2022年高中数学选择性必修第二册：函数的单调性

2022年高中数学选择性必修第二册：5.3导数在研究函数

中的应用

5.3.1函数的单调性

基础过关练

题组一利用导数研究函数的图象变化

1.如图所示的是导函数y=F(x)的图象，那么函数y=f(x)的单调递减区间

C.(x4,x6)D.(X5,X6)

2.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数F(x)的图象可能为()

CI)

3.若函数y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数,则函数y=f(x)在区间

［a,b］上的图象可能是()

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d~ab

I)

4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=l,f(x)为其导函数，且导函数y=f(x)的图象如

图所示，则f(x)<l的解集是.

题组二利用导数确定函数的单调性与单调区间

5.函数f(x)=x+lnx()

A.在(0,6)上是增函数

B.在(0,6)上是减函数

C.在(0,J上是减函数，在6)上是增函数

D.在(0,上是增函数，在Q,6)上是减函数

6.下列函数中，在(0,+oo)内为增函数的是()

A.y=sinxB.y=xex

C.y=x3-xD.y=lnx-x

7.(2020河南开封五县高二上期末联考)函数y=：+31nx的单调递增区

间为()

C(l,+8)呜+8)

8.(2020广西来宾高二下期末)函数f(x)=x，nx的单调递减区间为

()

A.(0,Ve)B©,+8)

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C.(粕,+oo)D.(0,q)

9.求下列函数的单调区间.

(l)f(x)=3x2-21nx;

(2)f(x)=x2•e-x;

(3)f(x)=x+；

10.(2020天津部分区高二上期末)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,beR).

(1)若曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为x+y-l=0,求a,b的值;

⑵若a>0,求f(x)的单调区间.

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11.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-|lnx的导函数

F(x)的一个零点为x=l.

⑴求a的值；

⑵求函数f(x)的单调区间.

题组三利用导数解决含参函数的单调性问题

12.已知函数f(x)=.3+ax2-x-l在R上是单调函数，则实数a的取值范围

是()

A.(-oo,-V3]U[V3,+OO)B.[-V3,V3J

C.(-oo,-V3)U(V3,+oo)D.(-V3,V3)

13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b£R)恰好有三个不同的单调区间,则

实数a的取值范围是()

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A.(0,3)U(3,+oo)B.[3,+oo)

C.(0,3]D.(0,3)

14.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围

是.

15.若f(x)=-#+bln(x+2)在(-1,+8)上是减函数，则b的取值范围

是,

16.试求函数f(x)=kx-lnx的单调区间.

17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.

⑴若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值；

⑵若f(x)在区间内单调递减,求实数a的取值范围.

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能力提升练

题组一利用导数研究函数的图象变化

1.(2020浙江杭州六校高二下期中,上：)若函数y=f(x)的导函数y=f(x)

的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()

ABCI)

2.(2020河北冀州中学高三上期末,#：)在R上可导的函数f(x)的图象如

图所示，则关于x的不等式xf(x)<0的解集为()

A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-l,0)U(l,+oo)

C.(-2,-l)U(l,2)D.(-oo,-2)U(2,+oo)

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4.(*：)已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示，则函数g(x)=等的单调递

减区间为______________.

题组二利用导数研究函数的单调性及其应用

5.(2020福建三明高二上期末质量检测,*)若x,y£[-建]，且xsin

x-ysiny>0,则下列不等式一定成立的是()

A.x<y

B.x>y

C.|x|<|y|

D.|x|>|y|

6.(2019山东聊城一中高三上期中,*?)函数f(x)=sinx+2x1C),f(x)为

f(x)的导函数，令a《,b=log32,则下列关系正确的是()

A.f(a)<f(b)

B.f(a)>f(b)

C.f(a)=f(b)

D.f(a)Wf(b)

7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,*?)函数f(x)的定义域为

R,(1)=2,对任意x£Rf(x)>2测f(x)>2x+4的解集为(深度解析)

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A.(-1,DB.(-l,+(x))

C.(-oo,-l)D.(-℃,+℃))

8.(多选)(*)若函数g(x)=exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)

的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性

质的为()

A.f(x)=2*

B.f(x)=3-x

C.f(x)=x3

D.f(x)=x2+2

9.(多选X*)素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高

斯提出了一个猜想:兀(x)-仁，其中兀(x)表示不大于x的素数的个数，即

随着x的增大，兀(x)的值近似接近七的值.从猜想出发，下列推断正确的

是()

A.当x很大时，随着x的增大Rx)的增长速度变慢

B.当x很大时，随着x的增大Rx)减小

C.当x很大时，在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的

增大而减少

D.因为兀(4)=2,所以兀(4)*

10.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,")已知函数f(x)=x+sin

x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9尸0,则工V的最小值为_______.

ab

11.(*)已知函数f(x)=lnx-ax+^-l(aeR).

