大学物理(机械工业出版社)上册-课后练习答案

第一章质点的运动1-1质点的运动方程为：，。式中x、y的单位为m，t的单位为ｓ。试求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向。分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解(1)速度的分量式为当t＝0时,vox＝-10m·ｓ-1,voy＝15m·ｓ-1,那么初速度大小为设vo与x轴的夹角为α,那么α＝123°41′(2)加速度的分量式为,那么加速度的大小为设a与x轴的夹角为β,那么β＝-33°41′(或326°19′)1-2一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。现测得其加速度a＝A-Bv，式中A、B为正恒量，求石子下落的速度和运动方程。分析此题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv＝a(v)dt别离变量为后再两边积分．解选取石子下落方向为y轴正向,下落起点为坐标原点．(1)由题(1)用别离变量法把式(1)改写为(2)将式(2)两边积分并考虑初始条件,有得石子速度由此可知当,t→∞时,为一常量,通常称为极限速度或收尾速度．(2)再由并考虑初始条件有得石子运动方程1-3一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即a=-kv2，k为常数。在关闭发动机后，试证：〔1〕船在t时刻的速度大小为；〔2〕在时间t内，船行驶的距离为；〔3〕船在行驶距离x时的速率为v=v0ekx。[证明]〔1〕别离变数得，故，可得：．〔2〕公式可化为，由于v=dx/dt，所以：积分．因此．(3)要求v(x)，可由，有积分得证毕．Hhv0图1-18习题1-4图1－4行人身高为h，假设人以匀速v0用绳拉一小车Hhv0图1-18习题1-4图解：人前进的速度v0，那么绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，所以小车移动的速度小车移动的加速度1-5质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为，a的单位为m/s2，x的单位为m。质点在x=0处，速度为10m/s，试求质点在任何坐标处的速度值。解：∵别离变量：两边积分得由题知，时，,∴∴1-6如下图，一弹性球由静止开始自由下落高度h后落在一倾角的斜面上，与斜面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远。解：小球落地时速度为建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图〔1〕〔2〕第二次落地时所以1－7一人扔石头的最大出手速率为v＝25m/s，他能击中一个与他的手水平距离L=50m，高h=13m的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？解：由运动方程,消去t得轨迹方程以x＝05.0m，v＝25ms－1代入后得取g＝10.0，那么当时，〈13所以他不能射中，能射中得最大高度为1-8一质点沿半径为R的圆周按规律运动，v0、b都是常量。(1)求t时刻质点的总加速度；(2)t为何值时总加速度在数值上等于b？(3)当加速度到达b时，质点已沿圆周运行了多少圈？分析在自然坐标中,s表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s＝s(t),对时间t求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2/R．这样,总加速度为a＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st-s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．解(1)质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为,故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2)要使｜a｜＝b,由可得(3)从t＝0开始到t＝v0/b时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为质点的运动方程为：，式中为正的常量。求：〔1〕质点运动的轨道方程；〔2〕质点的速度大小；〔3〕质点的加速度大小。解：〔1〕轨道方程为这是一条空间螺旋线。在O平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h〔2〕〔3〕，1－10飞机以100m·s-1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：〔1〕此时目标在飞机下方前多远？〔2〕投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？〔3〕物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？解：〔1〕〔2〕〔3〕1－11一无风的下雨天，一列火车以v1=20m/s的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降，求雨滴下落的速度v2。〔设下降的雨滴作匀速运动〕解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V1,雨滴相对地面竖直下落的速度为V2，旅客看到雨滴下落速度V2’为相对速度，它们之间的关系为1－12升降机以加速度a0=1.22m·s2上升，当上升速度为2.44m·s1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m，试求：〔1〕螺帽从天花板落到底面所需时间；〔2〕螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。解：〔1〕以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度为a’=g+a,螺丝落到底面时，有〔2〕由于升降机在t时间内的高度为那么1－13飞机A相对地面以vA=1000km/h的速率向南飞行，另一飞机B相对地面以vB=800km/h的速率向东偏南30°方向飞行。求飞机A相对飞机B的速度。解：1－14一人能在静水中以1.10m·s-1的速度划船前进，今欲横渡一宽为1000m、水流速度为0.55m·s－1的大河。〔1〕，那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？〔2〕如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？解：如图〔1〕假设要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么划行速度和水流速度u的合速度的方向正对着岸，设划行速度合速度的夹角为α如图〔2〕用最短的时间过河，那么划行速度的方向正对着岸1－15设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处，飞机相对空气的速率为，而空气相对地面的速率为u，A、B间的距离为l。〔1〕假定空气是静止的〔即u=0〕，求飞机来回飞行的时间；〔2〕假定空气的速度向东，求飞机来回飞行的时间；〔3〕假定空气的速度向北，求飞机来回飞行的时间。解：由相对速度的矢量关系有〔1〕空气时静止的，即u＝0，那么往返时，飞机相对地面的飞行速度就等于飞机相对空气的速度v’〔图〔1〕〕，故飞机来回飞行的时间(2)空气的速度向东时，当飞机向东飞行时，风速与飞机相对空气的速度同向；返回时，两者刚好相反〔图〔2〕〕，故飞机来回飞行的时间为(3)空气的速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由可得为，故飞机来回飞行的时间为ααvuv’(1)(2)v’u质点动力学AB习题2-1图aAmgTATBaBmgAB习题2-1图aAmgTATBaBmg解：如图由受力分析得习题2－2图2－2如此题图所示，两物体A、B的质量均为m=3.0kg，物体A以加速度a=1.0m/s2运动，求物体B与桌面间的摩擦力。