）9.把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？

解：首先将指定的三本书放在•起，共3!种放法，然后将7+⑴=8进行排列，共有8!种不

3861

同排列方法。故。=昔=77=77=0.067

（古）10.电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共

10个数字中的任何一个数字（不考虑电话局的具体规定），求：

（1）电话号码中6个数字全不相同的概率；

（2）若某•用户的电话号码为283125,如果不知道电话号码，问一次能打通电话的概

率是多少？

P6

解：⑴p=T=°」512,（2）p=\0-6

（古）11.50粒牧草种子中混有3粒杂草种子，从中任取4粒，求杂草种子数分别为0,1,

23粒的概律

解：P{X=k}=d4,%=0,123

（古）12.袋内放有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和

超过一角的概率.

解：设4为事件”饯额总和超过一角"，则A={两个五分其余任取3个+一个五分3个两分

一个一分+一个五分2个两分2个一分},故：P（A）=与卜2+洌+］=0.5

Cin

（古）13.10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.

解：P（A）=/［或+C；C；］,或P（A）=4+"4=2=O.53

Vx|QX\J1.V/JXJ

（古）14.求习题11中至少有一粒杂草种子的概率.

解：本题与11解法有关，即为1-P（X=0）=0.2255

(几)15.有一码头，只能停泊一艘轮船，设有甲、乙两艘轮船在0道T小时这段时间内等

可能地到达这个码头，到后都停T1小时，求两船不相遇的概率.

解：设分别为甲、乙船到达码头的时刻，A为事件“两船相遇”。则

Q={(x,y)l()<x<7',0<j<r}(A={(x,y)I|x-y|<T,}0

所求概率为P(A)=1-P(彳)=1-力卜2-(7-7[)2]=「-，_)

(几)16.(蒲丰投针问题)设平面上画着一些有相等距离2a(a>0)的平行线。向此平面

上投一枚质地均匀的长为21(13)的针，求针与直线相交的概率。

解：设x为针的中点到最近一条直线的距离为针与直线的夹角，则

Q={(x,0)10<x<«,0<(/)<TT],4={(x,°)104xW/sin°,0W°W乃},于是有

尸(A)="*)=-^―「/sin(pd(l>=^~

L(Q)a兀小a兀

17.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,求现在20岁的这

种动物能活到25岁的概率。

解：设A为该动物能活到20岁,B为能活到25岁,则Bu4,已知尸(A)=0.8,P(B)=0.4,

所求概率为

P（8IA）=

P（A）P（A）,

18.由长期统计资料表明，某一地区6月份下雨(记为事件A)的概率为4/15,刮风(记

为事件B)的概率为7/15,既下雨又刮风的概率为1/10,求产(件B),P(BIA),P(4UB)

解：由条件概率公式知

3

P⑷力篇—«0.2143

14

3

叱)=优士=0.375

8

P（A口8）=P（A）+P（B）—P（A8）='+（-'0.6333

19.为防止意外，在矿内设有两种报警系统，单独使用时，系统A有效的概率为0.92,

系统B有效的概率为0.93,在系统A失灵的条件下，系统B有效的概率为0.85,求:

(1)发生意外时，这两种系统至少有一个系统有效的概率.

(2)系统B失灵的条件下，系统A有效的概率.

解：由题意P(4)=0.92,P(B)=0.93,P(BIA)=0.85»

(1)所求概率为：P(AU8)=P(A)+P(B-A)=P(A)+P(BA)=0.92+0.068=0.988,

其中：P(BA)=P(B\A)P(A)=0.85x(l-0.92)=0.068

(2)所求概率为P(AI^)=1-P(彳而)=1-空史=l-2空=0.82857,

P(B)0.07

其中P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.08-0.068=0.012

20.100件产品中有10件次品，用不放回的方式从中每次取1件，连取3次，求第三次

才取得正品的概率.