⑴当a=-l时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

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(2)当aW2时，讨论f(x)的单调性.

12.(2020河南濮阳高二上期末,")已知函数f(x)=lnx-ax(aeR).

⑴求函数f(x)的单调区间；

(2)若a>0,求不等式f(x)-fQ-x)>0的解集.

题组三利用导数解决含参函数的单调性问题

13.(2020河南新乡高二上期末,*：)已知函数f(x)=ex(a-cosx)在R上单

调递增，则a的取值范围为()

A.[l,+oo)B.(-oo,-V2JC.[V2,+oo)D.(-oo,-l]

14.(2020河北保定高二上期末,*)已知函数f(x)=x2-91nx+3x在其定义

域内的子区间(m-l,m+l)上不单调厕实数m的取值范围是()

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15.(2020山西吕梁高二上期末,")已知f(x)=aln*+权2e>0),若对任意

两个不等的正实数X1,X2,都有3^口>2成立，则a的取值范围是(深度

解析)

A.(0,l]B.(l,+oo)C.(0,l)D.[l,+oo)

16.(2019河北张家口高三上期末,*涵数f(x)=sinx-alnx在(0,习上

单调递增,则实数a的取值范围是.深度解析

17.(#：)已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).

(1)当a==时,求函数f(x)的单调区间；

4

⑵若函数f(x)在区间[1,+00)上是减函数,求实数a的取值范围.

18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,")已知aGR,函数f(x)=ex+ax2.

(1)已知f(X)是函数f(x)的导函数，记g(x)=f(X),若g(x)在区间(-00,1]上为

单调函数,求实数a的取值范围；

⑵设实数a>0,求证:对任意实数x1,X2(X|Wx2),总有f(詈)

成立.附:简单复合函数求导法则为[f(ax+b)],=af(ax+b).

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答案全解全析

基础过关练

1.B函数的单调递减区间就是使其导函数的值小于零的区间.故选

B.

2.Cf(x)在(-00,1),(4,+/)上为减函数，在(1,4)上为增函数,...当x<l或

x>4时,f(x)<0;当l<x<4时,f(x)>0.故选C.

3.A因为y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，所以函数f(x)图象

上的点的切线斜率是递增的.故选A.

4.答案(-2,4)

解析由f(x)的导函数f(x)的图象知,f(x)在G*0)上单调递减，在(0,+8)

上单调递增.当xWO时，由f(x)<l=f(-2),得-2<xW0;当x>0时，由

f(x)<l=f(4),W0<x<4.综上所述,f(x)<l的解集为(-2,4).

1r+1

5.Af(x)=l+-=—(x>0),

XX

当0<x<6时,f(x)>0,

，f(x)在(0,6)上是增函数.

6.BA中，=(：05x,在(0,+oo)内不恒大于0,故A不满足题意;B

中,y'=ex+xe'=ex(l+x),当x£(0,+oo)时,y>0,故B满足题意；

c中y=3x2-i,在(0,+8)内不恒大于0,故C不满足题意;D中y=:i=?,

在(0,+00)内不恒大于0,故D不满足题意.故选B.

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7.D易知函数y=1+31nx的定义域为(0,+oo),y=-3|=等，

令丫，=与>0,解得x4.故选D.

8.D由题意得，函数f(x)的定义域为(0,+oo),f(x)=2x•Inx+x2•^=2xln

x+x=x(21nx+1).

令F(x)<0,得21nx+l<0,解得0<x<9，

故函数f(x)=x21nx的单调递减区间为(0,9).

9.解析(1)易知函数的定义域为(0,+oo).