〔滑轮与连接绳的质量不计〕习题2－2图解：分别对物体和滑轮受力分析〔如图〕，由牛顿定律和动力学方程得，2-3如下图，细线不可伸长，细线、定滑轮、动滑轮的质量均不计。求各物体运动的加速度及各段细线中的张力。习题2-3图解：设m1下落的加速度为a1，因而动滑轮也以a1上升。再设m2相对动滑轮以加速度a′下落，m3相对动滑轮以加速度a′上升，二者相对地面的加速度分别为：〔下落〕和〔上升〕，设作用在m1上的线中张力为T1，作用在m2和m3上的线中张力为T2。列出方程组如下：习题2-3图代入，，可求出：，，，，，2－4光滑的水平面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。物体的初速率为v0，求：〔1〕t时刻物体的速率；〔2〕当物体速率从v0减少到v0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。解：〔1〕设物体质量为m，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得，当物体速率从v0减少到v0/2时，由可得物体所经历的时间经过的路程2－5从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度，设其比例常数为k。将质量为m的物体以竖直向上的初速度v0抛出。〔1〕试证明物体的速度为(2)证明物体将到达的最大高度为(3)证明到达最大高度的时间为证明：由牛顿定律可得2－6质量为m的跳水运发动，从距水面距离为h的高台上由静止跳下落入水中。把跳水运发动视为质点，并略去空气阻力。运发动入水后垂直下沉，水对其阻力为－bv2，其中b为一常量。假设以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：〔1〕运发动在水中的速率v与y的函数关系；〔2〕跳水运发动在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？〔假定跳水运发动在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等〕解：运发动入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为，入水后如图由牛顿定律的yf＝－kvmgv2－7一物体自地球外表以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为f＝－kmv2，其中k为常量，m为物体质量。试求：〔1〕该物体能上升的高度；〔yf＝－kvmgv解：分别对物体上抛和下落时作受力分析〔如图〕，2-8质量为的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力f=-kv，为常数，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度。解：〔1〕由题意和牛顿第二定律可得：，别离变量，可得：两边同时积分，所以：〔2〕子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，那么：由可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移：。2-9一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的力，是比例常数。设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。解：由题意和牛顿第二定律可得：再采取别离变量法可得：，两边同时取积分，那么：所以：2-10一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为，子弹从枪口射出时的速率为。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：〔1〕子弹走完枪筒全长所用的时间；〔2〕子弹在枪筒中所受力的冲量；〔3〕子弹的质量。解：〔1〕由和子弹离开枪口处合力刚好为零，那么可以得到：算出t=0.003s。〔2〕由冲量定义：〔3〕由动量定理：2-11高空作业时系平安带是非常必要的。假设一质量为51.0kg的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于平安带的保护，最终使他被悬挂起来。此时人离原处的距离为2.0m，平安带弹性缓冲作用时间为0.50s。求平安带对人的平均冲力。分析从人受力的情况来看,可分两个阶段：在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动；在平安带保护的缓冲过程中,那么人体同时受重力和平安带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短．为求平安带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论．事实上,动量定理也可应用于整个过程．但是,这时必须分清重力和平安带冲力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态,人体的速度均为零．这样,运用动量定理仍可得到相同的结果．解以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论．在自由落体运动过程中,人跌落至2m处时的速度为(1)在缓冲过程中,人受重力和平安带冲力的作用,根据动量定理,有(2)由式(1)、(2)可得平安带对人的平均冲力大小为2－12长为60cm的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为1kg的小球，绳子能承受的最大张力为20N。试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断？解：由动量定理得，如图受力分析并由牛顿定律得，2－13一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸1.0s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？(设空气的阻力不计)解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为2－14质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成θ角的速率v0向前跳去。当他到达最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？〔假设人可视为质点〕〔自己算一遍〕解：取如下图坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有2－15铁路上有一静止的平板车，其质量为M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u。问：在以下两种情况下，〔1〕N个人同时跳离；〔2〕一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?〔典型〕解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v，那么由动量守恒定律得0＝Mv+Nm〔v－u〕v＝Nmu/(Nm+M)(1)又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有n个人时的速度为vn，跳下一个人后的车速为vn－1，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有〔M+nm〕vn=Mvn－1+(n-1)mvn－1+m(vn－1-u)(2)由式〔2〕得递推公式vn－1=vn+mu/(M+nm)(3)当车上有N个人得时〔即N＝n〕，vN＝0；当车上N个人完全跳完时，车速为v0，根据式〔3〕有，vN-1=0+mu/(Nm+M)vN-2=vN-1+mu/((N-1)m+M)………….v0=v1+mu/(M+nm)将上述各等式的两侧分别相加，整理后得，2-16一物体在介质中按规律x＝ct3作直线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方：，试求物体由x0＝0运动到x＝l时，阻力所作的功。