现代设计题目

1．优化数学模型的三要素。2．什么是可行域？什么是非可行域？3．给出具体的问题，建立其优化数学模型。4．三种常用的迭代收敛准那么。第一章优化设计概述

重点内容第一章第三节优化设计问题的数学模型第一章练习1.一根长的铅丝截成两段，一端弯成圆圈，另一端弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化问题的数学模型。3.有两产品A和B，需要在两个车间加工。每件产品A在第一车间的处理时间为1小时，在第二车间处理时间为1.25小时；每件产品B在第一车间的处理时间为1小时，在第二车间的处理时间为0.75小时。每个车间每月有200小时的时间可以利用，而且B产品的市场需求量最大为150件，假定A产品和B产品的利润每件分别为￥4和￥5。确定使生产商的利润最大时A产品和B产品的生产量。写出这一问题的优化模型。4.机械厂可生产假设干种零件。某一零件的日需求量A件，轮换到生产该零件时因更换设备要付生产准备费B元〔与生产数量无关〕。零件的存贮费每日每件C元。假设不允许出现缺货，且生产能力远大于需求，即：缺货时立即生产出来产品来供给需求。试安排该产品的生产方案，即多少天生产一次〔称为生产周期〕，每次产量多少，可使总费用最小。〔提示：定义在一个生产周期内每天的平均费用最小为优化的目标，生产周期为设计变量，且模型中出现的变量均暂可作为连续量处理。〕第一章第三节优化设计问题的数学模型第一章练习5.巡航导弹在飞行过程中，能够收到地面上一些监控台发来的关于导弹当前位置的信息，根据这些信息可以较精确地确定导弹的位置。如下图，VOR为高频导航设备，它能够得到角度信息。DME为测距仪，它能够得到距离信息。图中导弹接收到了来自3个VOR给出的角度和2个DME给出的距离，这5种设备的x，y坐标见括号内。假设巡航导弹和这些设备是在同一个平面上，请建立求解导弹精确位置〔x,y〕的优化数学模型〔以与这些设备测得值误差最小的导弹坐标作为导弹的精确位置〕。第一章练习第一章第三节优化设计问题的数学模型计算多元函数的梯度与方向导数。

2.证明:目标函数在某点处的梯度是该目标函数等值线或超

曲面在该点的法向量

3.多元函数的泰勒展开式，取到二次项。

4.证明：驻点为极小点的充要条件为，海赛矩阵正定。

5.元函数求其极值点和极值。〔先求驻点，再判断海赛

矩阵〕

6.凸函数凸集的定义，性质

7.拉格朗日乘子法

8.库恩-塔克条件判断约束极值点第二章

优化设计的数学根底

重点内容第二章练习求解二元函数f(x1,x2)在x0=[1，2]T处函数变化率最大的方向和数值。求解二元函数f(x1,x2)在x0=[1，2]T处的二阶泰勒展开式。3.二元函数求极值点和极值，〔先求驻点，再判断是否极值点〕4.5.1.0.618的来历2.黄金分割法3.牛顿法迭代公式的推导4.牛顿法迭代法第三章一维搜索方法

重点内容1.用黄金分割法求函数f(x)=x2-3x+5在区间[1，1.8]中的极小点，迭代终止使用点距准那么,ε=0.3。第三章练习2.用0.618法对函数f(X)=x12+25x22，从起点X=沿方向进行一维搜索，a=0,b=0.1,要求精度，步长h=0.02。〔可编程〕解析解：第三章练习3.用牛顿法求极小点，f(α)=α4-4α3-3α+5，初始点α0=2.5，迭代终止使用点距准那么,ε=0.2。4.用二次插值法求迭代两次后的极小点，f(α)=sinα，初始区间[4,5]。5.1。梯度法的求解2．原始牛顿法的迭代公式3．阻尼牛顿法的迭代公式，阻尼牛顿法求优题目4．共轭的定义，原始共轭方向的产生5．鲍威尔法对原始共轭方向的改进6．共轭梯度法求优题目7．共轭方向与梯度的关系8．二次函数的海赛矩阵G的逆矩阵如何通过尺度变换矩阵逼近得到？9．为使拟牛顿方向沿着目标函数下降的方向，证明H(k)必为对称正定矩阵。10．DFP法求解优题目，〔DFP法求H(k)的公式不需要记〕第四章重点内容第四章练习2.1.第四章练习3.4.5.必须是正定对称矩阵，才能保证拟牛顿法搜索方法是函数下降的方向。夹角就为锐角。由沿方向具有下降的性质与代入证明：由于为使拟牛顿搜索方向朝着目标函数值下降的方向，必须为对称正定矩阵（）第四章第七节变尺度法〔拟牛顿法〕6.第四章练习

搜索方向计算工作量小 大迭代点远离最优点 函数下降快函数下降慢迭代点接近最优点 函数下降慢函数下降快梯度法阻尼牛顿法比较梯度法和牛顿法迭代公式:第四章第七节变尺度法〔拟牛顿法〕直接法：变量轮换法，原始共轭方向、鲍威尔法间接法：梯度法、牛顿法、变尺度法多变量无约束优化方法的总结第四章多变量无约束优化方法的总结第四章多变量无约束优化方法的总结第四章多变量无约束优化方法的总结例：用阻尼牛顿法求函数的极小点，

解：为最佳步长因子，由极值条件定第四章第四节牛顿型法第四章第四节牛顿型法或∴

第四章第四节牛顿型法例4—3求的一组共轭向量系d0,d1,d2。第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法解：选三个坐标轴上的单位向量作为一组线性无关向量系第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法例4-6用鲍威尔法求函数的极小值。