F(x)=6x-N令f(x)=O,解得xi=”,X2=-"(舍去)，用Xi分割定义域，得下表:

X33

X同件,+8)

f(x)-+

f(x)/

...函数f(x)的单调递减区间为(0，¥),单调递增区间为(f,+8).

(2)易知函数的定义域为(-*+8).

f(x)=(x2)'e'x+x2(e-x)-2xe-x-x2e-x=e'x•(2x-x?),令F(x)=O,得x=0或x=2,当

X变化时f(x),f(x)的变化情况如下表：

X(-00,0)(0,2)(2,+oo)

f(x)-+-

f(x)/

.•・f(x)的单调递减区间为(-8,0)和(2,+00卜单调递增区间为(0,2).

(3)易知函数的定义域为(-*0)U(0,+oo).

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F(x)=l-妥，令f(x)=O,得x=-l或x=l,当x变化时f(x),f(x)的变化情况如

下表：

X(-00,-1)(-1,0)(0,1)(l,+oo)

f(x)+--+

f(x)//

函数f(x)的单调递减区间为GLO)和(0,1),单调递增区间为(-8,-1)和

(l,+oo).

10.解析(1)Vf(x)=x3-ax2+b(a,b£R),.*.f(x)=3x2-2ax.

函数y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为x+y-l=0,

•，'⑴=3-2a=-1,解得fa=2,

,•"(l)=l-a+b=0,肿何匕=1.

(2)由⑴得f(x)=3x2-2ax=3x(x-y),

令F(x)=0,得x=0或x=上

a>0,当f(x)>0时,Xe(-oo,0)U(p+oo)；当f(x)<o时,xe(0,软

的单调递增区间为(-oo,0),管,+8),单调递减区间为(0号).

11.解析(l)f(x)=2ax+2-；,

3x

由f⑴=2a+|=0,得a=-|.

⑵由⑴得f(x)=-1x2+2xAnx,

贝ijf(x)=--x+2--=2(x-1)(x-2).

令F(x)=O,得x=l或x=2.

当f(x)>0时,l<x<2;

当f(x)<0时,0<x<l或x>2.

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因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+8).

12.B由题意知,f(x尸-3x2+2ax-l,因为y=f(x)在R上是单调函数，且

y=f(x)的图象开口向下，所以f(x)W0在R上恒成立，故AFaZ-lZWO,

即-gWaWB.

13.D由题意得f(x)=3ax2+6x+l(a>0),

函数f(x)恰好有三个不同的单调区间，

.•.f(x)有两个不同的零点，

.•.A=36-12a>0,解得0<a<3,

•••实数a的取值范围是(0,3).故选D.

14.答案(-8,2]

解析由题意得y'=2x-2bNO在(2,8)内恒成立，即bWx在(2,8)内恒成立,

所以bW2.

15.答案(-8,-1]

解析：f(x)在(-1,+00)上是减函数，

.•.f(x)WO在(-1,+oo)上恒成立.

f(x)=-x+—,.,.-x+—^0在(-1,+oo)上恒成立，

XI2X+2

即bWx(x+2)在(-l,+oo)上恒成立.

令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1,

则当x>-l时,g(x)>-l,.\bW-l.

16.解析易知函数f(x)=kx-lnx的定义域为(0,+oo),f(x尸k-g咛.

当kWO时,kx-l<0,.\f(x)<0,

则f(x)在(0,+oo)上单调递减.

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当k>0时，令f(x)<0,得0<x<-;

k

令F(x)〉O,得x>i

K

当k>0时,f(x)的单调递减区间为(o,£),单调递增区间为《,+8).

综上所述，当kWO时,f(x)的单调递减区间为(0,+00),无单调递增区间；

当k>0时,f(x)的单调递减区间为(0,。，单调递增区间为G，+8).

17.解析由题意得f(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+l)(3x+2a-3).

⑴,.,f(x)的单调递减区间为(-1,1),

/--I和1是方程f(x)=O的两个根，

3—2a

A-=l,.*.a=O.

3

(2)Vf(x)在区间(-1,1)内单调递减，

.•.f(x)WO在GU)内恒成立.

又二次函数y=F(x)的图象开口向上，方程f(x)=O的一根为-1,

3

实数a的取值范围是{a|aWO}.