分析此题是一维变力作功问题,仍需按功的定义式来求解．关键在于寻找力函数F＝F(x)．根据运动学关系,可将力与速度的函数关系F(v)＝kv2变换到F(t),进一步按x＝ct3的关系把F(t)转换为F(x),这样,就可按功的定义式求解．解由运动学方程x＝ct3,可得物体的速度按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为那么阻力的功为2－17一人从10m深的井中提水，起始桶中装有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。〔典型〕解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0，拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶重力随位置的变化关系为G＝mg－αgy其中α＝0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为2－18如此题图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时B稍被提起。〔设弹簧的劲度系数为k〕解：选取如下图坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体的受力图。对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有习题2－18图习题2－18图2－19如此题图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为M的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。解：设弹簧得最大压缩量为x0。小球与靶共同运动得速度为v1。由动量守恒定律，有习题2－19图习题2－19图习题2－20图2－20以质量为m的弹丸，穿过如此题图所示的摆锤后，速率由v减少到v/2。摆锤的质量为M，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？习题2－20图解：2－21如此题图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为α，高度为h，物块与斜面的滑动摩擦因数为μ，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。解：图2-40习题2-22图2-22如图2-40所示，在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连着物体、，它们质量分别为和，弹簧劲度系数为，原长为。用力推，使弹簧压缩，然后释放。图2-40习题2-22图求：〔1〕当与开始别离时，它们的位置和速度；〔2〕别离之后，还能往前移动多远?解：〔1〕当A和B开始别离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：，所以：;〔2〕别离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：，那么：图2-41习题2-23图2-23如图2-41所示，光滑斜面与水平面的夹角为=30°，轻质弹簧上端固定。今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M=1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动。当木块向下滑x=30cm时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以速度射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为。求子弹打入木块后它们的共同速度。图2-41习题2-23图解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，〔瞬间〕可得：(碰撞前木快的速度)习题2－21图习题2－21图2－24二质量相同的小球，一个静止，另一个以速度0与静止的小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。〔1〕假设碰撞是完全非弹性的；〔2〕假设碰撞是完全弹性的；〔3〕假设碰撞的恢复系数。解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得〔1〕假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：所以：〔2〕假设碰撞是完全弹性的，两球交换速度，〔3〕假设碰撞的恢复系数，也就是所以：，习题2－25图2－25如此题图所示，一质量为m的钢球，系在一长为l的绳一端，绳另一端固定，现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为M，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m和习题2－25图图2-43习题2-26图2-26如图2-43所示，两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。〔〕求：〔1〕释放后两滑块速度相等时的速度大小；〔2〕弹簧的最大伸长量。图2-43习题2-26图解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。所以〔2〕那么计算可得：2－27如此题图示，绳上挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复系数e=0.5。球A由静止状态释放，撞击球B，刚好使球B到达绳成水平的位置，求证球A释放前的张角应满足cos=1/9。B2L习题2－27图ABB2L习题2－27图ABCL图2-45习题2-28图2-28如图2-45所示，一质量为m，半径为R的球壳，静止在光滑水平面上，在球壳内有另一质量也为m，半径为r的小球，初始时小球静止在图示水平位置上。放手后小球沿大球壳内往下滚，同时大球壳也会在水平面上运动。当它们再次静止在水平面上时，问大球壳在水平面上相对初始时刻的位移大小是多少？图2-45习题2-28图解：系统在水平方向上不受外力，因而系统质心的水平位置始终不变。如下图，初始时，系统的质心到球心O的距离为(从质心公式算)小球最终将静止于大球壳的最下方，而系统质心的水平位置始终不变，因而大球壳在水平面上相对初始时刻的位移大小(另外从质心公式算)图2-46习题2-29图2-29如图2-46所示，从坐标原点以v0的初速度发射一发炮弹，发射倾角=45°。当炮弹到达处时，突然爆炸分成质量相同的两块，其中一块竖直下落，求另一块落地时的位置x2是多少？图2-46习题2-29图解：炮弹爆炸后其质心仍按原抛物线轨道运动，因而落地后的质心坐标为由式，且，有第三章刚体力学3－1一通风机的转动局部以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。假设转动局部对其轴的转动惯量为J，问：〔1〕经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？〔2〕在此时间内共转过多少转？解：〔1〕由题可知：阻力矩，又因为转动定理当时，。图3-28习题3-3图〔2〕角位移，图3-28习题3-3图所以，此时间内转过的圈数为。3－2质量面密度为的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为。其中a，b为矩形板的长，宽。证明一：如图，在板上取一质元，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为证明二：如图，在板上取一细棒，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转动惯量为，根据平行轴定理，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为T(这道题以右边为坐标原点，左为正方向)T3-3如图3-28所示，一轻绳跨过两个质量为、半径为的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为和的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，求重物的加速度和各段绳中的张力。