江西省南昌市三校联考2023-2024学年高一上数学期末综合测试试题含解析

江西省南昌市三校联考2023-2024学年高一上数学期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．已知全集，，，则集合A. B.C. D.2．已知函数可表示为1234则下列结论正确的是（）A. B.的值域是C.的值域是 D.在区间上单调递增3．圆的半径为，该圆上长为的弧所对的圆心角是A. B.C. D.4．函数在区间上的最小值是A. B.0C. D.25．设全集，集合，则（）A. B.C. D.6．设角的终边经过点，那么A. B.C. D.7．已知命题，则为（）A. B.C. D.8．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）A类轮胎：94，96，99，99，105，107B类轮胎：95，95，98，99，104，109根据以上数据，下列说法正确的是（）A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D.A类轮胎的性能更加稳定9．给出下列四个命题：①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥其中正确的命题个数是（）A.0 B.1C.2 D.310．命题“”否定是（）A. B.C. D.11．“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（）A.1 B.4C.1或4 D.2或4二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________14．在直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于_________.15．已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为______16．在平面四边形中，，若，则__________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知函数（I）求函数图象的对称轴方程；（II）求函数的最小正周期和值域.18．设函数.（1）若，且均为正实数，求的最小值，并确定此时实数的值；（2）若满足在上恒成立，求实数的取值范围.19．已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程20．已知函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=-（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）比较f（2）与f（-3）大小；（Ⅱ）设g（x）=2（1-3a）ex+2a+（其中x＞0，a∈R），若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．21．已知函数.（1）求其最小正周期和对称轴方程；（2）当时，求函数的单调递减区间和值域.22．化简求值：（1）已知都为锐角，，求的值；（2）.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、D【解析】因为A∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.考点：集合的运算.2、B【解析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.详解】A.，所以该选项错误；B.由表得的值域是，所以该选项正确；C.由表得的值域是，不是，所以该选项错误；D.在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.故选：B【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.3、B【解析】由弧长公式可得：，解得.考点：弧度制.4、A【解析】函数，可得的对称轴为，利用单调性可得结果【详解】函数，其对称轴为，在区间内部，因为抛物线的图象开口向上，所以当时，在区间上取得最小值，其最小值为，故选A【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析的对称轴，属于基础题．若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.5、A【解析】根据补集定义计算．【详解】因为集合，又因为全集，所以，.故选：A.【点睛】本题考查补集运算，属于简单题．6、D【解析】由题意首先求得的值，然后利用诱导公式求解的值即可.【详解】由三角函数的定义可知：，则.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查由点的坐标确定三角函数值的方法，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、D【解析】由全称命题的否定为存在命题，分析即得解【详解】由题意，命题由全称命题的否定为存在命题，可得：为故选：D8、D【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.【详解】解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为，B类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确故选：D9、B【解析】利用几何体的结构特征，几何体的定义，逐项判断选项的正误即可【详解】解：①底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱；所以①不正确；②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；满足多面体的定义，所以②正确；③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；不满足直棱柱的定义，所以③不正确；④直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．所以④不正确；故选：B10、A【解析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案【详解】全称命题的否定为特称命题，命题“”的否定是，故选：A11、B【解析】先根据“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立”得0<a<1【详解】设p：“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立则由p知一元二次函数y=x2-2ax+a的图象开口向上，且所以对于一元二次方程x2-2ax+a=0必有解得0<a<1，由于0,1⊊所以“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立”故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）若p是q充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）若p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含12、C【解析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为，由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，又由弧长公式，可得，即，当时，可得；当时，可得，故选：C.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、2.【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果详解：由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90，所以展开图中∠PSC＝90°，根据勾股定理求得PC＝2，所以小虫爬行的最短距离为2.故答案为2点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决三、14、【解析】如图以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.【详解】解：因为三棱柱为直三棱柱，且，所以以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系,设，则，所以，所以，因为异面直线所成的角在，所以异面直线与所成的角等于，故答案为：【点睛】此题考查异面直线所成角，利用了空间向量进行求解，属于基础题.15、【解析】由基本不等式求得的最小值，解不等式可得的范围【详解】∵，，，，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为8，由解得，故答案为：16、##1.5【解析】设，在中，可知，在中，可得，由正弦定理，可得答案.【详解】设，在中，，，，在中，，，，，由正弦定理得：，得，.故答案为：.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（I）（II）周期为，值域为【解析】（I）化简得，进而可求解（II）化简，进而可求解【详解】（I）因为，，所以，由得，对称轴为（II）因为，所以，，周期为，值域为【点睛】方法点睛：需要利用三角公式“化一”，进一步研究正弦型函数的图象和性质，达到解题目的18、（1）的最小值为3，此时；（2）【解析】（1）由可得，则由结合基本不等式即可求出；（2）不等式恒成立等价于对恒成立，利用判别式可得对恒成立，再利用判别式即可求出的范围.【详解】（1），则，，当且仅当，即时等号成立，的最小值为3，此时；（2），则，即对恒成立，则，即对恒成立，则，解得.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.19、（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25（2）yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0【解析】（1）设圆心C（a，b），半径为r，然后根据条件建立方程组求解即可；（2）分直线l经过原点、直线l不经过原点两种情况求解即可.【小问1详解】根据题意，设圆心C（a，b），半径为r，标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上，则有，解可得，则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，小问2详解】若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：①直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有5，解得k，此时直线l的方程为yx；②直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y﹣m＝0，则有5，解得m＝7+5或7﹣5，此时直线l方程为x+y+57＝0或x+y﹣57＝0；综合可得：直线l的方程为yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝020、（I）；（II）.【解析】（Ⅰ）由偶函数在时递减，时递增，即可判断（2）和的大小关系；（Ⅱ）由题意可得在时有且只有一个实根，可得在时有且只有一个实根，可令，则，求得导数判断单调性，计算可得所求范围【详解】解：（Ⅰ）函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=-，可得f（x）在x＜0时递减，x＞0时递增，由f（-3）=f（3），可得f（2）＜f（3），即有f（2）＜f（-3）；（Ⅱ）设g（x）=2（1-3a）ex+2a+（其中x＞0，a∈R），若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点，即为2（1-3a）ex+2a+=-在x＞0时有且只有一个实根，可得3a=在x＞0时有且只有一个实根，可令t=ex（t＞1），则h（t）=，h′（t）=，在t＞1时，h′（t）＜0，h（t）递减，可得h（t）∈（0，），则3a∈（0，），即a∈（0，）另解：令t=ex（t＞1），则h（t）==1+，可令k=4t+7（k＞11），可得h（t）=1+，由3k+在k＞11递增，可得h（t）在k＞11递减，可得h（t）∈（0，），则3a∈（0，），即a∈（0，）【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查函数方程的转化思想，以及构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21、（1）最小正周期为，对称轴方程；（2）单调递减区间为，值域为.【解析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的