解：设第三次才取得正品的概率为A,样本空间为A髭

所以P(A)=G^M90x10x9

«0.0083

A00100x99x98

(条件)21.在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.4；若乙机未被击落，

就进行还击，击落甲机的概率为0.5；若甲机仍未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概

率为0.6.求在这几个回合中

(1)甲机被击落的概率；

(2)乙机被击落的概率.

解：设A为甲机第一次被击落，为为乙机第i次被击落，这里A,与，的互不相容。依题义有

P(B1)=0.4,尸(Al瓦)=0.5,P(B2)=0.6

(1)所求概率为P(A)=P(AIB])P(&)+P(AI瓦)P(瓦)=0x0.4+0.5x0.6=0.3

(2)所求概率为P(BiU%)=尸(8i)+P(%),其中

P(B2)=P(B2IAB\)P(ABX)=P(B2I彳瓦)P(AI瓦)P(瓦)=0.6x0.5x0.6=0.18

故所求概率为P(BjU&)=「(当)+P(B2)=0.4+0.18=0.58

(全概)22.一个袋子中装有6只白球，4只黑球，从中任取一只，然后放回，并同时加进

2只与取出的球同色的球，再取第二只球，求第二只球是白色的概率.

解：设A为“第一次取得白球”，B为“第二次取得白球”(共4白2黑)，则

--8664

P(B)=P(BIA)P(A)+P⑻A)P(A)=——x——+—x—=0.4+0.2=0.6

12101210

23.10张娱乐票中有4张电影票，10个人依次抽签.问第一个人与第二个人抽到电影

票的概率是否相同？

解：设为为事件”第i个人抽到电影票”，则P(AI)=K

__34464

p(4)=P(414)P(4)+P(4iA)m)=-x-+-x-=-

24.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号”和"-2由于通信系统受到干扰，

当发出信号“时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信号”.”和“一”，同样,

当发报台发出信号“-”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“-”和“求

(1)收报台收到信号“.”的概率.

(2)当收报台收到信号”时，发报台确系发出信号”的概率.

解：设A,B分别为发出和接受信号彳，耳分现为发出和接受信号“一”则依题意有

P(A)=0.6,尸(W)=0.4,

P(BIA)=0.8,P(月IA)=0.2,

P(BIA)=0.9,P(BIA)=0.1

(1)所求概率为P(B)=P(B1A)P(A)+P(BIA)P(A)=0.8x0.6+0.1x0.4=0.52,

P(A8)尸(BIA)P(A)48..

(2)所求概率为P(AIB)=一——=0.923

P(B)P(B)52

25.某工厂有甲、乙两车间生产同一种产品，两车间产品的次品率分别为0.03和0.02,

生产出来的产品放在一起，且知甲车间的产量比乙车间的产量多一倍，求：

(1)该厂产品的合格率；

(2)如果任取•个产品，经检验是次品，求它是由甲车间生产的概率.

解：设A,彳分别为甲、乙车间生产的产品，B为次品，则依题义有

2-1-

P(A)=-,P(A)=-,P(BIA)=0.03,P(8IA)=0.02

33

⑴所求概率为P®)=1—P(8)=1-[P(81A)尸(A)+P(BI彳)P(彳)=0.973

⑵所求概率为尸(A⑶=迪=9=0.75

P(B)P(B)8

26.在习题20中，若第二只取到的是白球，问第一只球是白球的概率大还是黑球的概率大?

解：已知第二只球是白球的概率尸仍)=0.6

假设第一只球是白色时为事件4,第一只球是黑球时为事件&

所以「(418)=勺胃=_

P⑻0.63

又因为4,A2是对立事件，而且事件B对A,4都无影响

21

P(A21B)=l-p(A,l=-

()

PA2IB>P(A2\B)

所以第一只球是白球的概率大

27.两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.9,乙击中的概率为0.8.求

(1)目标被击中的概率；

(2)两人都击中的概率；

(3)甲中、乙不中的概率；

(4)甲不中、乙中的概率.