〔现在滑轮质量要计，所以绳子拉力会不等〕解：受力分析如图〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔对于质量非常小的物体，转动惯量为零，才有可能T=T1〕，(5)联立求出，，，图3-29习题3-4图3-4如图3-29所示，一均匀细杆长为L，质量为，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度绕过细杆中心的竖直轴转动，试求：〔1〕作用于杆的摩擦力矩；〔2〕经过多长时间杆才会停止转动。图3-29习题3-4图解：设杆的线，在杆上取一小质元考虑对称根据转动定律所以3－5质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如此题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳中的张力。解：分别对两物体做如图的受力分析。根据牛顿定律有又因为组合轮的转动惯量是两轮惯量之和，根据转动定理有〔从积分定义式即可算出〕而且，，，〔列1.牛二2.转动定律3.约束方程即可求解〕3－6如此题图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B。A置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ。假设B向下作加速运动时，求：〔1〕其下落加速度的大小；〔2〕滑轮两边绳子的张力。〔设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑〕解:A、B物体的受力分析如图。根据牛顿定律有对滑轮而言，根据转动定律有由于绳子不可伸长、绳与轮之间无滑动，那么图3-32习题3-7图3-7如图3-32所示，定滑轮转动惯量为J，半径为r；物体的质量为m，用一细绳与劲度系数为k的弹簧相连，假设绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止开始下落。求：〔1〕物体下落的最大距离；(2)物体的速度达最大值时的位置。图3-32习题3-7图解：〔1〕机械能守恒。设下落最大距离为〔2〕〔物体的重力势能转化为这些能〕假设速度达最大值，，图3-36习题3-11图3-8如图3-33所示，一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如下图，弹簧的劲度系数，当时弹簧无形变，细棒的质量，求在的位置上细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？图3-36习题3-11图解：机械能守恒图3-33习题3-8图〔一开始的机械能=后面的机械能，水平临界状态速度为零，没有转动能〕图3-33习题3-8图据几何关系图3-34习题3-9图3-9如图3-34所示，一质量为、半径为的圆盘，可绕过点的水平轴在竖直面内转动。假设盘从图中实线位置开始由静止下落，略去轴承的摩擦，求：〔1〕盘转到图中虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；〔2〕在虚线位置轴对圆盘的作用力。图3-34习题3-9图解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程机械能守恒图3-34习题3-9图图3-34习题3-9图〔平行轴定理：圆心到O〕方向向上图3-35习题3-10图3-10如图3-35所示，一质量为的质点以v的速度作匀速直线运动。试证明：从直线外任意一点O到质点的矢量r在相同的时间内扫过的面积相同。图3-35习题3-10图解：质点不受任何力作用才会作匀速直线运动，因而它对O点的力矩也为零，即对O点的角动量守恒常量。另一方面，矢量r在单位时间内扫过的面积：=常量。3-11如图3-36所示，质量的卫星开始时绕地球作半径为的圆周运动。由于某种原因卫星的运动方向突然改变了=30°角，而速率不变，此后卫星绕地球作椭圆运动。求〔1〕卫星绕地球作圆周运动时的速率v；〔2〕卫星绕地球椭圆运动时，距地心的最远和最近距离和。解：〔1〕由，得卫星在运动过程中对地心的角动量守恒和机械能守恒：(r×F=0，角动量守恒)〔椭圆的三个点，突变前不守恒〕〔突变后椭圆的三个点〕其中，、分别是卫星在远地点与近地点时的速率，可求出，LoMmv习题3-7图3－12如此题图所示，质量为M长为L的均匀直杆可绕过端点o的水平轴转动，一质量为mLoMmv习题3-7图解：〔1〕质点与杆完全弹性碰撞，那么能量守恒又因为角动量守恒〔碰撞的瞬间角动量守恒〕且，(2)完全非弹性碰撞，角动量守恒又习题3－13图3－13如此题图所示，A与B两飞轮的轴杆由摩擦啮合器连接，A轮的转动惯量J1=10.0kg·m2，开始时B轮静止，A轮以n1=600r/min的转速转动，然后使A与B连接，因而B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速都等于n=200r/min为止。求：〔1〕习题3－13图解：〔1〕取两飞轮为系统，啮合过程中系统角动量守恒，即〔没有外力〕所以B轮的转动惯量为〔2〕啮合过程中系统机械能变化图3-39习题3-14图图3-39习题3-14图3-14如图3-39所示，长为的轻杆〔质量不计〕，两端各固定质量分别为和的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为和。轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为的小球，以水平速度v0与杆下端小球作对心碰撞，碰后以的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。图3-39习题3-14图图3-39习题3-14图解：根据角动量守衡有图3-40习题3-15图3-15如图3-40所示，有一空心圆环可绕竖直轴OO′自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始的角速度为ω0，今有一质量为m的小球静止在环内A点，由于微小扰动使小球向下滑动。问小球到达B、C点时，环的角速度与小球相对于环的速度各为多少？(假设环内壁光滑。)图3-40习题3-15图图3-40习题3-15图解:(1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至点时，有〔球看成质心J=mR2〕图3-40习题3-15图①该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为，以点为重力势能零点，那么有②联立①、②两式，得(2)当小球滑至点时，∵∴故由机械能守恒，有(A、C两点没有转动，所以转动惯量回到初始状态，)∴3－16一长为2L的均匀细杆，一端靠墙上，另一端放在的水平地板上，如此题图所示，所有的摩擦均可略去不计，开始时细杆静止并与地板成θ0角，当松开细杆后，细杆开始滑下。问细杆脱离墙壁时，细杆与地面的夹角θ为多大？解：如图，以初始细杆的质心为原点建立坐标系，那么任意时刻质心坐标为〔1〕〔2〕取初始位置的势能为零，那么根据机械能守恒有〔3〕〔掉下了y，转化为.......〕将式〔1〕代入〔3〕得〔4〕〔5〕当细杆与墙壁脱离接触时，〔6〕将式〔4〕、〔5〕、〔6〕代入〔2〕解得OCAB3－17如此题图所示，A、B两个轮子的质量分别为m1和m2，半径分别为r1和r2。另有一细绳绕在两轮上，并按图所示连接。其中A轮绕固定轴O转动。试求：〔1〕BOCAB解：如图，取竖直向下为正方向。轮A作定轴转动，设其角加速度为，根据转动定理有轮B作平面运动，设质心加速度为，角加速度为，根据牛顿定律有根据转动定理有A轮边缘一点加速度B轮边缘一点加速度Clh习题3-18图Clh习题3-18图3－18如此题图所示，一长为l的均质杆自水平放置的初始位置平动自由下落，落下h距离时与一竖直固定板的顶部发生完全弹性碰撞，杆上碰撞点在距质心C为l/4处，求碰撞后瞬间的质心速率和杆的角速度。