2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案8.8《解析几何压轴大题的解题策略指导》 (原卷版)

页第八节解析几何压轴大题的解题策略指导第1课时审题上——4大策略找到解题突破口解析几何研究的问题是几何问题，研究的方法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在．突破解析几何难题，先从找解题突破口入手．策略一垂直关系的转化[典例]如图所示，已知圆C：x2＋y2﹣2x＋4y﹣4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[名师微点](1)以AB为直径的圆过原点等价于eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→))，而eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→))又可以“直译”为x1x2＋y1y2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．(2)几何关系“直角”坐标化的转化方式①点B在以线段F1F2为直径的圆上；②eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0；③kF1B·kF2B＝﹣1；④勾股定理．以上关系可相互转化．[针对训练]1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且其离心率为eq\f(1,2)，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．策略二角平分线条件的转化[典例]已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(﹣1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．[名师微点]本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y1，y2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．[针对训练]2.椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点(eq\r(2)，0)，左、右焦点分别是F1，F2，P点在椭圆上，且满足∠F1PF2＝90°的P点只有两个．(1)求椭圆C的方程；(2)过F2且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N(n,0)，使得∠ANB的角平分线是x轴？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．策略三弦长条件的转化[典例]如图所示，已知椭圆G：eq\f(x2,2)＋y2＝1，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；(2)是否存在直线l，使得|AM|2＝|CM||DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[名师微点]本题(2)的核心在于转化|AM|2＝|CM||DM|中弦长的关系．由|CM|＝|OC|﹣|OM|，|DM|＝|OD|＋|OM|，又|OC|＝|OD|，则|AM|2＝|OC|2﹣|OM|2.又|AM|＝eq\f(1,2)|AB|，|OC|＝eq\f(1,2)|CD|，因此|AB|2＝|CD|2﹣4|OM|2，转化为弦长|AB|，|CD|和|OM|三者之间的数量关系，易计算．[针对训练]3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(t)))在抛物线C上，且|QF|＝eq\f(3,2).(1)求抛物线C的方程及t的值；(2)若过点M(0，t)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且S△AOB＝eq\r(3)S△MON，求直线l的方程．策略四面积条件的转化[典例]设椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆交于E，F两点，求四边形AEBF的面积的最大值．[名师微点]如果利用常规方法理解为S四边形AEBF＝S△AEF＋S△BEF＝eq\f(1,2)|EF|·(d1＋d2)(其中d1，d2分别表示点A，B到直线EF的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出|EF|的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF的面积拆成两个小三角形——△ABE和△ABF的面积之和，则更为简单．因为直线AB的方程及其长度易求出，故只需表示出点E与点F到直线AB的距离即可．[针对训练]4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)右焦点F(1，0)，离心率为eq\f(\r(2),2)，过F作两条互相垂直的弦AB.(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围．[总结规律·快速转化]做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种常见几何条件的转化，以供参考：1．平行四边形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相平分中点重合2.直角三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边垂直斜率乘积为﹣1，或向量数量积为0(2)勾股定理两点间的距离公式(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)两点间的距离公式3.等腰三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边相等两点间的距离公式(2)两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反(3)三线合一(垂直且平分)垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式4．菱形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相垂直平分垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式、中点重合5.圆条件的转化几何性质代数实现(1)点在圆上点与直径端点向量数量积为零(2)点在圆外点与直径端点向量数量积为正数(3)点在圆内点与直径端点向量数量积为负数6．角条件的转化几何性质代数实现(1)锐角、直角、钝角角的余弦(向量数量积)的符号(2)倍角、半角、平分角角平分线性质，定理(夹角、到角公式)(3)等角(相等或相似)比例线段或斜率eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝6y与直线l：y＝kx＋3交于M，N两点．(1)设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1与d2的乘积为定值；(2)y轴上是否存在点P，当k变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长为2eq\r(2)，离心率为eq\f(\r(6),3)，点A(3,0)，P是C上的动点，F为C的左焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值．3．双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.4．已知椭圆W:eq\f(x2,4m)＋eq\f(y2,m)＝1的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(n,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)当n＝0，且直线CD⊥x轴时，求四边形ACBD的面积；(2)设n＝1，直线CB与直线x＝4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．5．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F(﹣1,0)，过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M(﹣4,0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，证明：∠FMA＝∠FMB.6．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，A，B是椭圆上关于原点O对称的两个动点，当点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(14),2)))时，△ABF的周长恰为7eq\r(2).(1)求椭圆的方程；(2)过点F作直线l交椭圆于C，D两点，且eq\o(CD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))(λ∈R)，求△ACD面积的取值范围．第2课时解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．因此，本讲从以下5个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题．技法一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例]如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D．eq\f(\r(6),2)[名师微点]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[针对训练]1．已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝12．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(﹣m,0)，则eq\f(|PF|,|PA|)的最小值为________．技法二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例]已知P是圆C：(x﹣2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为()A.eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C.eq\f(3,8)D．eq\f(1,2)[名师微点](1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地利用根与系数的关系用PA，PB的斜率把A，B的坐标表示出来，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中设而不求的方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[针对训练]3．过点M(1,1)作斜率为﹣eq\f(1,2)的直线与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．技法三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例]设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞eq\r(3).[名师微点]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[针对训练]4．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x﹣5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．