解：A为甲击中，B为乙击中，则A,B独立，且所求概率分别为

(1)P(AUB)=P(A)+P(B)-尸(A)P(B)=0.9+0.8-0.72=0.98,

(2)P(AB)=P(A)P(B)=0.72,

(3)P(AB)=P(A)P(B)=0.9x0.2=0.18,

(4)P(AB)=P(A)P(B)=0.1x0.8=0.08

28.加工一个零件要经过三道工序，各道工序的合格率分别为0.95,0.9,0.85,设各道

工序是否合格是独立的，求加工出来的零件的合格率.

解：设4,A2，4分别表示第一，第二，第三道工序出现的合格品，则依题意

A,,A2,A3相互独立，且P(A)=0.95,P(4)=0.9,P(4)=0.85

又设A表示加工出来的零件是合格品，则A=4C4C&

4

所以P(A)=尸(AA2A3)=尸CJ*尸(A2)xP(A3)=0.95x0.9x0.85=0.727

29.某厂用两种工艺生产一种产品，第一种工艺有三道工序，各道工序出现废品的概率为

0.05,0.1,0.15；第二种工艺有两道工序，各道工序出现废品的概率都是0.15,各道

工序独立工作.设用这两种工艺在合格品中得到优等品的概率分别为0.95,0.85.试比较

用哪种工艺得到优等品的概率更大？

解：第一道工序的合格率为0.95x0.9x0.85=0.72675,优等品率为0.72675x0.95=0.69

第二道工序的合格率为0.853=0.614125，优等品率为0.52

30.三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为工，求此密码被

534

译出的概率.

解：设A,B,C分别为甲、乙、丙三人能单独译出的事件，则A,B,C相互独立，所求概

率为

P(AU3UC)=尸(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(8)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

代入数据即可。

考虑逆事件的概率：

P(AuBuC)=l-P(AUBUC)

=1-P(A)P(B)P(C)

3

5

31.某动物的成活率为60%,现饲养5只，设各动物是否成活互不影响，求：(1)恰有2只

成活的概率；(2)至少有2只成活的概率.

解：设A为动物能成活，则p=P(4)=0.6，设X为5只中的成活数，则*~伏〃,p),其中

〃=5,p=0.6

(1)所求概率为

23

p(x=2)=(：,2(i_p)5-2=1Ox(0.6)X(0.4)=0.2304

(2)所求概率为

P(X>2)=1-P(X=O)-P(X=1)=0.913

32.某单位有12台个人计算机，各计算机是否被使用是独立的.设计算机的使用率为

0.7,求在同一时刻有9台或更多计算机在使用的概率.

解：设A为事件“计算机被使用”则p=P(A)=0.7,设X为同时使用的计算机数目，则

X~6(12,0.7),所求概率为

P(X>9)=^P2V(l-p)12-*=0.492

*=9W)

33.爱滋病普查使用一种血液试验来检测人体内是否携带爱滋病病毒.设这种试验的假

阴性比例为5%(即在携带病毒的人中，有5%的试验结果为阴性)，假阳性比例为1%(即在

不携带病毒的人中，有1%的试验结果为阳性).据统计人群中携带病毒者约占1%。，若某人

的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率.

解：设A为检查为阳性，B为携带病毒，求已知P(B)=0.001,P(才IB)=0.05,

P(AIB)=0.01,由贝叶斯法则有

P(4B)P(A\B)P(B)

P(B\A)=

P(A)P(AIB)P(B)+P(AIB)P(B)

0.95x0.001

=0.086837

0.95x0.001+0.01X0..999

习题二解答

1.五张卡片上分别写有号码1,2,3,4,5。随即抽取其中三张，设随机变量X表示取出

三张卡片上的最大号码。

（1）写出X的所有可能取值；（2）求X的分布率。

解：（1）显然是：3,4,5。

解：抽取n件产品的抽法有种，抽取到次品的抽法有种，所以所求概率为:

「k「n-k

P(X=k)=LN-M,k=0,1,2,3,

C"N

4.设随机变量X的分布律为P=燮=口="，k=l,2,3,4,5.

求：(1)P{X=1或X=2}；(2)P{-<X<-};(3)P{1<X<2}.