解：由机械能守恒其中J为绕质心转动惯量由动量定理由角动量定理联立解得，q2qq2q-4q2q习题4－1图4－1在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消，单位正电荷所受的力为＝方向由q指向-4q。4－2如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。〔1〕求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。00dqd,P习题4－2图ax解：〔1〕如图7－2图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝d，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x，那么整根细棒在P点产生的电场强度的大小为0dqxdx,P0dqxdx,P习题4－2图bydEyQ00〔2〕如图7－2图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y，，因，代入上式，那么＝，方向沿x轴负向。＝4－3一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。ddExy习题4－3图R解：如图，在半环上任取dl=RdddExy习题4－3图R，如图，方向沿x轴正向。aλ1λ2习题4－4图0xdq4－4如图线电荷密度为aλ1λ2习题4－4图0xdq解：在λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，两线间的相互作用力为如图，方向沿x轴正向。4－5两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，假设它们间的距离为r，它们间的相互作用力为相互作用力最大的条件为由上式可得：Q=2q，q=Q/2yr习题4－6图yr习题4－6图o解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为dq在o点产生的电场据〔7－10〕式为，。如图，方向沿y轴负向。4－7设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。S1S2E习题4－7图解：如图，S1S2E习题4－7图成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，即r0r0R习题4－8图解：由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为得〔r<R〕，(r>R)d习题4－9图0xE4－9如下图，厚度为d的d习题4－9图0xE解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为A，高度分别为x<d/2和x>d/2的高斯曲面应用高斯定理，有得习题4－10图ro4－10一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为，ρ0为常数。求场强分布。习题4－10图ro解：据高斯定理有时：时：4－11带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R2、R3。oRoR1R2R3q-qq习题4－11图〔2〕把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布；〔3〕再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。解：〔1〕静电平衡，球壳内外表带－q，外外表带q电荷。据〔7－23〕式的结论得：〔2〕〔3〕再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内外表带－q/，外外表带q/－q。得：oo/poo/pr2r1习题4－12图证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R的大球和一个半径为r与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7－7〕结果为,E=E1+E2=上式是恒矢量，得证。R2oR1xp习题4－13图4－13一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为R1R2oR1xp习题4－13图解：圆环中心的电势为圆环轴线上p点的电势为质子到达O点时的速度恰好为零有orQdrorQdr习题4－14图解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=dr，据〔7－23〕式带电球面在电荷元处产生的电势为电荷元的电势能为:细线在带电球面的电场中的电势能为：p习题4－15图xp习题4－15图xo解：P到盘心的距离为L，p点的电势为圆盘轴线上任意点的电势为利用电场强度与电势的梯度关系得：P到盘心的距离为L，p点的电场强度为：4－16两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2。求：〔1〕各区城电势分布，并画出分布曲线；〔2〕两球面间的电势差为多少？解：〔1〕据〔7－23〕式的结论得各区城电势分布为oQoQ1Q2R1R2习题4－16图〔2〕两球面间的电势差为4－17一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ，假设取棒外表为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。解：据高斯定理有时：时，V=0，那么时：时：RroRroV空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。4－18两根很长的同轴圆柱面半径分别为R1、R2，带有等量异号的电荷，两者的电势差为U，求：〔1〕圆柱面单位长度带有多少电荷？〔2〕两圆柱面之间的电场强度。习题4－18图ro解：习题4－18图ro两圆柱面之间的电势差为由上式可得：所以4－19在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，如果释放出来的能量都用来使00C的冰熔化成解热为3.34×105J﹒kg-1)解：两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，其电势能为上式释放出来的能量可融化冰的质量为：8.98×1044－20在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。〔1〕假设把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?〔2〕电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？解：电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为〔1〕把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为：〔2〕电子在玻尔轨道上运动的总能量为：电子的总能量为：第五章静电场中的导体与电介质R2R1习题5－1图q-qqR2R1习题5－1图q-qq解：静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q电荷在r<R1的区域内，在R1<r<R2的区域内在r>R2的区域内:5－2把一厚度为d的无限大金属板置于电场强度为E0的匀强电场中，E0与板面垂直，试求金属板两外表的电荷面密度。E0EE0E0习题5－2图12金属板外表上电荷面密度与紧邻处的电场成正比所以有5－3一无限长圆柱形导体，半径为a，单位长度带有电荷量1，其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b和c，单位长度带有电荷量2，求〔1〕圆筒内外外表上每单位长度的电荷量；〔2〕求电场强度的分布。解：〔1〕由静电平衡条件，圆筒内外外表上每单位长度的电荷量为习题5－3图习题5－3图〔2〕在r<a的区域内:E=0在a<rb的区域内:Een在r>b的区域内:Een5－4三个平行金属板A、B和C，面积都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如下图。