技法四妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例]如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝eq\f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．[名师微点]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[针对训练]5.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2,0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝eq\f(8,3)相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点．技法五巧用“韦达”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例]已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[名师微点]本例在第(2)问中应用了根与系数的关系求出xM＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[针对训练]6．已知椭圆E：eq\f(x2,t)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为eq\r(3)的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为()A.eq\r(5)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．2eq\r(2)2．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq\o(BA,\s\up7(→))＝2eq\o(AF,\s\up7(→))，且|eq\o(BF,\s\up7(→))|＝4，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,6)﹣eq\f(y2,5)＝1B．eq\f(x2,8)﹣eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,8)﹣eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,6)＝13．已知直线y＝2x＋m与椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|＝()A.eq\f(5\r(42),21)B．eq\f(\r(210),21)C.eq\f(2\r(42),7)D．eq\f(3\r(42),7)4．记双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0))的左焦点为F，双曲线C上的点M，N关于原点对称，且∠MFN＝eq\f(3,4)∠MOF＝90°，则eq\f(b2,a2)＝()A．3＋2eq\r(3)B．4＋2eq\r(3)C．3＋eq\r(3)D．4＋eq\r(3)5．椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上存在两点A，B，且A，B关于直线4x﹣2y﹣3＝0对称，若O为坐标原点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))))＝()A．1B．eq\r(3)C.eq\r(5)D．eq\r(7)6．已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，直线l与抛物线交于相异两点A，B，若△MAB的内切圆圆心为(1，t)，则直线l的斜率为________．7．已知直线x＋2y﹣3＝0与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x﹣4y＋1＝0，则此椭圆的离心率为________．8.如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点M与F关于坐标原点O对称，过F的直线与抛物线交于A，B两点，使得AB⊥BM，又A点在x轴上的投影为C，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC))﹣eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))﹣eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))＝________.9．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F为抛物线y2＝4x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动点，且线段PQ长度的最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面积的最小值．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))的值；(2)如果eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．第3课时题型上——全析高考常考的6大题型题型一圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．[典例]已知A，B分别为椭圆E：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)的左、右顶点，G为E的上顶点，eq\o(AG,\s\up7(→))·eq\o(GB,\s\up7(→))＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．[方法技巧]求解圆锥曲线中定点问题的2种方法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．(2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．[针对训练]1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))在椭圆上，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M(t,2)(t≠0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．2．已知双曲线C：eq\f(x2,4)﹣y2＝1.(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．题型二圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量斜率、距离、面积、比值等与变量斜率、点的坐标等无关的问题.其求解步骤一般为：,一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等.,二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量或者有多个变量，但是能整体约分也可以.,三定值：化简式子得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值.[典例]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点A(2,1)．(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．[方法技巧]圆锥曲线中定值问题的特点及2大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：其解题流程为[针对训练]设椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)若eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，求l的方程；(2)设过点A作x轴的垂线交C于另一点P，若M是△PAB的外心，证明：eq\f(|AB|,|MF|)为定值．题型三构造目标不等式解决范围问题欲求变量的取值范围，可设法构造含有变量的不等式组，通过解不等式组来达到目的.[典例]已知点A，B分别为椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，点P(0，﹣2)，直线BP交E于点Q，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(QB,\s\up7(→))，且△ABP是等腰直角三角形．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．[方法技巧]圆锥曲线中范围问题的5个解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[针对训练]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a，2eq\r(5))在抛物线C上．(1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程；(2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于eq\r(2)，求p的取值范围．题型四构造函数模型解决最值问题若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，常构建的函数模型有：1二次型函数；2双曲线型函数；3多项式型函数.[典例]已知点A(﹣2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为﹣eq\f(1,2).记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．[方法技巧]求解圆锥曲线中最值问题的2种方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．[针对训练]如图，已知抛物线x2＝y.点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x，y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(3,2)))，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．题型五圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．[典例]如图，已知椭圆P：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴A1A2的长为4，过椭圆的右焦点F作斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于B，C两点，直线BA1，BA2的斜率之积为﹣eq\f(3,4).(1)求椭圆P的方程；(2)已知直线l：x＝4，直线A1B，A1C分别与l相交于M，N两点，设E为线段MN的中点，求证：BC⊥EF.[方法技巧]圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．[针对训练]如图，菱形ABCD的面积为8eq\r(2).eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝﹣4，斜率为k的直线l交y轴于点P，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))，以线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆与直线l相交于M，N两点(M与A在x轴同侧)．(1)求椭圆的方程；(2)求证：AN与CM的交点在定直线y＝1上．题型六圆锥曲线中的存在性问题存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.[典例]已知曲线C上动点M与定点F(﹣eq\r(2)，0)的距离和它到定直线l1：x＝﹣2eq\r(2)的距离的比是常数eq\f(\r(2),2)，若过P(0,1)的动直线l与曲线C相交于A，B两点．(1)说明曲线C的形状，并写出其标准方程；(2)是否存在与点P不同的定点Q，使得eq\f(|QA|,|QB