现代控制理论大作业

课题背景2023/12/141两轮自平衡小车的左右轮共轴、独立驱动、整个车身质心根本位于车轮轴正上方，通过车轮前后运动实现动态平衡，并且可以实现直立行走。作为人为驾驶的代步工具，将会使得人们小范围、短距离的上班出行变得更加方便、灵活、环保。课题背景2023/12/142双轮机器人属于动态稳定而静态不稳定的系统，本身具有多变量、非线性、强耦合等特性，它能有效反映诸如稳定性、鲁棒性、随动性等控制理论中的关键问题，对于学生掌握控制系统设计的根本方法十分有帮助，因而具有较大的研究价值。课题背景2023/12/143系统工作原理课题背景2023/12/144系统工作原理前进〔后仰〕前进〔纠正前倾〕后退〔前倾〕后退〔纠正后仰〕由于车身是不断变化，检测、反响就不断随之变化，动态地跟踪车身的倾角状态，使车身一直保持平衡状态，这就是动态自平衡原理。控制对象分析与建模2023/12/145忽略空气阻力后，可以将两轮平衡车抽象成小车和匀质杆组成的系统，如以下图所示：其中，M——小车质量m——摆杆质量b——小车的摩擦系数

l——

摆杆的转动轴心到质心的长度

I——摆杆惯量F——施加给小车的力x——小车的位置

θ——摆杆与垂直向下方向的夹角

φ——摆杆与垂直向上方向的夹角自平衡车系统简图图2小车及摆杆受力分析控制对象分析与建模2023/12/146忽略空气阻力后，可以将两轮平衡车抽象成小车和匀质杆组成的系统，如以下图所示：其中，M——小车质量m——摆杆质量b——小车的摩擦系数

l——

摆杆的转动轴心到质心的长度

I——摆杆惯量F——施加给小车的力x——小车的位置

θ——摆杆与垂直向下方向的夹角

φ——摆杆与垂直向上方向的夹角图1自平衡车系统简图图2小车及摆杆受力分析控制对象分析与建模2023/12/141.分析小车在水平方向所受合力可得：2.分析摆杆在水平方向所受合力可得：(1)(2)3.把〔2〕式带入〔1〕式可得系统的第一个运动方程：(3)4.对摆杆垂直方向受力分析可得：(4)5.把〔4〕式带入〔3〕式可得系统的第二个运动方程：(5)控制对象分析与建模2023/12/146.被控对象的输入力F用u表示，线性化后得到运动方程：(6)7.整理后得到系统状态空间方程：(7)控制对象分析与建模2023/12/146.各物理量取以下数值，得到状态空间矩阵为：M=1.096kgm=0.109kgb=0.1N/(m·s)I=0.034kg·m2l=0.25mg=9.8m/s2状态变量

控制变量

输出变量

状态方程

控制对象分析与建模2023/12/147.能控性和能观性分析：Matlab程序：结论：Rank〔M〕=4系统完全能控Rank〔N〕=4系统完全能观symsImMlbgxfai;M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.034;l=0.25;g=9.8;t=I*(M+m)+M*m*l^2;A=[0,1,0,0;0,-(I+m*l^2)*b/t,m^2*g*l^2/t,0;

0,0,0,1;0,-m*l*b/t,m*g*l*(M+m)/t,0;]B=[0;(I+m*l^2)/t;0;m*l/t;]C=[1,0,0,0;

0,0,1,0;]Uc=ctrb(A,B)Vo=obsv(A,C)rankc=rank(Uc)ranko=rank(Vo)namid=eig(A)计算结果：rankc=4ranko=4稳定性分析2023/12/14运用Matlab解出矩阵A的特征值如下：namid=eig(A)namid=

0-0.0830-2.57822.5769A的特征值中有一个零点和一个整根，故系统的状态是不稳定的。传递函数：阶跃输入的响应曲线

极点配置2023/12/141.状态反响矩阵K的计算该系统不稳定，要使系统稳定，必须重新配置极点，因为状态矩阵完全能控，所以可以采用状态反响来使系统稳定。通过设置不同的极点，可以得到不同的状态反响矩阵，再通过比较不同输入下的响应曲线的响应速度和稳定性，可以得出一组较好的极点以及状态反响矩阵。pole=[-1,-2,-3,-4];K=place(A,B,pole)A1=A-B*K;pole=[-3,-4,-5,-6];K=place(A,B,pole)A2=A-B*K;pole=[-8,-9,-10,-11];K=place(A,B,pole)A3=A-B*K;Matlab计算程序:极点为[-1,-2,-3,-4]时：K1=[-4.3530-9.168880.540631.3573]极点为[-3,-4,-5,-6]时：K2=[-65.2954-62.1306321.1232124.8984]极点为[-8,-9,-10,-11]时：K3=[-1436.5-613.53121.3986.3]计算结果:极点配置2023/12/142.阶跃输入下的响应Matlab计算程序:sys1=ss(A1,B,C,D);curve1=step(sys1);sys2=ss(A2,B,C,D);curve2=step(sys2);sys3=ss(A3,B,C,D);curve3=step(sys3);figure;holdon;plot(curve1(:,1),'color','blue');plot(curve2(:,1),'color','red');plot(curve3(:,1),'color','green');xlabel(‘时间〔s〕');ylabel(‘位移〔m〕');holdofffigure;holdon;plot(curve1(:,2),'color','blue');plot(curve2(:,2),'color','red');plot(curve3(:,2),'color','green');xlabel(‘时间〔s〕');ylabel(‘摆动角度〔rad〕');holdoff极点配置2023/12/142.阶跃输入下不同状态反响矩阵K的响应曲线极点配置2023/12/142.白噪声输入下不同状态反响矩阵K的响应曲线。Matlab计算程序:figurey1=wgn(100,1,0);t=1:100;sys=ss(A,B,C,D);lsim(sys,y1,t);sys1=ss(A1,B,C,D);curve1=lsim(sys1,y1,t);sys2=ss(A2,B,C,D);curve2=lsim(sys2,y1,t);sys3=ss(A3,B,C,D);curve3=lsim(sys3,y1,t);figure;holdon;plot(curve1(:,1),'color','blue');plot(curve2(:,1),'color','red');plot(curve3(:,1),'color','green');xlabel(‘时间〔s〕');ylabel(‘位移〔m〕');holdofffigure;holdon;plot(curve1(:,2),'color','blue');plot(curve2(:,2),'color','red');plot(curve3(:,2),'color','green');xlabel(‘时间〔s〕');ylabel(‘摆动角度〔rad〕');holdoff极点配置2023/12/142.白噪声输入下不同状态反响矩阵K的响应曲线状态观测器设计2023/12/14系统能观，故可以设计状态观测器。设置极点设为-2,-3,-4,-51.全维状态观测器Matlab计算程序:全维观测器方程:A=[0100;0-0.08430.15020;0001.0000;0-0.05636.64370;]C=[1,0,0,0;

0,0,1,0;]op=[-2,-3,-4,-5];G=(place(A,C',op))‘;G=[3.998,-0.003487603.4,