江西省“三新”协同教研共同体2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷

2023年“三新”协同教研共同体高二联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号深黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第五章计数原理中的排列组合（不考二项式定理）．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2．已知，若四点共面，则（）A．3B．C．7D．3．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为抛物线C上一点，若．则的面积为（）A．B．C．D．4．已知正方体的棱长为a,点P是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹为（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆5．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．6．某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（）A．18种B．24种C．36种D．48种7．如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（）A．B．C．D．8．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上任意一点处的曲率半径公式为．若椭圆C上任意一点相应的曲率半径的最大值为,最小值为1，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列排列组合数中，正确的是（）A．B．C．D．10．已知圆,直线,下列说法正确的是（）A．无论a取何值，直线l与圆C相交B．直线l被圆C截得的最短弦长为4C．若,则圆C关于直线l对称的圆的方程为D．直线l的方程能表示过点的所有直线的方程11．在棱长为2的正方体中，两点在线段上运动，且在线段上运动，则下列结论正确的是（）A．三棱锥的体积为定值B．在平面内存在点P,使得平面C．E点在正方形（包括边界）内运动，且直线与直线成角，则线段长度的最小值为D．与平面所成角的正弦值的取值范围为12．已知抛物线上任意一点处的切线方程可以表示为．直线分别与该抛物线相切于点相交于点D,与分别相交于点P,Q,则下列说法正确的是（）A．点D落在一条定直线上B．若直线过该抛物线的焦点，则C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．圆与圆的位置关系是&&．14．已知空间向量的模长分别为2,2,3，且两两夹角均为，点G为的重心，则&&．15．2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况．其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景．当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”．当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为&&．（用数字作答）16．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A,B（不重合），线段的垂直平分线过点，则双曲线C的离心率为&&．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数．（1）偶数不能相邻，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）（2）若数字1和2之间恰有一个奇数，没有偶数，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）18．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．19．（12分）如图，在四棱锥中，平面为线段的中点，已知．（1）证明：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（12分）已知双曲线的渐近线方程为,实轴长为2．（1）求双曲线C的标准方程；（2）直线l与双曲线C相切，且与双曲线C的两条渐近线相交于两点，求（O为坐标原点）的面积．21．（12分）如图，在四棱台中，底面是菱形，,，平面．（1）证明：．（2）棱上是否存在一点E,使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，,直线的斜率为．（1）求椭圆C的方程．（2）已知是椭圆C上的两点，直线的斜率为,直线的斜率为,且满足．过点A作,垂足为H,试问平面上是否存在定点T,使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．

2023年“三新”协同教研共同体高一联考数学试卷参考答案选择题123456789101112CBBDDACDABACACDAC1．C．2．B由题可得解得．3．B由命题p可得,解得,所以p可以推出q,q推不出p,故p是q的充分不必要条件．4．DA选项，当时不符合；B选项，当时不符合；C选项，当时不符合；D选项，，由,可得．5．D图象的对称轴为直线,且最大值为．令,可得或．由，可得．6．A由，得，则，当且仅当，即时，等号成立．7．C由题知的周期为4．又函数为奇函数，所以．8．D由题意可设,由,得，则,所以．构造函数则在上单调递减．由的图象（图略），可得．9．ABA选项，；B选项，由题可得；C选项，；D选项，．10．AC由的图象（图略），可知．由，得，故A正确，B错误；由,可得,故C正确，D错误．11．ACD当时，可得,故A,D均不可能；设，由,可得,化简可得在R上恒成立，所以故C选项不可能．12．AC在R上任取,且,则．因为,所以,即,则,所以在R上为增函数．令,可得,令,可得，同理可得，故在上的值域为．令,可得,故的图象关于点对称．由,可得，所以在R上恒成立，则解得．填空题13．30等价于，所以解得，则，故集合A的非空真子集的个数为30．14．原式．15．由题意可得，则．16．由，可得当不等式在上恒成立时，则解得，此时，所以a的取值范围是．解答题17．解：．2分（1）∵“”是“”的充分条件，,．5分（2）．7分当时，．8分当时，．9分综上，或．10分18．解：（1）当时，可设．由表知，2分．当时，可设，则4分解得5分．综上，6分（2）当时，函数单调递增，．8分当时，函数在上单调递增，在上单调递减，∴当时，．10分又，∴当广告宣传费投入3万元时，超市的利润最大．12分19．（1）证明：令,2分．4分．6分（2）解：结合图象（图略）可知，方程的根是的图象与交点的横坐标，方程的根是的图象与交点的横坐标．又的图象与的图象关于直线对称，8分解得10分∴点与点关于点对称，所以．12分20．解：（1）由题知,方程的两根为,2，解得2分由，可得，即，4分，∴不等式的解集为．6分（2）．8分，当且仅当，即时，等号成立．10分又在上单调递减，当时，，∴当时，有最小值2．12分21．解：（1）．①令,得．②联立①②，解得．4分（2）∵在上单调递增，．5分又．对，不妨设,则．单调递增．又，,即在上单调递增，8分．又由题意可知的值域的值域．10分，可得．12分22．解：（1）为奇函数，的定义域关于原点对称．又的解集关于原点对称，,即，2分．当