方差与标准差

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.标准差1一、回顾旧知，完成练习问题1：在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下：成绩/米1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111

分别求这些运动员成绩的众数、中位数、平均数（保留到小数点后两位），并分析这些数据的含义.

中位数是1.70米，说明1.70米以下和1.70米以上的数据个数相等.平均数是1.69米，说明所有参赛运动员的平均成绩是1.69米.众数是1.75米，说明跳1.75米的人数最多.解：两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4乙:9,5,7,8,7，6,8,6,7,7

如果你是教练，你应该如何对这次射击情况作出评价?分析:甲的平均成绩是7环，乙的平均成绩也是7环.那么，是否两人的水平就没有什么差距呢？二、创设情境，导入新课

如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？

从上图看，还是有差异的.很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，也就是说它们的离散程度不一样，因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.甲乙两组数据频率分布的条形图是：极差越大，数据越分散；极差越小，数据越集中一组数据的最大值与最小值的差极差：甲的环数极差=10-4=6乙的环数极差=9-5=4极差在一定程度上表明了样本数据的分散程度只考虑了最大值与最小值之差，而没有考虑其他数值，所以只能粗略反映离散状况。极差的缺点：

为了把所有的变量值都考虑进去，更精确的反映数据离散状况，我们还可以考虑用方差.三、推进新课，探究新知方差是怎样刻画数据的离散程度大小的呢？思考：方差越大，数据的离散程度就越大，也就是越不稳定；方差越小，数据的离散程度就越小，也就是越稳定.方差的算术平方根叫做标准差，通常用s表示.即：

假设样本数据是，其平均数为，则这个样本的方差标准差越大，数据的离散程度就越大，也就是越不稳定；标准差越小，数据的离散程度就越小，也就是越稳定.4.标准差为0时的样本数据有什么特点？思考：1.标准差s的取值范围是：答:所有的样本数据都等于样本平均数.3.标准差是怎样刻画数据的离散程度大小的呢？2.怎样求样本标准差？答：先求样本的平均数，再求方差，最后求标准差.

标准差是统计学上考察样本数据离散程度最常用的量，在刻画离散程度上方差和标准差是一样的.但在解决实际问题时，我们常用标准差，因为标准差与样本数据具有相同的单位.例1：两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4乙:9,5,7,8,7，6,8,6,7,7

如果你是教练，你应该如何对这次射击情况作出评价?如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？

解：甲、乙的平均环数都是7环，但由于，这说明乙的发挥比较稳定，所以应选择乙去参加比赛.请同学们自己总结解决此类问题的基本方法：本题小结：

先求样本的平均数，用样本的平均数估计总体的平均数，比较总体的平均水平.当平均数相等或比较接近时，再求样本的标准差，用样本标准差估计总体标准差，比较总体的离散程度，最后得出结论。练习2：甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/km2

），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．

品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9．89．910．11010．2乙9．410．310．89．79．8解：例2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：486495496498499493493498484497504489495503499503509498487500508试估计这批白糖的平均质量和标准差.解:答：估计这批白糖的平均质量是497g，标准差为6.5g.另解：将每袋白糖的质量减去500得到一组新的数据：-14，-5，-4，-2，-1，-7，-7，-2，-16，-3，4，-11-5，3，-1，3，9，-2，-13，0，8答:略思考:上面两组数据的标准差为什么相等?是否可以可以得到一个更一般的结论.试证明你的结论.

如果数据是的平均数为，标准差为s，则新数据的平均数为，标准差仍为s练习3：如果数据是的平均数为，标准差为s，则

(1)新数据是的平均数为

，标准差为________

(2)新数据的平均数为

____，标准差为_________