2023年高考数学第29讲怎么求直线与平面所成的角

第29讲怎么求直线与平面所成的角

一、知识概要

1直线与平面所成角的定义(线面角)

平面的一条斜线和它在这个平面的射影所成的角叫作这条直线和平面所成的角.

71

一条直线与平面平行或在平面内所成的角是弧度为。的角.线面角的范围是0,-.

2三垂线定理及其逆定理

(1)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜

线垂直.

⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条

斜线的射影垂直.

3求线面角的方法

概括地讲:求线面角，先找出角，再将其转化为求线线角.

二、题型精析

[例1]

已知在正四棱柱ABC。—中.AA=2A3,则CD与平面所成角的正弦值等于

().

【策略点击】

本题求线面角的思路之一:根据线面角的定义，找出C。在平面BDG上的射影，运用定义法求解,

其难点是过点C作平面8DG的垂线，垂点的位置如何确定?需要根据线面、面面垂直的关系确

定.那么是否可以不用找到垂足就可以求出线面角呢?思路之二是运用等体积法求出高线的长度,

线面角的大小即可确定.思路之三是运用向量坐标法，由于题目给出的是正棱柱，建立空间直角坐

标系很方便，解之不难,读者可以试试用向量法解.

【解法一】

图3T9

（定义法）如图3—19所示，连接AC交3。于点。，由于8。_LOC,3。，CG可得平面

OCG,从而平面OCX；1平面BDC「

过点C作CE_L0G于点E，根据面面垂直的性质定理，可得CE，平面BDCt/CDE即为所

求的线面角.

不妨设AB=2,则CG=4,OC=JIOG=晒=3叵.

:.CE=8\℃=华=±sinNCDE=g=2,故选A.

OC,303CD3

【解法二】

（等体积法）连接4。交3。于点。，由于30，。。,80_1,。（：「可得8。，平面。。^,得

6。，0G,过点C作CE_L平面BDQ,则ZCDE即为所求的线面角，由等体积法，得

匕-BDG=，则§SBDCi-CE=-5BDC.C]C.

设C；C=4,则S80c=2,SSDC|=-BDOC[=-x2&x3行=6

4CF2

CE=—.故sinNCDE=—=—.故选A.

3CD3

[例2]

如图3-20所示，在正方体ABCD-A^C^中，点0为线段3。的中点，设点P在线段CQ上,

直线30P与平面A8。所成角为a,则sina的取值范围是（）

A3,1

>/6

3一,1

BC.

迈20

3'亍

图3-20

【策略点击】

由于点P是线段CC上的动点，可以借助图形看当，点P变化时在平面内斜线OP的射影

的变化，从而发现射影角«的变化.探究线面和面面关系其实是考查空间想象和逻辑推理能力，难

点是能否正确通过面面垂直找到OP在平面上的射影.容易误认为点P在c，点处取得最

小值，从而错选C.当然由于本题的正方体背景，可建立空间直角坐标系,将问题定量化，降低思维

难度，转化为函数问题求值域,运用向量坐标解决立体几何中的动态问题，实现对空间中距离和角

的最值求解是好方法.

【解法一】

（立体几何方法）设正方体的棱长为2,则M=2,。4=仅^=0,。4］，AG=2后，由正

方体的性质知平面AAGC与平面43。垂直.

二OP在平面ABD上的射影在直线上厕ZA,OP=a，在P从C运动到C过程中，当

OP1A,O时，sina取得最大值1,其最小值可能在C点或G点取得，当P在C点时,

222

/.八,瓜“n一尸上」OA+OC,-AC,1nil.2>/2

sina=sinZA.OA=——；当P在G点时,cosa=-----------L-L=-，贝ijsina=-----

32QAOC；33

.〔sina的取值范围是,1,故选B.

【解法二】

图3-21

(向量坐标法)以C为原点，分别以射线CD,cq为X轴、y轴、Z轴的正半轴建立空间直角

(11、

坐标系。一孙Z，如图3—21所示，设2(0,0,机),〃2€[0,1],则。-,-,0,B(l,0,0),£>(0,1,0)

(LL/

4（1,1,1）,平面48。的法向量为〃=（匕％2）,则

6O=（T,l,（））,O4=（l,0,l）,OP=[—g,-；,/Mj,me[0,l],

n•BD=0,

由可解得一个"=（1,1,一1）.

力。A=o

.八z|n-OP|1+机2（1+加）2

则cos〈几•OP）=-------=-----

5U0PI&,R230+2也

:J—Fm

V2

令l+m=r,，£[l,2],

则gs3"〉l=尿痣]

max=1.

[例3]

(2019年高考数学浙江卷文科第19题)如图3-22所示，已知三棱柱ABC-AB。「平面

AACC1，平面ABC,ZABC=90",NBAC=30°,AA=4C=ACE,尸分别是AC,的

中点.

