2023江苏版数学中考复习题-等腰三角形与直角三角形

2023江苏版数学中考

第四章图形的认识

4.3等腰三角形与直角三角形

五年中考

考点1等腰三角形

1.(2021扬州,6,3分)如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A,8,连接/瓦在网格中再找一个

格点G使得“BC是等型亶曲三角形，满足条件的格点。的个数是(B)

A.2B.3C.4D.5

解析如图，满足条件的格点。有3个.

2.(2022宿迁,5,3分)若等腰三角形的两边长分别为3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是

(D)

A.8cmB.13cm

C.8cm或13cmD.l1cm或13cm

解析当腰长是3cm时,3+3>5,...3,3,5能组成三角形,

此时等腰三角形的周长为3+3+5=11(cm).

当腰长是5cm时,：3+5>5,

••.5,5,3能组成三角形，

此时等腰三角形的周长为5+5+3=13(cm).

综上，这个等腰三角形的周长为11cm或13cm.故选D.

3.（2022苏州,8,3分）如图，点A的坐标为（0,2）,点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆

时针方向旋转60。得到线段NC若点C的坐标为（皿3）,则tn的值为（C）

A46D2V21„S>/3c4721

A.——B.----C.—D.----

3333

解析连接8c将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段NC显然三角形ABC为等边

三角形.过点C作CDLy轴于点D.CELx轴于点E.因为NZ）OE=90。,所以四边形ODCE是矩形.

所以CD=OE=m,CE=OD=3.因为点A的坐标为（0,2）,所以AD=\.根据勾股定理得

AC2=AD2+DC2,AB2=OA2+OB2,BC2=CE2+BE2.AC=AB=BC,^X12+m2=22+OB2=32+（m-OB）2,

解得片空.故选C

4.（2022苏州,12,3分）定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角

形”.若等腰△/BC是“倍长三角形"，底边BC的长为3,则腰AB的长为6.

解析.••等腰△NBC是“倍长三角形”,

:.BC=2AB或AB=2BC.

当BC=2AB,BC=3时,N8=1.5.

此时zUBC的三边长分别是1.5,1.5,3.

VI.5+1.5=3,

此时不能构成三角形，不符合题意.

当AB=2BC,BC=3时/8=6,止匕时△/BC的三边长分别为6,6,3,综上，腰的长为6.

5.（2020徐州,17,3分）如图,/河0230。,在上截取.过点4作交ON于点

9,以点B\为圆心,8。为半径画弧，交于点出；过点出作出比，。”,交ON于点、比,以点历

为圆心方2。为半径画弧，交OM于点A3,……按此规律，所得线段7120520的长等于.

解析'：A\B\LOM,ZMON=30°,OAi=V3,

.•㈤O=V5+cos309=2,

OB\=B\Ai,：.Z5IT12(9=30O,

二ZJ25I52=60°,

'：A2B2±OM,：.NB2A2B\=60°,

A5\A2B2是等边三角形，

.,.A2B2=2,

OB2=B2A3=4,ZB2A3O=30°,

二N&8M3=60°,

'JAiBiLOM,：.NO&43=60°,

，AB2A3B3是等边三角形，

.,.出&=4,

同理,△819Z20820是等边三角形,/2o82o=2i9

考点2直角三角形

1.（2021盐城,13,3分）如图，在RtA48C中,8为斜边Z3上的中线，若。。=2,则AB=4

解析在R3/8C中,8为斜边AB上的中线,32,根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一

半彳导48=4.

2.（2022泰州,14,3分）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1“马”从图中的位置出发,

不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为_四_.

解析如图中的路线，落点与出发点间的距离最短，为我.

3.（2020宿迁,15,3分）如图，在△/8C中,/8=/C,ABAC的平分线AD交BC于点D,E为的中点.

若8。=12,/。=8,则DE的长为5

解析•:AB=AC,AD平分/BAC,

：.AD±BC,BD=CD=6,

：.ZADB=90°.

：.AB=y/AD2+BD2=V82+62=10.

・：AE=EB：DEEAC=%B=5.

4.（2021宿迁,15,3分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺,

引葭赴岸，适与岸齐,问水深，葭长各几何?”题意是:有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形,

一棵芦苇NC生长在它的中央,高出水面部分8c为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向

岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的。处（如图），水深和芦苇长各多少尺?则该问题的水深是

12尺.

解析如图，由题意可得于8,6C=5,BC=1.

^AB=x,"：BC=\,

：.AC=AC'=x+l.

'JBC'LAC,，ZJ5Cz=90°.

