2023年高考数学第30讲怎样求二面角

第30讲怎样求二面角

一、知识概要

1二面角的定义

在二面角的棱上任取一点，以这点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射

线所成的角叫作二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角来度量，二面角的范围是［0,句.

2求二面角的基本解题思路先找平面角，转化为求线线角,或通过两个半平面的法向量的夹角，再

求夹角的补角.

二、题型精析

【例】1(1)己知点E,尸分别在正方体ABCQ-A5C,A的棱切不CC,上，且=

，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.

(2)在三棱雉P—43C中均为等边三角形，且A8LBC,则二面角A—PC—3

的余弦值为().

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二面角的求解，最为基本的方法有定义法、垂面法、三垂线定理法.解题目标都是作出其平面

角，将空间二面角化为平面线线角问题来求解。解题的步骤是“一作，二证，三求第(1)问,是无棱

二面角问题，可通过补成有横二面角来解,或者运用向量坐标法(正方体很容易建立空间直角坐

标系)和面积射影公式cos。=潍来解。第(2)问，可直接运用定义法解.

S截面

【解】⑴如图3-33所示，延长相交于点G联结AG.设正方体的棱长为3,则

GB=8C=3.作8H1.AG于“，连接EH，则ZEHB为所求二面角的平面角.

BH=—,£B=l,.'.tanZEHB=—.

2BH3

图3-33

(2)如图3-34所示，取4c的中点O,PC的中点D.联结OP,OB,OD,DB,

设A5=2,由条件可知PA=PC=2,AC=2®:.PAIPC,

OP=LAC=O=0C.;.0D工PC,又BDLPC

2

故ZBDO是二面角A-PC-B的平面角，

在，BOD中，由08=0,00=1,3。=百.

得NBOD=90°,cosNBDO=—==—.

BD坦3

/T

二面角A—PC—8的余弦值为5故选B.

图3-34

【例】2(2019年高考数学全国卷理科第18题)如图3—35所示，直四棱柱ABC。一44GR的

底面是菱形,AA=4,A8=2,ABDA=60°,及M,N分别是BC,8片，4。的中点.

⑴证明:MN//平面GE。；

(2)求二面角A-M4-N的正弦值

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第(1)问，可以用立体几何法，即证明直线与平面内的一条直线平行，从而证明直线与平面

平行；也可以运用空间向量证明.第(2)问，可以运用三垂线法或射影面积法；也可以建立空

间直角坐标系，利用两平面法向量夹角的余弦值求二面角的正弦值.

图3-35

【解】Q)【证法一】如图3-36所示，联结80,ME.

M,E分别为BB},BC的中点,ME//B,C,且ME=(用。

又•4。为4。的中点，=

由题设知〃DCA4=DC,可得B\CHA、D,4C=AQ,故ME//ND,ME=ND.

因此四边形政VDE为平行四边形,M/V//ED,又肱Vu平面CQE,

.•.州//平面。。£

图3-36

【证法二】由已知可得Z)E_LDA.以。为坐标原点,D4的方向为x轴的正方向的方向为

y轴的正方向,DR的方向为z轴的正方向，建立如图3-37所示的空间直角坐标系。-孙z，则

A/(1,V3,2),;V(1,O,2),E(O,V3,O).

NM=(0,G,0),DE=(0,6,0).因此NM=DE.:.MNIIED.

又":MN<z平面C、DE,EDc平面C}DE,:.MN//平面CQE.

图3-37

(2)【解法一】(向量坐标法)由已知可得以。为坐标原点,OA的方向为x轴正方

向，建立如图3-36所示的空间直角坐标系。-孙z.

则42,0,0),A(2,0,4),M(1,瓜2),N(l,0,2),

AA=(0,0,T),AM=(-1,V3,-2),4N=(T,0,-2),MN=(0,一百,0)

设根=(x,y,z)为平面A{MA的一个法向量，则

m\M=0,\_x^y/jy_2z=0^

$<.•.<$

m-AiA=0,[-4z=0

可取机=(6,1,0).

-石4=0,

设〃=(p,q,r)为平面AMN的一个法向量，则《

-p-2r=0.

n-A}N=0

可取万=(2,0,—1).

工日/八rn-nV15

于是cos<m,n)=------=-----尸=----

I回利2x455

二面角A-MA.-N的正弦值为普.

【解法二】(定义法)由题意有GCJ■平面ABCD

:.CiCIDE.OBC为等边三角形,.♦.DELBC.

