大学-数学物理方法学习教案

§1-3复变函数的导数与解析性、保角映射解析函数：亦称全纯〔holomorphic〕函数，正那么〔regular〕函数，单演〔monogenic〕函数主要内容： 1、导数C—R条件2、解析性、解析函数3、保角性、二维调和函数与平面标量场重 点： C—R条件、解析函数难 点： 解析函数应用于平面标量场复变函数的导数 C—R条件1、复变函数的导数定义：设是定义在区域D内的单值函数，如果对D内某一点，极限存在，我们就说在点可导，这个极限叫做在点的导数，记作或。即：要求：在复平面上以任意方式趋于零时，均存在且相等，而实函数只要求从和两个方向趋于零。2、函数可导的条件 C—R方程〔Cauchy—Riemann〕〔1〕在点可导〔必要条件〕——C—R方程A．沿平行于实轴的方式趋于零 这时， 故有：B．沿平行于虚轴的方式趋于零 同样有， 故有：C．由A，B可知，在点可导，故有以任意方式时，均有相同的极限，所以有： 由复数相等的充要条件有：C—R方程〔2〕函数可导的充分—必要条件定理1：如果在区域D内有定义，那么在D内的一点可导的充分必要条件为：函数在点可微，且满足C—R方程。或者：四个偏导数在点存在且连续，并满足C—R方程。证明：见教材P20—P21。复变函数的解析性解析定义：如果复变函数在区域D内处处可导，那么称它在D内解析，或称为D内的解析函数。注：函数在某一点解析，一般指在及其邻域内是可导的，是指一定的区域。假设在不解析，那么称为在某区域的奇点。如果要讨论函数在点是否解析，可作，再讨论在点是否解析即可。定理：如果函数在区域D内有定义，那么它在D内解析的充分必要条件为：的实部及虚部在D内是可微的，且满足C—R方程。解析函数的根本性质①②③④一些特殊函数的导数：C—R方程直角坐标系下的C—R方程，这两个关系式也可通过以下方式得到：美国1946年版LouisA.Pipes著《AppliedMathematicsforEngineersandPhysicists》陈述如下：记如果要求唯一，那么它必须与趋于0的方式无关，即必须与无关，所以有：即有：，或由此可得到C—R方程。极坐标系下的C—R方程极坐标系下有：C—R方程为：证法1：考虑和之间的关系。因为：所以有：可以求得：由于在直角坐标系下有：所以有： ①②由①×+②×得到：由①×-②×得到：，得证。证法2：直接考虑在极坐标系中沿径向和角向变化的情况，即：沿径向：，所以沿角向：所以：所以有：C—R方程一般的形式。在平面自然坐标系下，过点的一条曲线，在该点的法向分量和切向分量分别为：、，那么解析函数在点满足：C—R方程的复数形式以和代替作为独立变量，那么有：利用有：假设满足C—R方程，那么有：即有结论：假设不显含，那么它为解析函数。例如：，含有，故可断定它不是解析函数。 而像等均不显含，它们都是解析函数。复变函数导数的几何意义及解析函数所实现的映射的保角性复变函数导数的几何意义是平面到平面的一个映射，而在平面上表示平面上由指向的一个矢量〔〕，那么，表示的长度，表示与水平线夹角。同样，在平面上，有。所以：，这样导数的几何意义为：模：，表示与在时的模的伸缩比。幅角：，表示在、点两根切线与水平线间的夹角之差，即幅角的偏转。由解析函数所实现的映射的保角性保角定理：在区域D内解析的函数所实现的由平面到平面的映射在的点具有保角性质。由复变函数的几何意义知为平面到平面的一个映射，而其导数的几何意义对幅角：。而对： 对：又因为解析函数在的导数值与沿什么方向趋于无关，所以对〔其他无穷多条曲线〕而言，幅角应相等，即：所以：解析函数的实部或虚部及初始条件，求解析函数如果，求①，求 因为： 所以：②，求 同理： 所以：端点固定，积分值与积分路径是否有关？由格林公式可知：与路径无关的条件为：在路径所包围的区域上〔包含路径在内〕偏导数连续，且满足条件。对上面的问题有：或者是否等于零，由后面的二维调和函数可知和对解析函数是成立的。即积分端点固定，积分值与积分路径无关。求解方法例题：，求解析函数解法1：全微分法〔适合比拟简单的函数〕 所以： 那么： 解法2：曲线积分法 由于积分路径可以直接选取，一般选 即：解法3：不定积分法，所以那么，由和上式可知所以：问题：假设的形式，求解析函数含的形式的方法方法1：将代入，假设为解析函数，那么化简后必不含，即得到含的形式，此方法总是有效的。方法2：从形式上看有：所以：比方说上面的例子有：例题：解析函数的实部，，求解：， 而考虑到，有：所以：方法1：将代入上式可求得：方法2：解析函数实部与虚部的性质1、解析〔analytic〕函数实部与虚部互为共轭的调和〔harmonic〕函数设复变函数在平面的区域D内解析，那么满足C—R条件那么：，方程称为二维Laplace方程。