解：初始搜索方向初始点处的函数值第一轮迭代：初始点

第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法1〕沿方向进行一维搜索，得最正确步长可通过得第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法2〕再沿方向进行一维搜索，得最正确步长的计算可根据从而算出点处的函数值及沿搜索后函数值的下降量第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法得从而算出第一轮终点处的函数值及沿搜索后的函数值下降量取沿、搜索后函数值下降量中的最大者初始点关于终点的反射点及其函数值为第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法3)为确定下一轮迭代的搜索方向和起始点，需检查判别条件

和是否满足。因为，所以不满足判别条件，因而下轮迭代应继续使用原来的搜索方向、。因为，所以取为下轮迭代起始点。第二轮迭代：第二轮初始点及其函数值为第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法映射点1〕沿方向〔即轴方向〕进行一维搜索，相当于固定，改变使函数的值极小。设计点位置可通过函数对的偏导数等于零求得，即得点处的函数值及函数值下降量分别为第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法2〕再沿方向〔即轴方向〕进行一维搜索，相当于固定，改变使函数的值极小。设计点位置可通过函数对的偏导数等于零求得，即得第二轮终点处的函数值及沿方向函数值下降量分别为第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法沿、方向，函数值增量最大者为e1方向初始点关于终点的反射点及其函数值分别为第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法3〕为确定下轮迭代的搜索方向和起始点，需检查判别条件和经代入运算，判别条件满足，应进行方向替换。

。用新方向替换，下轮迭代搜索方向为、下轮迭代起始点为，沿方向一维搜索。第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法通过求得

因此，下轮迭代初始点及其函数值为可见已足够接近极值点及极小值

第四章第五节共轭方向法和鲍威尔法例4—4用共轭梯度法求初始点的极小点解：初始搜索方向沿该方向进行一维寻优带入函数公式，求驻点第四章第六节共轭梯度法建立第二个搜索方向沿该方向进行一维寻优第四章第六节共轭梯度法计算x2点处的梯度计算x2点处的海赛矩阵其一阶主子式=2>0其二阶主子式=2x4-〔-2〕x〔-2〕=4>0所以，x2点的海赛矩阵正定，x2点为极小点。第四章第六节共轭梯度法例:用DFP算法求

的极值解。

解1〕为了按DFP法构造第一次搜寻方向d0,需计算初始点处的梯度。取初始变尺度矩阵为单位矩阵，H0=I，那么第一次搜寻方向为第四章第七节变尺度法〔拟牛顿法〕沿d0方向进行一维搜索，得其中，α0为一维搜索最正确步长，应满足求一阶导数为零，得2〕再按DFP法构造x1点处的搜索方向d1，需计算第四章第七节变尺度法〔拟牛顿法〕代入校正公式〔4-24〕第四章第七节变尺度法〔拟牛顿法〕那么第二次搜寻方向为再沿d1进行一维搜索，得其中α1为一维搜索最正确步长，应满足得第四章第七节变尺度法〔拟牛顿法〕3〕为了判断x2点是否为极值点，需计算x2点处的梯度及其海赛矩阵。梯度为零向量，海赛矩阵正定。可见x2点满足极值充要条件，因x2为极小点。此函数的极值解为第四章第七节变尺度法〔拟牛顿法〕1.随机方向法的算法原理2．复合形法的搜索方法：反射，扩张，收缩，压缩3.产生可行方向应满足什么条件？4.可行方向法将非行点返回到约束面上的步长求解思路5．可行方向的产生方法有哪两种？6．可行方向法的计算思路7．内点、外点、混合惩罚函数法求约束优化问题的方法。8．外推法的思想第五章重点内容第五章练习2．用外点惩罚函数法求解以下数学规划问题的约束最优点。〔无约束寻优局部用解析法〕。1．例6-2求约束优化问题的最优解kx1x2f（x）0-2.02.06.01-0.1681.1171.1964-0.0331.0241.0257-0.1140.7170.73010-0.077-2.998-2.99713-0.002-3.0-3.0第五章第二节随机方向法例：用复合形法求解约束优化问题kx1x2f（x）0814265104.35216.901643.57084205.353146.682381.98728305.586.060630.38513…………675.219756.062530.06393第五章第三节复合形法减号的情况舍去，不满足约束条件g(x)例1：用内点法求以下问题的约束最优解构造惩罚函数由∴得极值点第五章第五节惩罚函数法

r(k)10.10.010.001…0

x*(r(k))21.3161.11.0321

ф(x*,r(k))31.6321.21.0631如下图，沿ф(x*,r(k))=2x*-1逐渐逼近.x*(r(k))

x*=1第五章第五节惩罚函数法减号的情况舍去，不满足约束条件g(x)例2内点法解问题：解：构造内点惩罚函数解析法求该惩罚函数的极小值第五章第五节惩罚函数法rx*(r)Φ(x*(r))4[20]T41.2[1.4220]T2.0220.36[1.1560]T1.3360

[10]T

1第五章第五节惩罚函数法例4用外点法求问题惩罚函数：

的约束最优解第五章第五节惩罚函数法从可行域外逼近最优点x*=1。rx*(r)Φ(x*(r))0.3[0.2310]T0.0531.5[0.60]T0.367.5[0.8820]T0.78

∞

[10]T

1第五章第五节惩罚函数法例5试求点集A(x1,x2,x3)和点集B(x4,x5,x6)之间最短距离，约束条件为优化问题数学模型为：第五章第五节惩罚函数法解：用混合法求解，取最优解