又8。©6=。,.・.。后_1_平面80。由，即。6_1平面4。％作47，人]£),垂足为，,如

图3—38所示，则。ELAH.

又aOnDE=A”J_平面A.MED.

22

在44加4中,・.・A,M+AMAMJ.A|M

联结.由三垂线定理可知,HM±A,M.

.〔NAMH为二面角A-MAt-N的平面角.

在&AAQ中，由ga»AA|=gAZZAH,解得竽.

又4M=AB2+BM2=2-J1,

：..sinAAMH=~=^-，故二面角A-必-N的正弦值为叵

图3-38

【解法三】（射影面积法）如图3-39所示，取你的中点P,连接PM,PN.作NQLPM,垂

足为Q,联结AQ•易证得A%_L平面PMN,A4,LNQ.

又NQLPM,A4,2何二冷二池,平面片4股.

“AMQ是-4MN在平面A4W上的射影。

s

设二面角A-MA.-N的平面角大小为6,则cos0=—

S.A\MN

易求得AP=2,PM=2,PN=l,:.AM=2>/i，AN=布.

易知ABD是等边三角形，:.BF=6,MN=布.

由勾股定理逆定理得ANJLMN,PN1MN.

MN23

在Rt.PMN中,由射影定理得〃。=需-=：.

3^二户竺=巫.."=中？=巫

S.A,MN2.XMQXA|N55

/.二面角A-MA.-N的正弦值为半.

图3-39

方法提炼

求二面角的方法主要有下列几种.

1定义法

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，在相应的平

面图形（通常是三角形）中计算求出.

2三垂线法

已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角,在直角

三角形中计算求出.

3垂面法

已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面

角，二面角的平面角所在平面与棱垂直.

4射影法

5平移法

由平行平面的性质可知，如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么这两个平行平面与第三

个平面所成的二面角相等或互补，因此，当所求二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平

移二面角的某一面到适当位值,以便作出其平面角.

6向量法

建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量,然后代人向量夹角公式求出两法向量的夹

角夕则两个平面的二面角的平面角为（万-。）或夕

用向量法求二面角e的公式为:।cos。i=，湍（4,为分别为两个平面的法向旺）.

对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法.

三、易错警示

【例】1直三棱柱—的侧棱A4,=6，底面=A3。是以NACB为直角，且

=AC=1的等腰直角三角形.求二面角A-A.B-C的余弦值.

错解:如图3-40所示.过点A作AE_LA/于点E,联结$CE$，则

ZAEC是二面角A-AtB-C的平面角.

8C=AC=1,NACB=-AB=4i

2

于是％B=亚,AE=^：=我.

V55

ABC-ABC为直三棱柱,BC±AC,则BCJ■平面A&GC.

1x22石

.•.BC±A,C,A4,=4i,AC=\,:.A,C=2,CE

二跖=可

3()4,

+1

+…AE2+CE2-AC2255~5>/6

在LAEC中,cosZAEC=-----------------------

2AECEcV3026一24.

2xx

55

sr

因此，所求二面角A-4B-C的余弦值为、一.

24

图3-40

【评析及正解】

上述解法中对二面角的平面角的作图和判断都是错误的，作出AE，但不能证明

2尺/on

CE±A、B.事实上，当CE=-y-,AE=七一,AC=1时CE?+AE2丰AC2，因而$CE$VA.B

不垂直.显然,ZAEC不是二面角A-A.B-C的平面角，而通过平面角求二面角的关键是正确作

出二面角的平面角.

正确的解法如下：

【解】如图3-41所示，过点。作CE_LAB于点E,过点E作EF_L于点E,联结CF.

CEJ.A8,CE_L平面,于是CE_LA/.

又知EF±AQ,则AB，平面EFC.：.ZEFC是二面角A-A.B-C的平面角.

容易求出CE=也,CF=4叵，EF

2510

而

.•.在-EFC中,cosNEFC=£^=}=业

CF2石4

5

图3-41

【例】2如图3-42所示.边长为2的正方所在平面与半圆弧CO所在平面垂直,M

是C。上异于C,£>

(1)证明：平面4WD_L平面8MC;

(2)当三棱锥M-ABC的体积最大时，求平面与面MCD

【错解】(D略

(2)以。为坐标原点,D4的方向为x轴正方向，建立如图3-43所示的空间直角坐标系

D-xyz.当三棱雉ABC体积最大时，〃为CO的中点.由题设得

D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),

C(0,2,0),M(0』,1),AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)

设〃=(x,y,z)是平面MAB的法向量，

n-AM-0,f-2x+y+z=0

则《即1)可取”=(l,0,2).D4是平面MS的法向量，因此

n-AB=0,、2y=0.