能力提升练

1.D设导函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为

X1,X2,X3,其中Xi<0,X3>X2>0,故y=f(x)在(-00凶)上单调递减，在(X],X2)上单

调递增，在(X2,X3)上单调递减，在(X3,+OO)上单调递增.故选D.

2.A由f(x)的图象得,f(x)在(-8,-1)上单调递增，在上单调递减，在

(1,+8)上单调递增，因此，当x£(-oo,-l)U(l,+oo)时,F(x)>0,当xe(-l,l)

时,f(x)<0.

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则xf(x)<。唠流。或林蓝S

解得O<X<1或X<-1,故选A.

3.A函数丫=蒙的导数为y'=gN

令产0,得x=萼，

当X£(-8,—)时,y，<o,

当x式等，等)时,y>0,

当x£(巨产,+8)时,yVO.

函数在(-8,1))和(1~^,+8)上单调递减，在(1上单调

递增，排除D.

当x=0时,y=0,排除B.当x=-l时,y=0,当x=-2时,y>0,排除C.故选A.

4.答案(0,1),(4,+oo)

解析g'(x)="黑"

(e)

_/'(x)-f(x)

一_―，

由题中图象可知，当x£(O,D时,f(x)-f(x)<0,此时g'(x)<o；

当*£(4,+8)时工a)-岖)<0,此时g'(x)<0,

故函数g(x)=等的单调递减区间为(0,1),(4,+8).

5.D构造函数f(x)=xsinx,x£匚则f(x)是偶函数，且f(x)=sin

x+xcosX.

当04W］时f(x)河因此f(x)在［o用上是增函数，从而xsinx-ysin

y>O<=>xsinx>ysiny=f(x)>f(y)=f(|x|)>f(|y|)0|x|>|y|,故选D.

6.B由题意得,f(x)=cosx+2f

喏)m"吧)，

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解得唱)=-*所以f(x)=sinx-x.

所以f(x)=cosx-IWO,

所以f(x)为减函数.

因为b=log32>log3V3=1=a,

所以f(a)>f(b),故选B.

7.B令g(x)=f(x)-2x-4,则g(x)=f(x)-2.因为f(x)>2,所以F(x)-2>0,即

g，(x)>0,所以g(x)=f(x)-2x-4在R上单调递增.又因为f(-l)=2,所以

g(-l)=f(-l)-2=0,所以g(x)>Oog(x)>g(-l)=x>-l,所以f(x)>2x+4的解集

是(-l,+oo),故选B.

易错警示构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一

个重要题型，构造函数时，要结合导数与不等式，如本题中构造函数

g(x)=f(x)-2x-4,根据g'(x)=f(x)-2和f(x)>2得到单调性.

8.AD对于A,f(x)=2-x,则g(x)=exf(x)=ex•为R上的增函数，符

合题意；

对于B,f(x)=3=,则g(x)=exf(x)=ex,3为R上的减函数，不符合题

忌；

对于C,f(x)=x3,则g(x)=exf(x)=ex,x3,

g'(x)=ex,x3+3ex•x2=ex(x3+3x2)=ex•x2(x+3),

当x<-3时,g(x)<肘当x>-3时g(x)>肘，g(x)=exf(x)在定义域R上先减

后增,不符合题意；

对于D,f(x)=x2+2,则g(x)=exf(x)=ex(x2+2),

g'(x)=ex(x2+2)+2xex=ex(x2+2x+2)>0在R上恒成立，符合题意.故选AD.

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9.AC设函数f(x)=m，x>0且xWl,

Inx

贝(Jf(x)岑/小>0且xWl,

P(x)哼吗，x>0且xWl,

x(lnx)3

当Xf+00时,F(x)<0,故当x很大吐随着x的增大，兀(x)的增长速度变慢,

故A正确涵数£汽)=品的图象如图所示：

由图象可得随着X的增大Rx)并不减小，故B错误;当x很大时，在区间

(x,x+n)(n是一个较大常数)内，函数增长得慢,素数的个数随x的增大而

减少，故C正确;三七2.89>2,故D错误.故选AC.