(1)证明:EF_L8C;

(2)求直线EE与平面ABC所成角的余弦值.

图3-22

【策略点击】

本题的证明和解答总体而言有两个方向:一是在立体几何范围内求解;二是运用向量法求解.第(1)

问,首先利用面面垂直的性质定理证明平面ABC,再根据线面垂直的判定定理证明

3C_L平面AEF,然后根据线面垂直的性质定理得证;或建立空间直角坐标系，利用两直线的方

向向量垂直证明结论.第⑵问，作出线面角的平面角,通过解三角形求解;或建立空间直角坐标系,

利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解.

【解法一】

(立体几何方法)

(1)【证明】

图3-23

如图3—23所示.连接

4A=ACE是AC的中点,，AXE1AC.

又平面41ACG，平面ABC,A|Eu平面4ACG.

平面AACC；c平面ABC=AC,

AtEl平面ABC,则\ELBC.

又4口//43,/48。=9()°,故8。，4£

BC平面A.EF，因此EF±BC

⑵取8C中点G.连接EG,GF，则EGF4是平行四边形(如图3-23所示).

由于平面ABC,故4EJ.EG,

・•.平行四边形EGR为矩彩

由(1)得BC±平面EGF4,则平面为3C，平面EGFA「

：.EF在平面ABC上的射影在直线Afi上.

连接\G交所于。，则NEOG是直线EF与平面A,所成的角(或其补角).不妨设AC=4,

则在RlAEG中,AE=26,EG=6.

由于。为AG的中点，故后0=。6=竿=半，

EQ2+0G2-EG23

/.cosZ.EOG=

2E00G5

3

因此，直线跖与平面ABC所成角的余弦值是手

图3-24

(向量方法)

(1)【证明】

连接4旦:4A=ACE是AC的中点，

4E_LAC,又平面A|ACC|_L平面ABC，4Eu平面AACC1,

平面AACC|C平面ABC=AC,:.AEJ_平面ABC.

如图3-24所示以点E为原点，分别以射线EC,为y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系

E-xyz.

不妨设AC=4，则A(0,0,2g),8(6,1,0),4(百,3,2我,

(ha\

F^-,-,2^,C(0,2,0)

(22J

(RaA

因此,后户=^-,-,273,BC=(-73,l,0).

I22J

由EF8C=0得EF,18c.

⑵设直线EF与平面ABC所成角为e.

由⑴可得BC=(一6,1,0),4。=(0,2,-2g)

设平面ABC的法向量为li=(x,y,z),

BCn=0,—yjix+y=0

由＜

[AC-n=0,y-Gz=0

取〃=，^,sin0=|cos{EF,ri）|=ncos0=-.

\EF\\n\55

3

因此，直线EF与平面A/C所成的角的余弦值为《.

方法提炼

1直线与平面所成角的求法

⑴定义法:通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，连接垂足和斜足，找出线面角（斜线段和斜

线段在平面上的射影所成的角），在直角三角形中求解.

（2）向量法:建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量的坐标和斜线段所在直线的向量坐

标，代入向量夹角公式，求出法向量与斜线段所在直线的夹角夕则直线与平面所成的角为上.

2

2向量公式

IPM,nI

求直线/与平面a所成角。的向量公式：[sin61=•!~~1（其中〃为平面a的法向量,M为/

\PM\\n\

与a的交点,P为/上不同于M的任意一点）.

三、易错警示

网

如图3-25所示，在多面体ABCDEF中，底面A8CD是边长为2的菱形,ZBAD=60",四边形

BDEF是矩形，平面BDEF±平面ABCD,3尸=3,〃是CF的中点.

⑴求直线DH与平面BDEE所成角的正弦值；

图3-25图3-26

【错解】

(1)如图3-26所示以。为原点,OB,OC,ON所在直线分别为x轴,y轴z轴建立空间直角坐标

系.

底面ABC。是边长为2的菱形,NBA。=60°,BF=3,

A(0,-百,0),5(1,0,0),0(—1,0,0),E(-1,0,3),F(l,0,3),C(0,瓜0),H

2，^2,2

\/

AC_L平面8。所,.•.平面BDEF的法向量AC=(0,,26,0)

设直线DH与平面BDEF所成角为a.

由“3xo+凡26+|'0_b

(3g31DH-AC_22

由。”不,手,不得cos〈QH,AC〉=

(2Z2.)\DH\\AC\y/2\<267

--------X

2

_V42

sina-yjcos2(DH,AC)=

一〒

V42

•••直线DH与平面5。防所成角的正弦值为丫厂

B1

⑵由⑴得=

~2'~T'2,DB=(2,0,0)，设平面BDH的法向量为

7

〃BH=0,-X|+'J3y+3Z|-0,

”=(%—),.I即4t

n-DB=0,2%1=0,

令Z1=1,得"=(0,-6,1)

由E£>_L平面4BCO彳导平面3CO的法向量为ED=(0,0,-3),

mi,.小n-EDOxO+(-^)xO+lx(-3)1

贝cos<n,ED)=-----------=---------------------------------=——.

|/I||ED|2x32

二面角〃一即一。的大小为120°.

