高考数学一轮复习 第五章 平面向量 课时达标检测（二十三）平面向量的概念及线性运算 文-人教版高三数学试题

课时达标检测（二十三）平面向量的概念及线性运算[小题对点练——点点落实]对点练(一)平面向量的有关概念1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模 B．不共线C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的____________条件．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故q⇒/p．∴p是q答案：充分不必要对点练(二)平面向量的线性运算1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b,则eq\o(BE,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,2)b－a B.eq\f(1,2)a－bC．－eq\f(1,2)a＋b D.eq\f(1,2)b＋a解析：选Ceq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a，故选C.2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：选B由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋2λ－1b)).整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).3．(2018·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝eq\f(1,3)AB，BQ＝eq\f(1,3)BC.若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(PQ,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b B．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b D．－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b解析：选Aeq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，故选A.4．(2017·郑州二模)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝eq\f(1,2)DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))，则()A．m＋n是定值，定值为2B．2m＋nC.eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值为2D.eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值为3解析：选D法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))可得eq\f(AC,AN)＝eq\f(1,n)，所以eq\f(AE,EM)＝eq\f(AC,CN)＝eq\f(1,n－1)，由BD＝eq\f(1,2)DC可得eq\f(BM,ME)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(AM,AB)＝eq\f(n,n＋\f(n－1,2))＝eq\f(2n,3n－1)，因为eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，所以m＝eq\f(2n,3n－1)，整理可得eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3.法二：因为M，D，N三点共线，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋(1－λ)·eq\o(AN,\s\up7(→)).又eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝λmeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－λ)·neq\o(AC,\s\up7(→)).又eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→)).比较系数知λm＝eq\f(2,3)，(1－λ)n＝eq\f(1,3)，所以eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3，故选D.5．(2018·银川一模)设点P是△ABC所在平面内一点，且eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝2eq\o(BP,\s\up7(→))，则eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PA,\s\up7(→))＝________.解析：因为eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝2eq\o(BP,\s\up7(→))，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PA,\s\up7(→))＝0.答案：06．(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则eq\f(x,y)的值为________．解析：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λx－y＝1，,λx－2y＝－2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,λ)，,y＝\f(5,2λ)，))则eq\f(x,y)的值为eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)7．(2018·盐城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＋λeq\o(AB,\s\up7(→))(λ∈R)，则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4)，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)8．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2)，即μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[大题综合练——迁移贯通]1.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→)).解：eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.2．已知a，b不共线，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，eq\o(OD,\s\up7(→))＝d，eq\o(OE,\s\up7(→))＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，eq\o(CD,\s\up7(→))＝d－c＝2b－3a，eq\o(CE,\s\up7(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得eq\o(CE,\s\up7(→))＝keq\o(CD,\s\up7(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))解得t＝eq\f(6,5).故存在实数t＝eq\f(6,5)使C，D，E三点在一条直线上．3.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，