22

121

解：(1)P{X=1或X=2}=P{X=1}+P{X=2}=一+—=一。

15155

(2)P{-<X<-}=P{l<X<2}=P{X=1}+P{X=2}=-+—=-»

2215155

1?1

(3)P{1<X<2}=P{X=1}+P{X=2}=-+—=-o

15155

5.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品。从该批产品中每次任取一件，在下列两种

情况下，分别求直至取得正品为止所需次数X的分布律。

（1）每次取后不放回；（2）每次取后放回。

73x773x2x77

解：(1)P(X=1)=而,尸(X=2)=P(X=3)=

10x9-30,10x9x8-120?

X1234

7771

p

1030120120

(2)p{x=%}=\岛)(Z=l,2,…)

6.某射手每发子弹命中目标概率为0.8,现相互独立地射击5发子弹，

求：（1）命中目标弹数地分布律；（2）命中目标的概率。

解：（1）设X为命中目标的弹数，则其分布律为

P{X=K}=C；（0.8），（0.2片，（k=0,1,2,3,4,5）.

（2狂{命中目标}=1丁燮=0}=1—。；（0.8）°（0.2）"°=0.99968

7.设随机变量X服从泊松分布P(2),且P{X=1}=P{X=2},求P{X=4}.

J1J2

解：由P{X=I}=P{X=2}得：一e"=——e〃解得：几=2或;l=o(舍弃)。

1!2!

24?

故：p{x=4}=—e-2=-e-2

4!3

8.设随机变量X的分布律为：

(1)P{X=k}=—,k=l,2,.....N

N

瞪

(2)P{X=k}=a一,k=0,1,2,......

k!

试确定常数a

Na

解：(1)由ZP{X=&}=1得：N*一=1,解得：a=l

k=\N

了00#

(2)由ZP{X=Z}=1得：解得：a=e-“

k=0k=0k，

9.某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响。如果每台设备发生故障得概率是0.01

且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故

障但不能及时维修的概率小于0.01(利用泊松定理近似计算)。

解：设X为发生故障设备得台数，则*~8(100,0.01)“P⑴，即X近似服从参数为2=1的

Poisson分布。设设备需要N个人看管“才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率

小于0.01”，则

811

P(X>N)=Z—e<001

k=N*1k]

查表得N25

10.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ce-H(-8<x<+8),求:

⑴常数c;(2)X落在区间(0,1)内的概率；⑶P{|X|N5}

30X)

£f(x)dx£f(x)dx+£f(x)dx=1

即：^cexdx+^ce-'dx^\,ce'R-ce-fl,解得：C=g

(2)P{0WX41}=1/(x)dx=(ge-'dx=F

⑶P{|X|N5}=P{X4—5或XN5}=£f{x}dx+「/(x)dx

=\5—exdx+「L7dx=e-5

上262

CXXG(01)

11.设随机变量X的密度函数为/(x)=1，二二，求

0,其他

(1)常数c;(2)P{0.3<X<0.7};(3)常数a,使得P{X>a}=P{X<a};(4)常数b,使得

P{X>b}=0.64;(5)X分布函数。

解：⑴£f(x)dx^J^Odx+j^cxdx+j^Odx

=|Qcxdx

=1

所以，解得

C=2

(2)P{0.3<X<0.7}=2xdx

=/1°7

人10.3

=0.49-0.09

=0.4

⑶由P{X>a}=P{X<a}得:

当a<0时

P(X<a)=f(x)dx=0,P(X>〃)=jf(x)dx+[2xdx=0+1=1,

当a>l时，P(X>a)=0,P(X<a)=I

故，a不可能小于0或大于1；

当0<aWl时，，

P{X>〃}=1f(x)dx=|2xdx=l-a2,P{X<a}=f(x)dx=12xdx-a2

所以，1一。2=〃2,即得：a=J

2

(4)山题设可知，b的取值范围为：OWbWl

"8HC

P[X>/?}=j/(x)dx=]2xdx=l-h2=0.64,所以b=0.6

1

(5)当*<0时，F(x)=O；当OWxWl时F(x)=^Ixdx-^2xdx-x

当x>1时，F(x)=^Ixdx-^xdx-1

0,x<0

F(x)=<x2,0<x<1

1,x>1

12.解：

由题设可知，把X的分布函数的取值范围分为四段:

当xWT时，F(x)=O；

当T<xW0时，F(x)=—；

6

当0<xW1时，F(x)=—+—=—

632

当x>1时,F(x)=1

0,x<-\

-l<x<0

F(x)=<：

0<x<l

2，

1,X>1

13.解：

(1)P{X<2}=F(2)--1-e-2=0.8647；

P{X>2}=1-P{X<2}=1-0.8647=0.1353；

(2)设X的密度函数为f(x).

当X<0时,f(x)=F(x)=0；

当X'0时，f(x)=b'(x)=(l—eT)'=eT；

f(x)=Je,x>0

0,x<0

14.解：

TT

(1)lim(A+Barctanx)=1；即：A+—8=1①；

XT+ce2

JT

lim+Barctanx)=0；即：A---5=0②；

Xf-00?

由①②式得：A=—，B=—

2兀

11111

万

+X万X

(2)P{-1^X<1}=F(1)-F(-1)=2--4-2--4-2-

万

万

(3)X的密度函数：

f(x)=Fr(x)=(—+—arctanx)z=—.-----

27171l+x

/(X)=-------—，(-oo<x<+co)

乃(1+厂)

15.解：当x<—]时，F(x)==0；

当时，F(x)=J(-^cosx)dx=j*(-cosx)dx=-[sinx][=-(sinx+1)

22

TT(—cosx)dx=£(，cosx)dx=—[sinx]2^=1

当x>一时，F(x)=

2

22

71

1X>—

2

；(sinx+l)

：.F(x)=<---«尤W-

22

冗

0x<——

2

图如下:

题15的图:

16.解:

+00

M-oo8.£X

—X

⑴由/(x)dx=l得，ceedx=-c6e(一二)=-cdee=c®=l

J-00e

o

所以，c=L

0

1----1

(2)因为P{X>a}=l-P{X<a}=l--e°dx=e°=-

J)e2

所以，a=-01n-=01n2

2

17.解：设乘客候车时间为X分。山于乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，且公共汽

车每隔5分钟通过车站一次，所以，X在区间［0,5］内均匀分布。所以X的密度函数为

1

-

5，

/3)=<

其

a他

=口'=*6

所以，乘客候车时间不超过3分钟的概率为:F(x)

18.解:

因为X在卜2,5］上服从均匀分布，所以，X的密度函数为：/(x)=〈7'

.0,其他

而要方程4〃2+4〃X+X+2=0有实根，则要求△=16X2—16(X+2)N0,即得：降

T或X22

即，方程有实根的概率为：P{XWT}+P{X22}=f-Jx+

Y_7

19.解：-^-~N(0,l)

1-2

(1)P{X>1}=1-P{XW1}=1-①(谪)=1—①(—3.33)=①(3.33)=0.9996

2)

1?-2-1-2

P{-1<X<1.2}=P{X<1.2}-P{X<-1)=0(-——)-0(-----)=O(-2.67)-0(-10)

①(10)-①(2.67)

1-0.9962

0.0038

20.解:

(1)P{〃一&(r<X<//+左cr}=①(&)一①(一左)=20(&)-1=0.8,所以①(£)=0.9

查表可得：k的最大取值为：k=1.28

(2)P{X>〃+攵。}=1—P{X<〃+kb}=l-①(4)=095,所以①(―Z)=0.95

查表可得：k的最大取值为：k=-1.65

21.解：

由题设得：P{X>c}=l-P{XWc}=P{XWc},即：P{X〈c}=]1,即：①(c三-3)=51

查表得：纥^=0,所以c=3

2

X—5000

22.解：(1)y=----------N(o,l)

cr

5500—5000、^4500-5000

P{4500<X<5500}=P{X<5500}—P{X<4500}=0(--------------)-0)(---------------)