在R3/8C中根据勾股定理得

AB2+BC'2=AC'2,

.".X2+52=(X+1)2,

解得x=\2,

.•.45=12,即水深是12尺

5.（2022镇江,7,2分）如图，在△48C和△48。中,NZC8=N4）8=90。/、F、G分别为N8、AC.

8C的中点，若QE=1,则FG=1.

AE

解析•••乙4。8=90。,点£为48的中点，

：.AB=2DE=2.

•••点2G分别为ZC、8c的中点，

：.FG=-2AB=l.

6.(202001,18,3分)如图，在ZUBC中,/8=45。,/8=6企,。、E分别是AB、AC的中点，连接DE,

在直线DE和直线BC上分别取点F、G,连接BF、DG.若89=3OG,且直线BF与直线DG互相

垂直，则BG的长为4或2.

解析如图，当点尸在点。右侧时，

过点F作EN〃£>G交直线BC于点M过点B作瓦交直线DE于点N.

"：D,E分别是AB.AC的中点,/8=6M

?.DE//BC,BD=AD=3y[2,4FBM=/BFD,

四边形DGMF为平行四边形，

贝（JDG=FM.

YDG工BF,BF=3DG,

：.ZBFM=90°,

：.tanZFBM=^=^=tanZBFD,

BF3

.BN1

..-FN-=—3'

,/ABC=45°=/BDN,

，△BON为等腰直角三角形，

：.BN=DN-=3,

V2

...FN=3BN=9,DF=GM=6.

'：BF=ylBN2+NF2=3V10,

：.FM=^BF=V10,

Z.BM=y/BF2+FM2=10,

.*.5G=10-6=4.

当点F在点D左侧时，过点B作BN上DE,交直线DE于N,过点B作BA/〃。G,交直线DE于M,

延长FB和DG,交点为H,

可知/〃=/必河=90。,四边形BMDG为平行四边形,

：.BG=MD,BM=DG.

，：BF=3DG,

—收卷卷暇T

易得&BDN为等腰直角三角形,8N=DN=3,

：.FN=3BN=9,

:.BFZ92+32=3所.

设M7V=x,则MD=3-x,FM=9+x,^RbBW和中，有FM2-BF2=MN2+BN2,

即(9+x)2-(3«U)2=x2+32,解得x=l,gpMN=1,BG=MD=ND-MN=2.

综上,8G的长为4或2.

7.（2022无锡,24,10分）如图,及48。为锐角三角形.

⑴请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:在AC右上方确定点。使NZMC=N/C8,且CD

_L4Q（不写作法，保留作图痕迹）

⑵在⑴的条件下，若/8=60。/8=2,8。=3,则四边形ABCD的面积为.（如需画草图，请使

用图2）

图1

解析（1）如图中的点。为所求作的点.

⑵过点/作NE_L8C垂足为E,贝11乙4£8=90。

；Z5=60°,/3/£=90。-60。=30。.

'：AB=2,：.BE=^-AB=\,：-CE=BC-BE=2,

AE=y]AB2—BE2=A/22—I2=V3.

*.*/DAC=/ACB,：.AD//BC,

/.ZD=ZECD=90°,

，四边形ZECQ是矩形,

：.CE=AD=2,

：.四边形ABCD的面积J（/£>+BC>/E=ix（2+3）xV^=竽.

故答案为然.

三年模拟

53基础练

一、选择题（每题3分，共12分）

1.（2022无锡二模，幽若等腰三角形的顶角为80。,则它的一个底角的度数为（B）

A.20°B.50°C.80°D.100°

解析:•等腰三角形的顶角为80。，

••.一个底角为（180。-80。）+2=50。故选B.

~D~C""

I（N

hr^一

2.（2022连云港东海一模，播）一个门框的尺寸如图所示,下列长x宽型号（单位:m）的长方形薄木

板能从门框中通过的是(A)

A.2.9x2.2B.2.8X2.3

C.2.7x2.4D.2.6x2.5

解析连接NC则△/8C是直角三角形.

1m

V^B=1m,BC=2m,

：.AC=y/AB2+BC2=Vl2+22=得2.236>2.2.

，只有2.9x2.2的薄木板能从门框内通过.故选A.

3.（2022淮安洪泽一模，你）已知直线a〃仇将等边三角形N8C按如图方式放置，点8在直线b上,

若N2=132。,则N1的度数为（B）

C

A.10°B.12°C.180D.30°

解析如图.

A

VZ2=132o,a/76,/.Z3=Z2=132o,Z3+Z4=180°,

，Z4=180°-132°=48°

,//XABC是等边三角形,二ZABC=60°,：.Z1=60。-/4=60。-48°=12。故选B.