满足Laplace方程的函数，称为二维调和函数。所以为二维调和函数；同理，，也为二维调和函数。假设均为调和函数，且满足C—R条件，称为共轭的调和函数。所以解析函数的实部与虚部互为共轭的调和函数。2、平面上解析函数的为相互正交的曲线族用矢量正交概念说明：的切线的方向矢量为，同样的切线的方向矢量为，而所以，在平面上解析函数与为相互正交的曲线族。平面标量场1、研究背景物理上及工程技术上常常要研究各种各样的场，例如电磁场、声场、温度场等，通常这些场随时间空间而变。假设场与时间无关，那么称为恒定场，例如静电场、流体中的定常流速场等。假设场在空间某方向上是均匀的，那么只需要在垂直于该方向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。2、平面静电场①在没有电荷的区域，静电场的电势满足二维Laplace方程。Hamilton算符Laplace算符由高斯定理有：又因为：代入得：假设电荷体密度，那么电势满足，即Laplace方程；假设，那么方程称为Poisson方程。②解析函数的实部与虚部均可表示电势，故常把解析函数称为平面静电场的复势，为方便计，常称为电势，因为正交，称为电场强度。3、平面无旋液流由于没有涡旋，速度矢量可以表为某个标量的梯度，这个标量叫做速度势，在没有源和汇的区域上，速度势满足Laplace方程，因此某个区域上的解析函数的实部或虚部总可以表示该区域上某种平面无旋液流的速度势，解析函数就可叫做该平面无旋液流的复势。如设是速度势，那么曲线族就是流线族，为流量函数，它在两点所取值之差就是该两点之间穿过的流量。4、平面温度场在物体的稳定温度分布中，有所谓的平面温度场。均匀物体中的稳定温度分布满足Laplace方程，因此某个区域上的解析函数的实部或虚部总可以表示该区域上某种平面温度场的温度分布。如设是温度分布，那么曲线族就是热流线族，为热流量函数，它在两点所取值之差就是该两点之间穿过的热流量。把叫做等温网。5、例题例1：平面静电场的复势为，求电场线族和等势线族。解：所以：消去：得平面上电场线族方程。消去：得平面上等势线族方程。例2：画出的实部和虚部所表示的曲线图形解：例3：画出的实部和虚部所表示的曲线图形解：例4：平面静电场的电场线族是与实轴相切于原点的圆族，求等势线族，并求此电场的复势。解：由题意知，电场线族的方程为：因为电场线方程应该是“〞，拿这个跟上式比拟，似乎可以得到，但是这是错误的，因为必须满足Laplace方程，必须是调和函数，而并不是调和函数〔设，那么，，所以有：〕我们只能说，，为一个待定的函数关系。将代入 可得到也满足条件，下面具体求解的形式。设，，其中为调和函数。代入Laplace方程有：化简得：积分得：于是可得：， 即等势线族方程为：所以：复势下面为Matlab的画图程序及图形。th=[0:pi/50:2*pi]';a=[-5:0.5:5];X=cos(th)*a;Y=(sin(th)+1)*a;plot(X,Y,'r')holdonplot(Y,X,'b')axis('equal')xlabel('x轴'),ylabel('y轴')title('等势线簇〔blue〕与电场线簇〔red〕')例5：平面静电场的电场线族是抛物线族，求等势线族，并求此电场的复势。解：由电场线族的方程解出，因为并不是调和函数〔设，那么，，所以有：〕所以设，，其中为形式待定的调和函数。代入Laplace方程有：整理有：化简得：积分得：于是可得：下面利用极坐标系来求令，所以， 由极坐标下的C—R方程得：[或者用积分的方法求，] 所以：即等势线族方程为：复势习题P295〔1〕解析函数的实部，，求该解析函数。解：， 考虑到，有：P295〔2〕解析函数的虚部，，求该解析函数。解：， 而考虑到，有：所以： 〔也可以用极坐标形式求解〕P295〔3〕解析函数的实部，，求该解析函数。解：考虑到，有：所以：P295〔4〕解析函数的实部，，求该解析函数。解：因为，令，那么那么 考虑到，积分有：所以：P296等势线的方程为，求复势解：令，那么，，，所以，不是调和函数，并不能表示电势设，，的形式待定。代入Laplace方程有：化简得：积分得：于是可得： 实际上，为直线族。复势下面为Matlab的画图程序及图形。th=[0:pi/50:2*pi]';a=[0:0.5:5];X=cos(th)*a;Y=sin(th)*a;plot(X,Y,'r')holdonc=[-5:0.5:5]';P=[0,0.3927,0