/八八n-DAy/5

cos(n,DA)=--------=——.

\n^DA\5

平面MV?与平面$乂©口$所成二面角的余弦值是书.

(或错解】为:取法向堇n=(-1,0,-2)，则cos〈〃,Di〉==--.

\n\\DA\5

平面$MAB$与平面$MCD$所成二面角的余弦值是-

5

图3-42

【评析及正解】

上述错解一是将求二面角的正弦值误认为是求二面角的余弦值，二是没有注意到该二面角是一

个锐角，而直接利用了两个向量所夹的钝角的余弦值.

正确的解法如下：

【解】⑴由题设知，平面CMDL平面ABCD,交线为C”

B±CD,BCu平面A3CD,，平面GWD,故BC±DM.

M为CD上异于C,。的点，且$DC$为直径,二DM±CM.

又BCCM=C,：.DM±平面BMC,而DMu平面$AMD$,故平面平面BMC

(2)以O为坐标原点,DA的方向为x轴正方向.建立如图3-43所示的空间直角坐标系D-xyz.

当三棱雉M—ABC体积最大时,M为。。的中点.

由题设得0(0,0,0),42,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),W(0,1,1),AM=(-2,1,,

1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)

设"=(x,y,z)是平面$MAB$的法向量，

则《即J-2x+y+z=(),?/?EEj(1,

n-AB=0,1

DA是平面$1\«^$的法向量，因此cos〈〃,DA)=-DA=—，即sin〈〃,D4〉=述

|55

2

平面MAH与平面MCD所成二面角的正弦值是-y-.

M

AB

图3-43

四、难题攻略

【例】（2017年高考数学全国春I理科第19题）如图3-44所示，四棱雉尸—A8CD中，侧面

PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB^BC^-AD,ZBAD=ZABC=90°,E

2

是？£）的中点，（1）证明直线CE//平面

（2）点M在棱PC上,且直线BM与底面A8CD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦

值.

图3-44

【破难析疑】

第（1）问，取勿的中点F,连接EE,3广;，利用条件证明四边形BCE尸为平行四边形，进而得到

CE//BF,证出直线CE//平面以8.第（2）问，可考虑用向量坐标法，以A为坐标原点，

他的方向为x轴的正方向，,可为单位长，建立空间直角坐标系.分别求出平面M钻与平面

丽的法向量，进而求出二面角的余弦值。用向量法求二面角的大小时，需要注意的是，二

面角是锐角还是钝角由图形决定。由图形知二面角是锐角时，若〃分别是二面角。-/-4两

个半平面a,尸的法向量，二面角的大小为6,则以）$。=已曰，由图形知二面角钝是角时，则

cos。=-匕码.当图形不能确定时，要根据向量的坐标在图形中湿察向量的方向，从而确定二

闷间

面角与向量4，”的夹角是相等（一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的怯向量指二

面角的外部)还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部),这是利用向量法求二面角的

难点,也是易错点，

【解】⑴【证法一】(立体几何法)如图3—45所示，取R4的中点F,联结EEBF.

,E是的中点,EF//A。,EF=L,由ZBAD=AABC=90°,得BC//AD.又

2

8C=工AD,EF_L15C,四边形8CE尸是平行四边形,CE//8E,

2

又BFu平面PAB,CE仁平面$PAB$，故CE//平面PAB.

111

【证法二】(纯向量法)CE=C3+3P+PE=—D4+3尸+—PO=—(尸。+D4)

222

1­.一

+BP=-P4+3P,又CE仁平面故直线CE//平面

2

图3-45

⑵【解法一】定义法取的中点。联结PO,则PO_L平面458,.•.平面POCJ•平面

ABCD.过点/作用M'_LOC,垂足M',则MM'，平面A8CD,联结BM，则ZMBM'为直线

BM与底面ABC。所成角.

设==x，则=8"=x.

在，BCM'中,CM'=Vx2-1，在ZPOC中，幽-=W-,即&二1=4,得》=逅.过点

POCO1V32

M'作GM'lAB，垂足为G.联结MG.

则NMGM'为二面角"一A3—D的平面角.

cosZMGM=马-=1^=巫.故二面角加—45-£)的余弦值为叵.

GMV1055

2

【解法二】(向量坐标法)由已知得84J_AD.以A为坐标原点,AB的方向为x轴正