适用于老高考旧教材广西专版2023届高考数学二轮总复习第二部分5.2空间中的平行与垂直课件理

5.2空间中的平行与垂直专题五内容索引0102考情分析•备考定向高频考点•探究突破03预测演练•巩固提升考情分析•备考定向试题统计题型(2018全国Ⅰ,理12)

(2018全国Ⅰ,理18)(2018全国Ⅱ,理9) (2018全国Ⅱ,理20)(2018全国Ⅲ,理19) (2019全国Ⅰ,理18)(2019全国Ⅱ,理17) (2019全国Ⅲ,理8)(2019全国Ⅲ,理19) (2020全国Ⅰ,理18)(2020全国Ⅱ,理16) (2020全国Ⅱ,理20)(2021全国甲,理19) (2022全国乙,理7)(2022全国甲,理7)选择题填空题解答题命题规律复习策略高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式:一是对命题真假的判断,通常以选择题、填空题的形式考查,难度不大,也不是高考的热点;二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明,常以柱体、锥体为载体,为中档偏难题,是高考的热点.预计随着高考对能力要求的不断加强,今后对空间中平行、垂直关系及体积中的探索性问题的考查会逐渐升温.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是空间中的平行、垂直关系及体积中的探索性问题.高频考点•探究突破命题热点一线线、线面平行或垂直的判定与性质【思考】

判断或证明线面、线线平行或垂直的常用方法有哪些?例1如图,在直四棱柱ABCD

-A1B1C1D1中,上、下底面均为菱形,点G,H,M分别为AC,B1C1,BC的中点.(1)求证:GH∥平面CDD1C1;(2)若∠ABC=,求证:B1C1⊥平面A1AM

.证明:

(1)如图,取CD的中点E,连接C1E,GE,又已知G为AC的中点,∴四边形GEC1H为平行四边形.∴GH∥C1E.∵GH⊄平面CDD1C1,C1E⊂平面CDD1C1,∴GH∥平面CDD1C1.∴△ABC为等边三角形.∵M是BC的中点,∴AM⊥BC.∵在直四棱柱ABCD

-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴AA1⊥BC.又AM∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AM.又B1C1∥BC,∴B1C1⊥平面A1AM.题后反思1.解决此类问题要注意线线平行(垂直)、线面平行(垂直)与面面平行(垂直)的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明.2.要证明线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明两线平行.3.要证明线线平行,可考虑转化为证明线面平行.4.要证明线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.对点训练1(2022江西南昌模拟)如图,在四棱锥S-ABCD中,BC⊥平面SAB,AD⊥平面SAB,△SBC为等腰直角三角形,∠SBA=∠DSA=60°,AD=3BC.(1)求证:SA⊥平面SBC;(2)若点E在线段SD上,且SB∥平面ACE,求

的值.(1)证明:

因为AD⊥平面SAB,所以SA⊥AD.解得AB=4.因为AB2=SB2+SA2,所以SA⊥SB.又SB∩BC=B,所以SA⊥平面SBC.(2)解:

如图,连接BD交AC于点G,连接EG.因为SB∥平面ACE,平面SBD∩平面ACE=EG,SB⊂平面SBD,命题热点二面面平行或垂直的判定与性质【思考】

判定面面平行或垂直有哪些基本方法?例2如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,CB的中点.(1)求证:平面ABED∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.证明:

(1)如图.设CD∩GF=M,连接MH,DG.在三棱台DEF-ABC中,∵AB=2DE,G为AC的中点,∴DF∥GC,DF=GC.∴四边形DFCG为平行四边形.∴M为CD的中点.又H为BC的中点,∴HM∥BD.又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,∴BD∥平面FGH.∵DE∥AB,G,H分别为AC,BC的中点,∴DE∥GH,∴DE∥平面FGH.又ED∩BD=D,且ED,BD⊂平面ABED,∴平面ABED∥平面FGH.(2)∵G,H分别为AC,BC的中点,∴GH∥AB.∵AB⊥BC,∴GH⊥BC.∵H为BC的中点,∴EF∥HC,EF=HC.∴四边形EFCH是平行四边形.∴CF∥HE.又CF⊥BC,∴HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,∴BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,∴平面BCD⊥平面EGH.题后反思1.判定面面平行的四种方法:(1)利用定义,判断两个平面没有公共点;(2)利用面面平行的判定定理;(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面垂直的证明方法:(1)利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)利用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.对点训练2(2022广西南宁一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AB=1,PA=AD=PD=2,E为PD的中点.(1)求证:平面PCD⊥平面ACE;(2)求点B到平面ACE的距离.(1)证明:因为PA=AD=PD,所以△PAD为等边三角形.又E为PD的中点,所以AE⊥PD.因为底面ABCD为矩形,所以CD⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE.又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.又AE⊂平面ACE,所以平面PCD⊥平面ACE.(2)解:

如图,取AD的中点M,连接PM,过点E作EN∥PM,交AD于点N,连接BE.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM⊂平面PAD,所以PM⊥平面ABCD.命题热点三平行、垂直关系的探索性问题【思考】