4.（2022湖南长沙，幽如图，在ZUBC中，按以下步骤作图：

①分别以点/、8为圆心，大于豺8的长为半径画弧，两弧交于P、0两点；

②作直线P0交于点。；

③以点。为圆心，/。长为半径画弧交PQ于点M连接AM、BM.

若AB=2y[2,^\AM的长为（B）

A.4B.2C.V3D.V2

解析由题意知f0垂直平分线段AB,AD=DM,：.AD=DM=^AB=V2,ZADM=9Q°,

AAMD为等腰直角三角形,

：.AM=V2AD=2.

二、填空题(每题3分，共9分)

5.(2022宿迁泗洪一模，幽如图所示，每个小正方形的边长为1,4B、C是小正方形的顶点，则N

ABC的度数为45。.

解析如图，连接NC

根据勾股定理彳导AC=BC=y[5,AB=>JT0.

'：(V5)2+(V5)?=(V10)2,gPAC2+BC2=AB2,

AABC是等腰直角三角形.

二ZABC=45°.

6.(2022苏州常熟模拟，幽如图,△/BC中,。£分别是AB.AC的中点方是DE延长线上的一点,

且NZEC=90。,若/C=6,8C=10,则DF的长为8.

解析在RtA/lFC中,EE是斜边AC上的中线,ZC=6,则EF^AC=3.

在中,。£分别是AB,AC的中点，则DE是的中位线.

V5C=10,：.DE=^BC=5.

：.DF=DE+EF=5+3=S.

7.(2022苏州姑苏模拟，的如图，在三角形ABC中,乙4。8=90。,河,％分别是AB、NC的中点，延长

8C至点。使。。=初0,连接。朋；DN、若/8=10,则。N=5.

解析连接CM在R3NC8中,ZACB=90°,M是AB的中点,

:.CM』1AB=5.

2

分别是48、/C的中点，

：.MN//BC,MN=^BC.

•:C*B1D,：.CD郊1C,

：.CD=MN.

；MN//BC,：.四边形NDCM为平行四边形,/.DN=CM=5.

三、解答题(共9分)

8.(2022苏州模拟，的如图，在R3Z8C中,NC=90。,直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE.

⑴若4=35。,则NC8E=°；

(2)若4E=3,EC=1,求MBC的面积.

解析⑴20.

详解:,.•NC=90。,4=35。，

，ZABC=90o-35°=55°.

；DE是线段AB的垂直平分线,

EA=EB,

：.NEB4=NA=35。,

：.ZCBE=ZABC-ZEBD=55°-35°=20°.

⑵在R38CE电CE=1,EB=EA=3,：.BC=TEB2-EC2=2M

.,.SAHBC=|xCI4xBC=4A/2.

53提分练

一、选择题（每题3分，共15分）

1.（2022盐城建湖一模，掇）如图,每个小方格的边长为1,48两点都在小方格的顶点上，点C也是

图中小方格的顶点，并且△/BC是等腰三角形,那么点C的个数为（C）

解析当N8为腰时，分别以点48为圆心长为半径作圆，可得格点&P当为底时，作线

段AB的垂直平分线可得格点Q.

---一.

PA

当。分别与火、P、。重合时,“叱均是等腰三角形故选C.

2.(2022扬州高邮模拟，锵)若一个等腰三角形的周长为32,则该等腰三角形的腰长x的取值范围

是(C)

A.0<x<32B.0<x<16

C.8<x<16D.8<x<32

解析•••腰长为X,且等腰三角形的周长为32,

底边长为32-2%32-2x>0,解得X<16.

又*/x+x>32-2x,

・・.x的取值范围是8<x〈16.故选C.

3.(2022无锡锡山一模，幽如图，数轴上点A,B分别对应2,4，过点B作以点B为圆心

长为半径画弧，交尸。于点C以原点。为圆心,OC长为半径画弧，交数轴于点M则点M对应的

数是(B)

A.4V2B.2V5C.5D.3V2

解析由题意可得08=4,80=2,

则OC30B2+BC2=V42+22=2有，故点/对应的数是2曲.故选B.

4.(2022无锡模拟，的如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出

入相补原理.图中的阴影部分是4个全等的直角三角形.若图中空白部分的面积是15,整个图形

(连同空白部分)的面积是39,则大正方形的边长是(B)

A.2V6B.3V3C.5D.4V2

解析设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为4瓦斜边长为a

-gabx2=15,

根据题意得

c2+x2=39,

C2=27,

解得c=3b或c=-38（舍去）.

故大正方形的边长为3遮.故选B.

