2023年高考数学大招2中值模型

大招2中值模型

大招总结

选择，填空题经常遇到求函数最大值和最小值之和的情况，某些函数的单调性不

好轻易判断，求导也不好处理，但若细心观察，利用中值模型可快速解答.

中值模型：若/(X)为奇函数，g(x)=/(x)+a(a为常数)，则

g(x)+g(-x)=2g(0)=2a.

证明：g(x)+g(-x)="(x)+a]+"(-x)+a]=[f(x)+/(-x)]+2a=2a.

典型例题

例1.若函数f(x)=ax3+hx+l(a,b是常数)满足/(2()16)=13,则

/(-2016)=

解因为函数gM=ax3+bx是奇函数，所以由奇函数的性质可得

/(2016)+/(-2016)=2.又/(2016)=13,所以/(-2016)=-11.

例2.函数/(幻=吐普担在[-m,m](m>0)上的最大值与最小值之和为

e11+1

解方法产sin尤

已凶+1

可得⑺.”券是奇函数，且函数冢幻在5,啾加>。)上

的最大值、最小值之和是0,所以函数f(x)在[-m,m](m>0)上的最大值

与最小值之和为2.

e°—sin04-1

方法2:八。）=^-=1,2〃。）=2.

例3.若函数m=l+—+sinx在区间…]伏>。)上的值域为例"

则m+n等于()

A.0B.1C.2D.4

解方法

2V+I2222

1:fix)=1H------Fsinx=3--------Fsinx,f(-x)-3---------Fsin(-x)=3--------sinx,

T+12A+12-*+11+2'

：.f(x)+f(-x)=4,所以/(x)是以点(0,2)为对称中心,所以其最大值与最

小值的和，〃+〃=4.故选D.

方法2:/(0)-2,m+n-2/(0)=4.

例4.已知函数/(》)=/+想卜+77万)，若〃a)=M,则/(-«)等于()

A.2a2-MB.M-2a2C.2M-a2D.a1-2M

解：

/(x)=x2+,:.f(a)=M=a1+lg[a+刁,f(-67)—cr+1g(—a+JcT+1)

/(«)+f(-a)=la1,故/(-«)=2a1-M.故选A.

1

z_|L—1L.'H.-72009,+2007.AA目]./士

例5.已知A>0,设函数f(x)=-------------•+sin_x(xe[-a,aD的最大值

2009+1

为M,最小值为N,那么M+N=()

A.0B.2008C.4016D.4017

2009'+1+200720091+1+2007

方法1：/(x)=+sinx,设g(x)=则

2009'+12009,+1

,、2009v+,+2009-2”,、c2

g(x)=-----------------=2009-----------,

20091+12009'+1

因为2009'是R上的增函数，所以g(x)是R上的增函数.函数g(x)

在［-«,«］上的最小值是g(-a),最大值是g(a).

函数sinx是奇函数，它在［-a,a］上的最大值与最小值互为相反数，最大值

与最小值的和为0.

所以函数/(x)的最大值M与最小值N之和

2

M+N-g(a)+g(-a)-2009-+2009-荻U如8—(京+翥=

2009"+1

22x2009"、

=4018—+

、2009"+l1+2009",

=4018-2=4016.

故选C

方法2:2/(0)=4016.

如果要说其原理,我们可以这样解释:

4、2009'+|+2007.

f(x)=-------------------------Fsinx

2009*v*+l

A(2009'+1)+5(2009'—1)

+sin%(待定系数法求出A和3)

2009'+1

2008(2009'+1)+(2009J1)

+sinx

2009'+1

2009v-l.“c。

-----------------i-sinJC+2008

2009x+1

X

纱2009」-1和吊了都是奇函数，/(x)符合奇函数+常数模型，二

-2009'+1

m+n=2/(0)=4016.

例6.若关于x的函数/⑴J-+sin%>0)的最大值为M,最

x+t

小值为N,且M+N=4,则实

数t的值为_____

解方法1:由题意，/(幻=4+2可』m"=/+2”：211”,

显然函数g(x)=2x.nx是奇函数，

x+t

*/函数/(%)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,

：.M-t=-(N-t),即2t=M+N=4,.-.t=2.故答案为2.