解决探索性问题的基本方法有哪些?例3如图,在该几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB.(1)求证:AC⊥平面FBC;(2)求四面体F-BCD的体积;(3)在线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?证明你的结论.(1)证明:在△ABC中,因为AC=,AB=2,BC=1,所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB,BC∩FB=B,所以AC⊥平面FBC.(2)解:

因为AC⊥平面FBC,所以AC⊥FC.因为CD⊥FC,AC∩CD=C,所以FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中,可得CB=DC=1,所以FC=1.(3)解:

线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN,如图.因为四边形CDEF为正方形,所以N为CE的中点.所以EA∥MN.因为MN⊂平面FDM,EA⊄平面FDM,所以EA∥平面FDM.所以在线段AC上存在点M,使EA∥平面FDM.题后反思对于线面关系中的探索性问题,通常有以下两种方法:(1)首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足,则肯定假设,若得出矛盾的结论,则否定假设.(2)先猜想后证明,即先观察与尝试得出条件,再证明.对点训练3如图①,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=2,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F为A1C的中点,如图②.图①

图②

(1)求证:EF∥平面A1BD;(2)求证:平面A1OB⊥平面A1OC;(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG?说明理由.(1)证明:

如图,取线段A1B的中点H,连接HD,HF.∵D,E分别为AB,AC的中点,∴HF∥DE,HF=DE,∴四边形DEFH为平行四边形,∴EF∥HD.∵EF⊄平面A1BD,HD⊂平面A1BD,∴EF∥平面A1BD.(2)证明:

∵在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,∴AD=AE,∴A1D=A1E.又O为DE的中点,∴A1O⊥DE.∵平面A1DE⊥平面BCED,且A1O⊂平面A1DE,∴A1O⊥平面BCED,∴CO⊥A1O.在△OBC中,BC=4,易知OB=OC=2,∴CO⊥BO,∴CO⊥平面A1OB.又CO⊂平面A1OC,∴平面A1OB⊥平面A1OC.(3)解:

假设线段OC上存在点G,使得OC⊥平面EFG.连接GE,GF,则必有OC⊥GF,且OC⊥GE.在Rt△A1OC中,∵F为A1C的中点,OC⊥GF,∴G为OC的中点.在△EOC中,∵OC⊥GE,∴EO=EC,这显然与EO=1,EC=矛盾.∴在线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.预测演练•巩固提升1.(2022广西四市教学质量检测)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法正确的是(

)A.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥nB.若m∥α,m∥β,n⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βD.若m∥β,n∥β,m⊂α,n⊂α,则α∥βB解析:

对于A,若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m,n可能平行,也可能异面,故A错误.对于B,若n⊂α,n⊂β,则α∩β=n,结合m∥α,m∥β,可知m∥n,故B正确.对于C,若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α,β可能平行,也可能相交,故C错误.对于D,若m∥β,n∥β,m⊂α,n⊂α,则α,β可能平行,也可能相交,故D错误.2.某四棱锥的三视图如图所示,点E在棱BC上,且BE=2EC,则异面直线PB与DE所成角的余弦值为(

)B解析:

由四棱锥的三视图,还原几何体如图所示,其中底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD.在棱AD上取一点F,使得DF=2AF,连接BF,PF,易得BF∥DE,故∠PBF(或其补角)为异面直线PB与DE所成的角.由题意可知3.

如图,在圆柱OO1中,正三棱柱A1B1C1-ABC的所有顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上,F为A1C1上一点,A1F=2FC1,E为BC的中点,则下列关系:①O1F∥平面A1BC;②O1F∥平面A1B1C;③O1F⊥平面A1AE;④O1F⊥平面A1AB.其中正确的有

.(填序号)

①③

解析:

对于①,∵O1为△A1B1C1的重心,A1F=2FC1,∴O1F∥B1C1.又B1C1∥BC,∴O1F∥BC,又BC⊂平面A1BC,O1F⊄平面A1BC,∴O1F∥平面A1BC,①正确.对于②,由①知O1F∥B1C1,又B1C1∩A1B1=B1,∴O1F与A1B1相交,又A1B1⊂平面A1B1C,∴O1F与平面A1B1C相交,②错误.对于③,∵△ABC为等边三角形,E为BC的中点,∴AE⊥BC.由①知O1F∥BC,∴AE⊥O1F.∵AA1⊥平面A1B1C1,O1F⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥O1F.又AA1∩AE=A,AA1,AE⊂平面A1AE,∴O1F⊥平面A1AE,③正确.∴O1F⊥平面A1AB不成立,④错误.4.

如图,在四棱柱ABCD

-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,BD1⊥B1D,四边形ABCD是边长为4的菱形,D1D=6,E,F分别是AB的两个三等分点.(1)求证:D1F∥平面A1DE;(2)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积.(1)证明:如图,连接AD1交A1D于点M,则M是AD1的中点,连接EM.因为E,F分别是AB的两个三等分点,所以E是AF的中点.所以EM∥D1F.又EM⊂平面A1DE,D1F⊄平面A1DE,所以D1F∥平面A1DE.(2)解:

因为四边形ABCD是