5.（2022常州二模，的）如图,在等边△ZBC中,/8=6,NZ依=90。,则CF的最小值为(D)

A

A.3B.V3

C.6V3-3D.3V3-3

解析如图，取45的中点E,连接小、EC.

•.•△Z8C是等边三角形,

AB=BC=6,ZCBE=60°,CE±AB.

在RSBCE中,CE=8Csin60°=3V3.

NAFB=92,AE=EB,

：.EF=^AB=3.

2

'：CF>EC-EF,

，当E、F、C共线时尸C的值最小，最小值为3K-3.故选D.

二、填空题（每题3分，共15分）

6.（2022扬州模拟，播）如图,已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿

长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是61.

解析将长方体沿不同的棱展开，从A点到M点有三种情况.如图

@,AM2=AB2+BM2=42+(5+2)2=65.

如图②,NA/2=〃C2+CW2=(4+5)2+22=85.

如图③,/"=52+(4+2)2=61.

图③

故蚂蚁从/点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是61.

7.（2022徐州邳州一模，源）如图，在“BC中,/8=8。,/〃6。=120。,延长AB到点。使BD=BC；连

接C。,若ZC=2,则CD的长为一

解析'：AB=BC,ZABC=12Q°I

/.ZACB=ZA=30°lZDBC=60°.

BD=BC,：./XBCD为等边三角形,ZD=ZBCD=60°,

：.ZACD=90°,：.AD=2CD.

在RtA/ICD^,AC^C^AD\AC=2,：.22+CD2=(2CD)2,

解得8考.

8.(2022江西，幽已知点A在反比例函数yq(x>0)的图象上，点8在x轴正半轴上，若△0Z6为

解析当OA=AB=5时,/8=5.

当OB=AB=5时,/8=5.

当OA=OB=5时，

设"(若),

；.40小2+《厚5,

解得所3幽=4,；./(3,4)或/(4,3),：8(5,0),

.,./8=J(5-3尸+42=2%或=7(5-4)2+32=V10.

综上第8的长为5或2亦或

易错警示

△OAB为等腰三角形，没有指明哪两条边为腰，需分类讨论.易出现漏解的情况.

9.(2022南京秦淮一模，小)如图MN是NZO8的边OA上的两个点(。河<。7。/

405=30。,。朋=",脑V=4.若边。8上有且只有1个点P,满足是等腰三角形，则a的取值范围

是a=4或a>8.

A

N

0H

解析作线段MN的垂直平分线交OB于点P,连接PMPN,如图所示,

则此时是等腰三角形.

过点M作MH±OB于点H.

当MH>MN时,满足条件的点P恰好只有一个.

"：MN=4IZAOB=30°,

：.当MH=4时,<W=2M"=8,

，当心8时,满足条件的点尸恰好只有一个.

当4PMN是等边三角形时,满足条件的点P恰好只有一个,

此时MN=MP,ZNMP=60°.

,ZZAOB=30°,

：.NMPgO。,

：.OM=MP=MN=4,

综上，满足条件的a的取值范围是a=4或«>8.

B

10.（2022无锡锡山模拟，幽如图,0BC中,NC=90。,8c=6,N/8C的平分线与线段NC交于点D,

且有AD=BD点E是线段AB上的动点（与/、B不重合），连接DE,当&BDE是等腰三角形时，则

AE的长为12-4百或8

解析'：AD=BD,

：.NA=NDB4

•••8。是N/8C的平分线

，ZCBD=ZDBA,

：./A=/DBA=/CBD.

VZC=90°,

，4=30。

如图，过点D作DFA.AB于F.

在R3/BC中2。=90。,8。=6,4=30。，

：.AB=2BC=12.

'：DA=DB,DFLAB,

：.AF=^AB=6.

2

在R3AFZ)中,N4=30。，

:.DF[AF=2V3,：.AD=2DF=4\[3.

：.BD=AD=4y/3.

当BE=BD=4也时,AE=AB-BE=12-W^.

当8E=DE时，由。E2=£户+£)尸得(]2-/E)2=[6-(12-/E)]2+(2V5)2,

解得NE=8.

•.•点E与48不重合，

:.DB丰DE.

综上所述，当△8DE是等腰三角形时/£的长为12-48或8.

三、解答题（共10分）

11.(2022盐城建湖二模，镇)［问题情境］小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出

了一个图形：

⑴如图1,点C是线段N3上一点，分别以为底边在线段45的同侧作等腰三角形ZCP、

等腰三角形48。,尸。、相交于点D当P、0、8在同一直线上时，他发现:NPZ%NCP8.请帮

他解释其中的道理.

［问题