<TCT

不,500、小/500、.小,500、,,、c

=0(----)—中(-----)=20(-----)—1=0.9

aaa

即：0(——)=0.95；查表并计算得：<7=303

(T

(2)

P{X24000}=l-P{X<4000}=1-包竺叱色史)=1-中(-3四)=<1)(他2)=0.95

<7<7(J

查表并计算得：cr=606

23.解：要该种配件是合格品，那么，该配件的长度X的范围应该在：9.93WXW10.17(单

位：cm)

所以，生产该种配件是合格品的概率为：

P{9.93<X<10.17}=P{X<10.17}-P{X<9.93}=^10-17-10-05)_①(9.93-10.05)=①⑵一①(-2)=20(2)

0.060.06

查表得：①(2)=0.9773,所以概率为:0.9546

24.解:

X

-2一一024

2

X+2

0-246

2

1-X

3-1-1-3

2

X2

4-0416

4

p_L1J__LJ.

84863

25.解：因为Y=l-X是严格单调的函数，所以：

2

当0<y<l时，即，0<x<l时，fY(y)=fx(l-y)|(l-y)'\=3(1-y)

当Y为其他值时，即，X在区间(0,1)外时，fy(y)=/x(l-y)|(l-y)1=0

所以：Y=i—X的密度函数为:

3(1-y)20<y<1

八(》)=,

0其他

或:

解Y=l-X的分布函数4(y)为

Fy(y)=P(Y<y)=P(l-X<y)=P(X>l-y)

=l-P(X<l-y)=l-Fx(l-y),

其中Fx。)是X的分布函数，它满足

F'x(x)=")=fx(x)，

ax

而

3(l-y)20<y<1

/y(>')=_Fx(1_>')]=/x(1-y)=•

ayay0其它

26.解：

(1)山题设可得:

150—50、-150-50,

P{|X|<150}=P{-150<X<150}=0(--------)一①(---------)

100100

=①⑴+①⑵一1=0.8413+0.97725-1

=0.81855

(2)由(1)可知误差的绝对值不超过150cm的概率为:p=0.81855

那么在三次测量中至少有一次的概率：l—Cfp°(l—p)3=1—(1—0.81855)3=0.9940

(3)由题设可得:P{X>0}=l-P{X<0}=1-0(--)=0(0.5)=0.6915

习题三解答

1：设二维随变量(X,Y)只能取下列数组中的值：(0,0),(-1,1),(-1,1/3),(2,0),

且取这几组值的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12。求此二维随机变量(X,Y)的分布列。

解：此二维随机变量(X,Y)的分布列是：

01/31

-101/121/3

01/600

25/1200

2.一袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3。从这袋中任取••球后，不放回袋中，

再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X,Y分别记第一、

二次取得的球上标有的数字，求(X,Y)的概率分布。

解:由题意得：(X,Y)的可能取值为：(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),

(3,2)。

则由概率的乘法公式得:P{X=1,Y=2}=(l/4)X(2/3)=1/6

P{X=1,Y=3}=(l/4)x(1/3)=1/12

P{X=2,Y=1}=(2/4)x(1/3)=1/6

P{X=2,Y=2}=(2/4)x(l/3)=l/6

P{X=2,Y=3}=(2/4)x(1/3)=1/6

P{X=3,Y=l}=(l/4x(1/3)=1/12

P{X=3,Y=2}=(1/4)x(2/3)=1/6

而事件(1,D,(3,3)为不可能事件,所以P{X=l,Y=l}=0,P{X=3,Y=3}=0。

则(X,Y)的联合分布列为：

123

101/61/12

21/61/61/6

31/121/60

3在--个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考

虑两种试验，(1)有放回抽样，(2)无放回抽样，我们定义随机变量X,Y如下

v[0表示第一次取出的是正品

u表示第一次取出的是次品

”[0表示第二次取出的是正品

1表示第二次取出的是次品

解：（1）所求联合概率分布为:

01

X\

25/365/36

0

5/361/36

1

（2）所求联合概率分布为:

X