如果A板带正电3.0×10－7C，略去边缘效应〔1〕求B板和C板上感应电荷各为多少?〔2〕以地为电势零点，求A解：〔1〕设A板两侧的电荷为q1、q2，由电荷守恒原理和静电平衡条件，有ABCABC习题5－4图d1d2，〔2〕依题意VAB=VAC,即＝代入〔1〕〔2〕式得q1＝1.0×10-7C，q2＝2.0×10-7C，qB＝－1.0×10-7C，qC=-q2＝－2.0×〔2〕＝=2.3×103V习题5－5图q-qq+Q5－5半径为R1=l.0cm的导体球带电量为q=1.0×10－10C，球外有一个内外半径分别为R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心导体球壳，壳带有电量Q=11习题5－5图q-qq+Q解：静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q+Q电荷〔1〕代入数据＝3.3×102V=2.7×102V〔2〕用导线将两球连接起来时两球的电势为=2.7×102V〔3〕外球接地时，两球电势各为＝60V5－6证明:两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A和B相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为QA=6×10－8C和QB=4×10－8C证：设A板带电量为QA、两侧的电荷为q1、q2，B板板带电量为QB、两侧的电荷为q3、q4。由电荷守恒有q2Aq2AB习题5－6图q1q3q4〔2〕在A板与B板内部取两场点，金属板内部的电场为零有，得〔3〕，得〔4〕联立上面4个方程得：,即相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同，此题得证。如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为QA=6×10－8C和QB=4×10－8C，那么5.0×10－6C/m2,1.0×10-6C/m25－7半径为R的金属球离地面很远，并用细导线与地相联，在与球心相距离为D=3R处有一点电荷+q，试求金属球上的感应电荷。qQDqQD=3RR习题5－7图电势为零，即tdbx习题5－8图5－8一平行板电容器，两极板为相同的矩形，宽为a，长为b，间距为d，今将一厚度为ttdbx习题5－8图解：设如图左边电容为C1，右边电容为C2左右电容并联，总电容即金属板后的电容量与金属板插入深度x的关系，为=(a)(b)习题5－9图5－9收音机里的可变电容器如图〔a〕所示，其中共有n块金属片，相邻两片的距离均为d，奇数片联在一起固定不动〔叫定片〕偶数片联在起而可一同转动〔叫动片〕每片的形状如图〔b〕所示。求当动片转到使两组片重叠局部的角度为(a)(b)习题5－9图解：当动片转到使两组片重叠局部的角度为时，电容器的电容的有效面积为此结构相当有n-1的电容并联，总电容为＝5－10半径都为a的两根平行长直导线相距为d〔d>>a〕，〔1〕设两直导线每单位长度上分别带电十和一求两直导线的电势差；〔2〕求此导线组每单位长度的电容。解：〔1〕两直导线的电电场强度大小为oror习题5－10图两直导线之间的电势差为〔2〕求此导线组每单位长度的电容为=ABC1C3C2习题5－11图5－11如图，C1=10F，C2=ABC1C3C2习题5－11图解：〔1〕AB间的电容为=3.75F；〔2〕在AB间加上100V电压时，电路中的总电量就是C3电容器上的电荷量，为〔3〕如果C1被击穿，C2短路，AB间的100V电压全加在C3上，即V3=100V，C3上的电荷量为V习题5－12V习题5－12图5－12平行板电容器，两极间距离为l.5cm，外加电压39kV，假设空气的击穿场强为30kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为0.3cm的玻璃插入电容器中与两板平行，假设玻璃的相对介电常数为7，击穿场强为100kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？结果与玻璃片的位置有无关系?解：〔1〕未加玻璃前，两极间的电场为不会击穿〔2〕加玻璃后，两极间的电压为空气局部会击穿，此后，玻璃中的电场为，玻璃局部也被击穿。结果与玻璃片的位置无关。5－13一平行板电容器极板面积为S，两板间距离为d,其间充以相对介电常数分别为r1、r2，的两种均匀电介质，每种介质各占一半体积，如下图。假设忽略边缘效应，求此电容器的电容。r1r2习题5－13图r1r2习题5－13图左右电容并联，总电容为5－14平行板电容器两极间充满某种介质，板间距d为2mm，电压600V，如果断开电源后抽出介质，那么电压升高到1800V。求〔1〕电介质相对介电常数；〔2〕电介质上极化电荷面密度；〔3〕极化电荷产生的场强。解：设电介质抽出前后电容分别为C与C/5－15圆柱形电容器是由半径为R1的导体圆柱和与它共轴的导体圆筒组成。圆筒的半径为R2，电容器的长度为L，其间充满相对介电常数为r的电介质，设沿轴线方向单位长度上圆柱的带电量为+，圆筒单位长度带电量为-，忽略边缘效应。求〔1〕电介质中的电位移和电场强度；〔2〕电介质极化电荷面密度。解：5－16半径为R的金属球被一层外半径为R/的均匀电介质包裹着，设电介质的相对介电常数为r，金属球带电量为Q,求〔1〕介质层内外的电场强度；〔2〕介质层内外的电势；〔3〕金属球的电势。R1R1R/习题5－16图U1U2U0E1E2R1R2r习题5－17图5－17球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳组成，球壳内半径为R2，其间有两层均匀电介质，分界面半径为r，电介质相对介电常数分别为R1R2r习题5－17图5－18一平行板电容器有两层介质〔如图〕，r1＝4，r2＝2，厚度为d1=2.0mm，d2=3.0mm，极板面积S=40cm2，两极板间电压为200V。〔1〕求每层电介质中的能量密度；〔2〕计算电容器的总能量；〔3〕计算电容器的总电容。5－19平板电容器的极板面积S=300cm2两极板相距d1=3mm，在两极板间有一个与地绝缘的平行金属板，其面积与极板的相同，厚度d1=1mm。当电容器被充电到600V后，拆去电源，然后抽出金属板，问〔1〕电容器间电场强度是否变化；〔2〕抽出此板需作多少功?5－20半径为R1=2.0cm的导体球，外套有一同心的导体球壳，球壳内外半径分别为R2=4.0cm、R3=5.0cm。球与壳之间是空气，壳外也是空气，当内球带电荷为Q=3.0×10-8C解：第六章恒定电流9－1长度l=1.0m的圆柱形电容器，内外两极板的半径分别R1=5.0×10-2m，R2=1.0×10-1m，，其间充有电阻率＝1.0×109解：〔1〕柱面间任一薄层的漏电电阻为：整个圆柱形电容器介质的漏电电阻值为：代入数据得〔2〕＝〔3〕9－2在半径分别为R1和R2〔R1<R2〕的两个同心金属球壳中间，充满电阻率为的均匀的导电物质，假设保持两球壳间的电势差恒定为V，求〔1〕球壳间导电物质的电阻；〔2〕两球壳间的电流；〔3〕两球壳间离球心距离为r处的场强。解：〔1〕球面间任一薄层的电阻为：整个球壳间导电物质的电阻为：〔2〕〔3〕9－3一根铜线和一根铁线，长度均为l，直径为d，今把两者连接起来，并在此复合导线两端加电势差V。设l＝l00m，V=10V，试计算〔1〕每根导线中的场强；〔2〕每根导线中的电流密度；〔3〕每根导线两端的电势差。〔铜＝1.6×10-8.m，铁＝8.7×10-8.m〕解：〔1〕两根导线串联，总电流为两导线的直径相同，截面积相同，电流密度为，代入数据得〔2〕〔3〕9－4一截面积均匀的铜棒，长为2m，两端电势差为50mV，巳知铜棒的电阻率为铜＝1.75×10-8，铜内自由电子的电荷密度为1.36×1010C/m解：〔1〕〔2〕〔3〕9－5北京正负电子对撞机的储存环是周长为240m的近似圆形轨道。当环中电子流强度为8mA时，在整个环中有多少电子在运行？电子的速率接近光速。解：因为n表示环单位体积的电子数，S表示环的截面积，所以nS表示单位长度的电子数，整个圆形环轨道中的电子数为9－6有两个半径分别为R1和R2的同心球壳，其间充满了电导率为〔为常量〕的介质，假设在两球壳间维持恒定的电势差V，求两球壳间的电流。解：球面间任一薄层的电阻为：整个球壳间导电物质的电阻习题9－79－7把大地看作电阻率为的均匀电介质。如下图，用一半径为a的球形电极与大地外表相接，半个球体埋在地面下，电极本身的电阻可忽略。