【评析及正解】

利用空间向量的坐标法求空间的角要注意解题过程的严密性，先证明后建系是许多问题都会面

临的问题.上述解法末经证明垂直关系就直接建系，导致解答过程不严谨,在求空间角时，要准确了

解两个向量的夹角与所求空间角的差异,不能直接将两向量的夹角认定为所求的角，要根据实际

情况进行准确的转换.

正确的解法如下：

【解】

⑴设ACc8。=O,取砂的中点N,连接ON.

四边形BDEF是矩形,。,N分别为BD,EF的中点,ON//ED,

又•EDI.平面ABCD,ON，平面ABCD.

由AC_LBD得OB,OC,ON两两垂直.

.•・以。为原点,O3,OC,ON所在直线分别为x轴、y轴、z轴如图3—26所示建立空间直角坐

标系，

底面ABC。是边长为2的菱形,NBA。=60°,BF=3.

A((),-6,0),5(1,0,0),£>(-1,(),0),E(-l,0,3),F(l,0,3),C((),百,())”R,坐,]

\222

AC±平面BDEF,平面BDEF的法向量AC=(0,273,0).

(r—\

设直线。〃与平面所成角为a,由。〃=孚,1.

222

\7

』x()+22G+』X()

PHAC=叵

得sina=|cos(DH,AC)|=222

\DHIIACI

2

直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为y-

iC4、

(2)由(1)得B",OB=(2,0,0).

设平面BDH的法向量为“=(百,乂,zj,

.=0,即1-%+百y+3Z1=0,

nDB=0,(2^=0

令4=L得〃=(0,-6,1).

由互>_L平面A6QZ得平面BCD的法向量=(0,0,—3).

nil,6n-ED0x0+(-V3)x0+lx(-3)1

则cos〈〃,ED)=-------=-----------------------=-―•

\n\\ED\2x32

由图3—26可知二面角〃一BO—C为锐角,.•.二面角H—一C的大小为60°.

四、难题攻略

【例】

(2018年高考数学全国卷II理科第20题)如图3-27所示在三棱锥P-ABC中,AB=8C=

2&,PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

(1)证明:P。，平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M—PA—C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

B

图3-27

【破难析疑】

第（1）问，证明直线与平面垂直主要是通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直，而直线

与直线垂直的证明通常可利用勾股定理、等腰三角形三线合一等知识来完成，本小题首先利用

等腰三角形的性质可得POLOB,利用勾股定理证明08,然后结合线面垂直的判定定

理可证得结果，当然也可通过证明三角形全等来解决.第（2）问，处理空间直线与平面所成

角、二面角问题可以运用立体几何的方法，也可以利用向量来解决，即根据（1）中的垂直关

系建立空间直角坐标系，设出点例（含有参数）的坐标，根据已知条件求得此参数，然后求

解。

【解】：（1）【证法一】4?=€7>=4。=4,。为4。的中点,，0尸_14（?,且。?=26.连接

08,48=BC=^^AC,.「ABC为等腰直角三角形，且O8_LAC,O8=，AC=2,由

22

OP2+OB2=PB2知POL08.由OP_LOB,OP_L4C,O8cAC=C^n户O_L平面ABC.

【证法二】如图3-28所示，联结30,由PA=PB=PC=AC=4A8=8C=2>/5,得

AB'BC?=AC2,.ABC是以8为直角顶点的直角三角形。

又O为AC的中点，有OA=OB=OC=2,可得二POA且_POB^_POC.

在4aAe中，B4=PCO为AC的中点，得PO_LAC,则.又ACu平面

ABC,08u平面ABC,ACBO=O,故有尸。J•平面ABC.

B

图3-2S

（2）【解法一】如图3-29所示，取"的中点〃，联结C”,则C〃=2G.过C作平面2M的垂

线，垂足记为T（垂足T在平面PAM内）.连接HT，则NCHT即为二面角M-PA-C的平面角,

即NCHT=30°,得CT=6

连接PT,则NCPT为直线尸C与平面Q4M所成的角，在RAM中,

PC=ACT=&.sinNCPT=—.

图3-29

【解法二】由(1)知POJ•平面ABC,可得平面尸AC_L平面ABC,如图3-30所示，在平面

A8C内作的V_L4C,垂足为N,则MN_L平面B4c.

在平面24c内作NF_LAP,垂足为