方法2:M+N=2/(0)=2t=4".f=2.

例7.函数f(x)=x5+ax3+hx-S,并且满足/(nz)=1(),(其中a、b、m

为常数)，则/(-〃?)=

解•••函数

553

f(x)-x+or3+ZZ¥-8,「./(-x)--x-ax-Z?x-8,/./(x)+/(-x)=-16,*/

/(m)=10,.\/(-m)=-26.故答案为-26.

自我检测

1.若关于X的函数/~⑴=必2*+201%,0)的最大值为M,最

x+t

小值为N,且M+N=6,则实数t的值为____

答案3.

2254

也宝将，/、rx+2x+r+2018x,n.13n后一、x(2+2018x)

解：函数/(%)=-------弓-------------(/>0),即有/(幻=/+二---------工

厂+，t+x

x(2+2018x4)2+2018/

设g(x)=----------j-----,g(-x)=-X----------j-=—g(*)，

t+xt+x-

可得g(x)为奇函数，即有g(x)的最大值S和最小值s互为相反数，

M+N=(S+f)+(s+/)=6,即有2/=6,解得r=3.故答案为3.

2.已知函数/(x)=In(Jl+9f-3x)+1,则/(lg2)+/[g£|=

答案2

解函数/(x)=lg(Jl+9f-3x)+1,则/(1g2)+/|^lg=/(1g2)+/(-1g2),

令F(x)=In(71+9X2-3xj,F(-x)=In(71+9?+3x),F(x)+F(-x)=0,

尸(x)=In(Ji+9f_3x)=f(x)一1是奇函数，A/(lg2)-l+/(-lg2)-l=0,，

/(lg2)+/(-lg2)=2,即/(lg2)+/(lgg)=2.故答案为2.

3.设函数八所铝产的最大值为M,最小值为〃，,则

答案2

2

ARA,“、(JC+1)2+xx+l+2x+x,3x

解已知函数/(x)=-~S——=------------=1+——.

x2+lx2+l1+xr2

3Y

令g(x)=——,用于g(x)=-g(-x),故函数g(x)为奇函数,

X+1

记g(x)的最大值为4,最小值为B,则A+5=(),而由于

/(X)a=M=l+g(X)m,x=1+4同理/(X)min=N=l+g(X)mE=l+6,故

M+N=(l+A)+(l+8)=2+A+B=2.故答案为2.

4.已知函数/⑺J+102X+1,若/(幻=2,则f(_a)=

r+13

答案9

3

h.71，/、人-+102%+1102Xrn.l//、]I02X访婀T•

解f(x)=----X-----=l+-5-,则/(x)-1=-Z—是奇函数，••

X+\X+\X+1

744

/(-a)-l=4/(a)-l],即f(-a)=-f(a)+2=-j+2=^.故答案为

5.已知函数/(x)=2x2+si?20]3x+4(xwR)的最大值为M,最小值为明

/+2

则M+m的值为

答案4

解fM=-------=-----=2+.2c，令g(x)=—「一，则

x+2x+2x+2

g(-x)=-g(x)，

函数g(x)为奇函数，图象关于原点对称，最大值与最小值也关于原点对

称,即函数g(x)的最值的和为0,；.M+m=2+g(X)min+2+g(X)max=4.故

答案为4.

6.已知函数/(x)=/+；°sx—Sinx+1(―R)的最大值为最小值为

X+COSX+1

m,则M+m=

答案2

・・“、+cosx4-l-sinx〔sinxsinx

•f(x)=----2-------：——=1―-2--------令g(x)=

X+COSX+1JT+COSX+1X2+COSX+1

则g(x)=1-fix'),g(-x)=-~丁-------=-g(x),

(-x)+cos(-x)+l

...函数g(x)为奇函数，图象关于原点对称，最大值与最小值也关于原点对

称，即函数g(x)的最值的和为0.V

f(x)=1-g(x),：.M+m=\-5(x)min+1-g(x)max=2.故答案为2.

7.已知函数/(x)=ln(x+Ji77)+QB在区间[-攵,%](%>0)上的最大值

为M,最小值为m,则M+m=___

答案4

解；g(x)=lg(x+Jl+x2)是奇函