In4

10.答案1

解析因为f(-x)=-x-sinx=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f(x)=l+cosx20

在R上恒成立,，f(x)在R上是增函数.于是

f(4a)+f(b-9)=0u*f(4a)=f(9-b)o4a=9-bQ4a+b=9,又a>0,b>0,

#G+£)(4a+b)=(5+舞)45+2产)=1,当且仅当

b=2a=3时取等号，即工+：的最小值为1.

ab

-717

11.解析⑴当a=-l时,f(x)=lnx+x+—1(x>0),f(x)=-+1,f(2)=ln

xX

2+2,f(2)=l,

故所求切线方程为y=x+ln2.

(2)因为f(x)=lnx-ax+^^-l(x>0,aW；),

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所以f(X尸W=2;："a(x>0),令

g(x)=ax2-x+l-a=(x-l)(ax-l+a)(x>0).

⑴当a=0时,g(x)=-x+l(x>0),

所以当x£(O,l)时,g(x)>0,f(x)<0,此时函数f(x)单调递减;

当x£(l,+oo)时,g(x)<0,F(x)>0,此时函数f(x)单调递增.

(ii)当aWO时，令g(x)=O,

解得x=l或x=--l.

a

①若a《,则函数f(x)在(0,+oo)上单调递减；

②若0<ag,则函数f(x)在上单调递减，在(*1)上单调

递增；

③当a<0时二1<0,

a

若x£(O,l),则g(x)>O,f(x)<O,此时函数f(x)单调递减；

若x£(l,+oo),则g(x)<0,f(x)>0,此时函数f(x)单调递增.

综上所述，当aWO时，函数f(x)在。1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增;

当时，函数f(x)在(0,+oo)上单调递减;当0<a<g时，函数f(x)在

12.解析⑴易知f(x)的定义域为(0,+s),F(x)=：a=+,

①若aWO,则f(x)>0恒成立，故f(x)在。+8)上单调递增；

②若a>0,贝I」当0<x〈工时f(x)>0,当x>工时,f(x)<0,

aa

综上，当aWO时,f(x)的单调递增区间为(0,+8),当a>0时,f(x)的单调递增

区间为(0,£),单调递减区间为(，+8).

(2)：f(x)的定义域为(0,+oo),

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fx>0,

\--x>0,.\0<x<-.

Iaa

la>0,

设F(x)=f(x)-fQ-x)

=lnx-ax-lnQ-x^+aQ-x^

=lnx-ln(：-x)-2ax+2,x£(0,：),

则F(x)*2-2a=竺，*NO,F(x)在(0,g上单调递增,

aX\aX)

又F(£)=0,・•.当x£(o,£)时,F(x)<0,当x£&；)时,F(x)>0,

.*.f(x)-fQ-x)>0的解集为&£).

13.C因为f(x)=ex(a-cosx)在R上单调递增，所以F(x)=ex(a-cosx+sin

x)20恒成立，即a2cosx-sinx恒成立.

令g(x)=cosx-sinx,

贝(Jg(x)=cosx-sinx=V^cos(%+；),

即g(x)可-夜，两，所以a'Vl故选C.

14.D因为f(x)=x2-91nx+3x,

Q

所以f(x)=2xj+3,

令F(x)=O,即2x--+3=0,

X

解得x=|或x=-3(舍去).

所以当x£(0,|)时,F(x)<O,f(x)单调递减，当*£(|,+8)时£〃)>0/8)

单调递增.

因为f(x)在区间(m-l,m+l)上不单调，

所以m-l<|<m+l,解得#m<|,

因为(m-l,m+l)是函数f(x)定义域内的子区间，所以m-120,即m2l,

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所以m的取值范围是[I，).故选D.

15.D由£色型52)>2

Xl-X2

4s/(^i)-2xi-[f(X2)-2x].

付-------------2->un,

%1-%2

令g(x)=f(x)-2x=alnx+[x2-2x(a>0),则g(x)为增函数，

所以g'(x)=?+x-220(x>0,a>0)恒成立，即a2x(2-x)恒成立，又当x>0

时,x(2-x)的最大值为1,所以a21.

方法技巧解决不等式恒成立问题,常见的解题技巧是分离变量，这样

可以避免分类讨论，如本题中将不等式/x-220恒成立中的a分离出

来，即为a》x(2-x)恒成立.

16.答案(-oo,0]

解析函数f(x)=sinx-alnx在(0,；)上单调递增，即F(x)=cos