试证明此电极的接地电阻为习题9－7证：半球面间任一薄层的电阻为：半个球体埋在地面下，电极本身的电阻可忽略，此电极的接地电阻为RE,r习题9－89－8一电源的电动势为E，内电阻为r，均为常量。将此电源与可变外电阻R连接时，电源供应的电流I将随R而改变，试求：〔1〕电源端电压与外电阻R的关系；〔2〕电源消耗于外电阻的功率P〔称为输出功率〕与R的关系；〔3〕欲使电源有最大输出功率，R应为多大?〔4〕电源的能量一局部消耗于外电阻，另一局部消耗于内电阻。外电阻消耗的功率与电源总的功率之比，称为电源的效率，求效率RE,r习题9－8解：〔1〕RE,rRE,r习题9－8〔3〕〔4〕，当 R=r时，9－9试求在以下情形中电流的功率及1s内产生的热量：〔1〕在电流强度为1A，电压为2V的导线中；〔2〕在以lA电流充电的蓄电池中，此时电池两极间的电压为2V，蓄电池的电动势为1.3V；〔3〕在以lA电流放电的蓄电池中，此时电池的端电压为2V，电动势为2.6V。习题9－9E，rE,r习题9－9E，rE,r充电电源放电电源此时电流的功率为1s内产生的热量为〔2〕充电电源，此时电流的功率为1s内产生的热量为〔3〕放电电源，，此时电流的功率为1s内产生的热量为ABCDP习题9－109－10地下电缆由一对导线组成，这对导线沿其长度的某处发生短路〔如图〕。电缆长5mABCDP习题9－10解：设P点离A点为x，那么有得x=1.59－11大气中由于存在少量的自由电子和整离子而典有微弱的导电性。〔1〕地表附近，晴天大气平均电场强度约为120V/m，大气平均电流密度约为4×10－12A/m2。求大气电阻率是多大?〔2〕电离层和地表之间电势差为4×105E2RRE2RR1E2,r2E1,r1R1R2习题9－12I1I3I29－12在如下图的电路中，E1＝3.0V，r1E2,r2E1,r1R1R2习题9－12I1I3I2解：设各电流如图解得R2R3E2,r2E1,r2R1习题9－13R4I1I3I29－13在如下图的电路中，E1＝3.0V，r1=0.5，E2＝1.0V，rR2R3E2,r2E1,r2R1习题9－13R4I1I3I2解：设各电流如图解得与图中所示方向相反9－14如下图，E1＝E2=2.0V，内阻r1=r2=0.1，R1=5.0.，R2=4.8，试求〔1〕电路中的电流；〔2〕电路中消耗的功率；〔3〕两电源的端电压。E2,r2E2,r2E1,r1R1R2习题9－14〔2〕〔3〕RRE,r习题9－89－15在如下图的电路中E1＝6.0V，E2=2.0V，R1=1.0.，R2=2.0，R3=3.0.，R4=4.0，试求〔1〕通过各电阻的电流；〔2〕A、B两点间的电势差。EE2R1R4ABR3E1R2习题9－15解：,第七章稳恒磁场10－1两根无限长直导线相互垂直地放置在两正交平面内，分别通有电流I1=2A，I2=3A，如下图。求点M1和M2处的磁感应强度。图中AM1＝AM2=lcm，AB=2cm.。解：无限长电流的磁感应强度为，两无限长电流在点M1和M2处的磁感应强度相互垂直，合磁感应强度为10－2一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，圆弧半径R=3cm，导线中的电流I=2A，如下图，求圆弧中心O点的磁感应强度。解：两半无限长电流在O点产生的磁感应强度IOIOR习题10－2图3/4圆电流在O点产生的磁感应强度为O点的合磁感应强度为10－3图中三棱柱面高h＝1.0m，底面各边长分别为ab=0.6m，bc=0.4m，ac=0.3m，沿ad边有直长导线，导线申通有电流I=4A。求通过cbef面的磁通量。解：通过cbef面的磁通量应与通过gbje面的磁通量相当abcfabcfedI习题10－3图gj0x10－4两根平行直长导线载有电流I1=I2=20A。试求〔1〕两导线所在平面内与两导线等距的一点A处的磁感应强度；〔2〕通过图中矩形面积的磁通量。图中r1=r3=10cm，r2=20cm，l=25cm。rr1r3r2I1I2l习题10－4图0xdS解：〔1〕两半无限长电流在中点A点产生的磁感应强度方向相同，叠加为〔2〕10－5两个半径为R的线圈共轴放置，相距为l，通有相同大小、方向的电流I，如下图，o点是两环心o1、o2的中点，求在两环心o1、o2连线上离o点距离为x的P点的磁感应强度。oo1IRo2IRoP习题10－5图zx解：圆电流在轴线上产生的磁感应强度为，两圆电流在P点产生的磁感应强度方向相同，所以在P点的磁感应强度为磁感应强度的方向沿z轴负方向。oR/n/2+oR/n/2+/n/2-/n习题10－6图IoRoR/n/2+/n/2-/n习题10－6图I有限长的电流产生的磁感应强度为与图中各量对应，上式为，得证。当n时，这值正是圆电流的结果。习题10－7图I1习题10－7图I1l1I2解：O处在两直线电流的延长线上，故两直电流在O处产生的磁感应强度为0。I1与I2为并联电流，其在O处产生的磁感应强度分别为因为并联电流电压相同有：，所以Bo=0R习题10－8图rdqR习题10－8图rdqO解：此题可利用运动电荷产生的磁场计算，也可利用圆电流产生的磁场计算。以下根据圆电流在轴线产生的磁感应强度来计算的。如图电荷dq旋转在O处产生的磁感应强度为方向沿轴线向上。10－9一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I，试求〔1〕环内离轴线为r远处的磁感应强度；〔2〕通过螺线管截面的磁通量。解：〔1〕根据安培环路定理〔2〕10－10一对同轴的无限长空心导体直圆筒，内、外筒半径分别为R1和R2〔筒壁厚度可以忽略〕，电流I沿内筒流出去，沿外筒流回，如下图。〔1〕计算两圆筒间的磁感应强度。〔2〕求通过长度为l的一段截面〔图中画斜线局部〕的磁通量。解：〔1〕由安培环路定理可分析仅在两筒间有磁场，为习题10－10图习题10－10图10－11磁感应强度B=5×10-4T的均匀磁场垂直于电场强度E＝10V/m的均匀电场，一束电子以速度v进入该电磁场，v垂直于B和E。求〔1〕当两种场同时作用时，要使电子束不偏转，电子的速度v；〔2〕只有磁场存在时电子的轨道半径R。解：〔1〕当两种场同时作用时，要使电子束不偏转，电子所受的电场力与磁场力相同即〔2〕习题10－12图vB10－12一根导体棒质量m=0.20kg，横放在相距0.30m的两根水平导线上，并载有50A习题10－12图vB解：〔1〕要此棒沿导线滑动，磁场对它的作用力至少与摩擦力相等，即磁感应强度的方向如下图，向下。10－13质谱仪的构造原理如下图，离子源S产生质量为M、电荷为q的离子，离子产生出来时速度很小，可以看作是静止的；离子飞出S后经过电压V加速，进入磁感应强度为B的均匀磁场，沿着半个圆周运动，到达记录底片上的P点，可测得P点的位置到入口处的距离为x，试证明这离子的质量为证：依题意有〔1〕习题10－13图粒子所受的洛仑兹力是粒子作圆周运动的向心力有习题10－13图〔2〕联立〔1〕〔2〕式消去v，就可得到10－14在磁感应强度为B的水平均匀磁场中，一段长为l、质量为m的载流直导线沿竖直方向自由滑落，其所载电流为I，滑动中导线恒与磁场正交，如下图。设t=0时导线处于静止状态，求任意时刻导线下落的速度。解：依题意有别离变量积分为解得任意时刻导线下落的速度为习题10－15图x习题10－15图xdFdF解：此电流结构俯视如图，圆柱面上的电流与轴线电流反向，反向电流电流相斥，如图，对称分析可知，合力沿x轴正向，有习题10－14图习题10－14图dFdFxBBIdFdFxBBI2I1习题10－16图or解：此电流结构如图，对称分析可知，合力沿x轴负向，有10－17一圆形线圈，其直径为0.08m，共有12匝，载有电流5A，线圈放在一磁感应强度为0.60T的均匀磁场中。〔1〕求线圈所受的最大磁力矩；〔2〕如果磁力矩等于最大磁力矩的一半，线圈处于什么位置？解：(1)=〔2〕=10－18有一磁电式电流计，它的矩形线圈长11mm，宽10mm，由1500匝外表绝缘的细导线绕成，如下图。当线圈偏转角时，线圈游丝产生的钮力矩M=C，扭转系数C＝22×10-8N·m/〔0〕，假设电表指针的最大偏转角为900，相应的满度电流为50习题10－18图解：因为习题10－18图依题意有即10－19一半径为R的薄圆盘，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，B的方向与盘面平行，如下图，圆盘外表的电荷面密度为，假设圆盘以角速度绕其轴线转动，试求作用在圆盘上的磁力矩。解：圆盘上任一薄层电荷运转时产生的电流为dI，其对应的磁矩为整个圆盘的磁矩为作用在圆盘上的磁力矩为,方向垂直纸面向里。10－20长为l=1.0m的导线作成一闭合回路，通有电流I=2A，放入磁感应强度B=0.1T的均匀磁场中，回路平面与磁场B的方向成450角，求载流回路所受的磁力矩。〔1〕假设回路为正方形；〔2〕假设回路为圆形。解：〔1〕回路为正方形有〔2〕回路为圆形有10－21如下图，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝效为N，通过线圈的电流为I。求球心处O的磁感应强度。解：依题意，球上沿圆周单位长度的线圈匝数为2R习题10－21图2R习题10－21图IB球上任一薄层电流为：一薄层圆电流在球心处O的磁感应强度为习题10－19图整个半球电流在球心处O的磁感应强度习题10－19图方向如图向右。10－22如下图，在磁感强度为B的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，B与半球面的轴线夹角为，求通过该半球面的磁通量。en习题10－22图en习题10－22图＝010－23l0mm2裸铜线允许通过50A电流而不致导线过热，电流在导线横截面上均匀分布。求〔1〕导线内、外磁感强度的分布；〔2〕导线外表的磁感强度。解：〔1〕由安培环路定理r0r0习题10－23图〔2〕同理有r＝R时,习题110－24有一同轴电缆，其尺寸如下图。两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：〔1〕r<R1；〔2〕R1<r<R2；〔3〕R2<r<R3〔4〕r>R3；面出B－r曲线。习题1解：由安培环路定理〔1〕〔2〕〔3〕00〔4〕BR1RBR1R2R3r习题10－25图解：利用补缺法，其电流密度的大小为，对空腔内任意点，设大圆柱电流产生的磁场为B1，小圆柱电流产生的磁场为B2，由安培环路定理，有习题10－25图，写成矢量形式为习题10－25图，同理有。因为j1=-j2=j，所以上式说明空腔内任意点的磁场是匀强的，磁感应强度的大小为10－26在一个显像管的电子束中，电子有1.2×104eV的能量。这个显像管安放的位置使电子水平地由南向北运动，地球磁场的垂直分量B=5.0×10-5T，并且方向向下。试求〔1〕电子束偏转方向；〔2〕电子束在显像管内通过20cm到达屏面时光点的偏转间距。解：依题意有，如图电子的盘旋半径为BBRh习题10－26图Rdd10－27通有电流I=50A的无限长直导线，放在如下图弧形线圈的oz轴上，线圈中的电流I=20A，线圈高h=7R/3，求作用在线圈上的力。解：依题意线圈可分为两半圆弧和两长为7R/3的直电流，由安培力公式分析可知，两半圆弧电流不受磁场力，只要讨论两长为7R/3的直电流受的磁场力即可。轴线上的长直电流在两长为7R/3的直电流处产生的磁感应强度为可判断出两长为7R/3的直电流所受的磁场力方向相同，所以作用在线圈上的力为力的方向沿x轴负向10－28利用霍尔元件可以测量磁场的磁感应强度，设一霍尔元件用金属材料制成，其厚度为0.l5mm，载流子数密度为l024/m3，将霍尔元件放入待测磁场中，测得霍尔电压为42V，测得电流为l0mA。求此时待测磁场的磁感应强度。解：依题意有10－29载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或五价掺杂原子的浓度，来控制P型或n型半导体的载流子浓度。利用霍尔效应可以测量载流子的浓度和类型。如下图一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品外表，样品中通过的电流为I，现测得霍尔电压为UH。证明样品载流子浓度为：习题10－29图证：设稳定后横向电场为E，此时载流子受力平衡，即习题10－29图霍尔电压为〔1〕导体的截面积S=bd，流经此截面的电流为代入〔1〕式得，所以可得。证明完毕10－30变电站将电压500kV的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方。巳知两输电导线间单位长度的电容为3×10-11F习题10－27图解：如图，由安培力公式分析可知两反向的直电流间存在相互排斥的安培力。反向电流的导体可当作带等量异号的电荷的导体，它们之间存在相互吸引的静电力，依题意有F静＝F安。习题10－27图IIIId习题10－30图由可得〔2〕输出功率为第十一章磁场中的磁介质11－1一螺绕环的平均半径为R=0.08m，其上绕有N=240匝线圈，电流强度为I=0.30A时管内充满的铁磁质的相对磁导率r＝5000，问管内的磁场强度和磁感应强度各为多少？解：〔1〕由得代入数值为〔2〕11－2在图11－8所示的实验中，环型螺绕环共包含500匝线圈，平均周长为50cm，当线圈中的电流强度为2.0A时，用冲击电流计测得介质内的磁感应强度为2.0T，求这时〔1〕待测材料的相对磁导率r；〔2〕磁化电流线密度js。解：〔1〕代入数值〔2〕习题11－3图11－3如下图，一根长圆柱型同轴电缆，内、外导体间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为r〔r<1〕，导体的磁化可以略去不计，电缆沿轴向有稳定电流I通过，内外导体上的电流的方向相反，求〔1〕空间各区域的磁感应强度和磁化强度；〔2〕磁介质外表的磁化电流。习题11－3图解：依题意，内圆柱的电流密度〔1〕r<R时：根据得〔导体的r=1〕R1<r<R2时：根据得R2<r<R3时：根据得〔导体的r=1〕r>R3时：H=0,B=0,M=0〔2〕11－4一个截面为正方形的环形铁心，其中磁介质的相对磁导率为r，假设在此环形铁心上绕有N匝线圈，线圈中的电流为I，设环的平均半径为r，求此铁心的磁化强度。解：由得11－5设长为L=5.0m，截面积S=1.0cm2的铁棒中所有铁原子的磁偶极矩都沿轴向整齐排列，且每个铁原子的磁偶极矩m0=1.8×10－23A·m2，求〔1〕铁棒的磁偶极矩；〔2〕如果要使铁棒与磁感应强度B0=1.5T的外磁场正交，需用多大的力矩？设铁的密度＝7.8·g/m3,铁的摩尔质量M0=55.85g解：〔1〕棒的质量为，棒内的铁原子数N为：铁棒的磁偶极矩为〔2〕需用的力矩为11－6将一直径为10cm的薄铁圆盘放在B0=0.4×10－4T的均匀磁场中〔如图〕，使磁力线垂直于盘面，盘中心的磁感应强度为BC=0.1T，假设盘被均匀磁化，磁化电流可视为沿圆盘边缘流动的一圆电流，求〔1〕磁化电流大小；〔2〕盘的轴线上距盘心0.4m处的磁感应强度。解：〔1〕设圆盘边缘流动的磁化圆电流为Is，对盘中心而言，依题意有可得磁化电流大小为〔2〕圆盘边缘流动的磁化圆电流为Is在轴线上产生的磁感应强度为将R=5cm、Z=0.4m及上面Is的值代入上式得第十二章电磁感应12－1在通有电流I=5A的长直导线近旁有一导线ab，长l=20cm，离长直导线距离d=10cm〔如图〕。当它沿平行于长直导线的方向以v=10m/s速率平移时，导线中的感应电动势多大？a、b哪端的电势高？dlabvIdlabvI习题12－1图xoE方向沿x轴负向，a电势高。12－2平均半径为12cm的4×103匝线圈，在强度为0.5G的地磁场中每秒钟旋转30周，线圈中可产生最大感应电动势为多大？如何旋转和转到何时，才有这样大的电动势？解：，电动势的大小为EEmax12－3如下图，长直导线中通有电流I=5A时，另一矩形线圈共1.0×103匝，a=10cm，长L=20cm，以v=2m/s的速率向右平动，求当d=10cm时线圈中的感应电动势。ddaLIv习题12－3图daLIdaLIv习题12－3图电动势的大小为EEx=d=10=12－4假设上题中线圈不动，而长导线中，通有交流电i=5sin100tA，线圈内的感生电动势将多大？解：电动势的大小为E习题12－5图12－5一长为L的导体棒CD，在与一均匀磁场垂直的平面内，绕位于L/3处的轴以匀角速度沿反时针方向旋转，磁场方向如下图，磁感应强度为B，求导体棒的感应电动势，并指出哪一端电势高？习题12－5图解：根据动生电动势的公式E=Ec点电势高12－6如图两端导线ab=bc=10cm，在b处相接而成300角。假设使导线在匀强磁场中以速率v=1.5m/s运动，磁场方向垂直图面向内，B=2.5×10－2T，问ac间的电势差是多少？哪端电势高？解：ab边不切割磁场线，不产生感应电动势，bc边产生感应电动势为E＝c点电势高12－7在通有电流I的无限长直导线附近，有一直角三角形线圈ABC与其共面，并以速度v垂直于导线运动，求当线圈的A点距导线为b时，线圈中的感应电动势的大小及