2023年河南省TOP20名校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）

2023年河南省TOP20名校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合一=集|/>0},B={-1,0,1,2},则ACB=（）

A.{-1}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}

2.若复数z满足|z+l|=且z在复平面内对应的点为（x,y）,贝ij（）

A.x=1B.y=1C.x+y=0D.x—y=0

3.下列直线中，可以作为曲线y=cos（2x-］）的对称轴的是（）

A.x=B.x=gC.%D.x=y

4.尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如

果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度

大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低口票吟食物）对提高痛风病

人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效.科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现,

在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型U（t）=描述血液尿酸浓度（单

位：mg/dL）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中%为初始血液尿酸浓度，K为参数.已知

Uo=20,在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15,若使血液尿酸浓度达到

正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（力“1.49）（）

A.69B.71C.73D.75

5.计划安排甲、乙两个课外兴趣小组到5处水质监测点进行水样采集，每个兴趣小组采集3处

水样，每处水样至少有1个兴趣小组进行采集，则不同的安排方法共有（）

A.30种B.32种C.34种D.36种

6.已知抛物线C：y2=2px（p>0）焦点为F,准线为，，点4（3,2「）在C上，直线4F与，交于

点B,则踹=（）

A.1B.yplC.qD.2

7.在正方体48C0-4B1C1D1中，M,N,P分别为&B,&G，&。的中点，则下列结论中

错误的是（）

A.MN//AD1B.平面MNP〃平面BCi。

C.MN1CDD.平面MNP1平面4BD

8.已知圆C：(x-l)2+(y-2)2=5,圆C'是以圆/+y2=i上任意一点为圆心，半径为1

的圆.圆C与圆C'交于A,B两点、,则当44cB最大时，|CC'|=()

A.1B.y/~2C.<3D.2

9.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专

业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余

棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为g,每名业余棋手与乙比赛获胜的概

率均为;，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()

A.24B.25C.26D.27

a

10.已知无穷数列｛即｝满足：如果册1=n>那么am+i=an+「且%=as=1,a3=-3,

a4=4,a2是由与的等比中项•若的前几项和无存在最大值S,贝□=()

A.0B.1C.2D.3

11.已知圆台。1。的上、下底面半径分别为r,R,高为h,平面a经过圆台。1。的两条母线,

设a截此圆台所得的截面面积为S,则()

A.当/iZR-r时，S的最大值为(R+2r)八

B.当/iNR—r时，S的最大值为丝嘤哗力

C.当九<R-r时，S的最大值为(R+2r)h

22

D.当九<R—r时，S的最大值为空萼芈山

2(RT)

12.已知a=Ln2,4,b=log32.8,c=lg5.7,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知向量五=(1,2),b=(-2,-1)»写出一个与方一B垂直的非零向量芸=.

14.己知曲线/(x)=［曙>°过曲线上两点4B分别作曲线的切线交于点

(一十L),—L%<u

P,4P1BP.记4,B两点的横坐标分别为％x2,则/+/=.

15.己知双曲线C：^|-4=l(a>0,b>0)的左顶点为A,P为C的一条渐近线上一点，4P与

C的另一条渐近线交于点Q，若直线AP的斜率为1,且4为PQ的三等分点，则C的离心率为

16.某种平面钱链四杆机构的示意图如图1所示，4c与BD的交点在四边形4BCD的内部.固定

杆BC的长度为JI,旋转杆4B的长度为1,4B可绕着连接点B转动，在转动过程中，伸缩杆4D

和CD同时进行伸缩，使得4D和CD的夹角为45。，4。的长度是CD的长度的。倍.如图2,若

在连接点B,D之间加装一根伸缩杆BD,则伸缩杆BD的长度的最大值为

图⑴图⑵

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

已知数列｛。工，等差数列｛bn｝满足匕=%+%+i，瓦=-3,b2+b3=-12.

（1）证明：an-an+2=2；

（2）若｛厮｝为等差数列，求｛an｝的前n项和.

18.（本小题12.0分）

太平洋是地球上岛屿最多的大洋，有大小岛屿2万多个，岛屿面积约占世界岛屿总面积的45%,

蕴藏着丰富的动植物资源.为了解太平洋某海域的岛屿上植物种数的生态学规律，随机选择了

6个岛屿，搜集并记录了每个岛屿的植物种数（单位：个）和岛屿面积（单位：平方千米），整理

得到如下数据：

样本号i123456

岛屿面积X61525344454

植物种数y51015192431

并计算得=2042,Xiyt=1201.

（1）由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系.根据表中前4号样本数据，求y关于％的线

性回归方程；

（2）根据所求的线性回归方程计算第5,6号样本植物种数的预报值y,并与相应植物种数的真

实值y进行比较.若满足|y_y|Wl，则可用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数，并

估计面积为100平方千米的岛屿上的植物种数；若不满足，请说明理由.

,_EC=i(x「x)(%-y)_Y."=ixiy-nxy

参考公式:U——9-o-a=y—bx'

-i-%)£%城一疝

19.(本小题12。分)

如图，在三棱锥A-BCD中，4BCD=90°,AB=AC=AD.

(1)证明：平面4BD_L平面BCD；

(2)若BD=2,BC=1,当直线与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥力-BCD的体积.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：务，=l(a>b>0)的左顶点为4P为C上一点，。为原点，|P4|=伊。|,

乙4Po=90。，△4「。的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设B为C的右顶点，过点(1,0)且斜率不为。的直线/与C交于M,N两点，证明：3tan^MAB=

tanZ.NBA.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=xlnx-ax2,/'(%)为/。)的导数.

(1)讨论「(X)的单调性；

(2)若直线y=］与曲线y=/(x)有两个交点，求a的取值范围.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程是心:笠；?入出9(£为参数)，曲线G的参数方程是

『二；'2_2为参数)，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极

坐标方程为P=L

(1)求G，。2的直角坐标方程；

(2)若直线2与G交于4,B两点，与。2交于C,0两点，|0川=|OB|,且|OC|=|OD|,求|CD|.

23.(本小题12.0分)

已知Q,b均不为零，且满足/+庐=1.证明：

(l)|a|+网wC；

3/

(2)|a^|+|^-|>1.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为4={x|x(x-2)<0}={x[0<x<2},B={-1,0,1,2),

则4CB={1}.

故选:B.

由题意可得A={%|0<x<2},根据交集的定义求解即可.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由题意，z=x+yi(x,yeR),

由|Z+11=\Z-l\,得J(X+1)2+y2=J.+(y—1)2,

整理得：x+y=0,

故选：C.

由已知可得z=x+yiix.yGR),代入|z+1|=|z-i|,利用复数的模相等列式化简得答案.

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：y=cos(2x-^)=sin2x,

对于4,当x时，y=sinj=1,则x=3是曲线丫=cos(2久一引的对称轴，4是；

对于B,当尤=狎，y=sin：=《^±l，则》=部是曲线y=cos(2x-9)的对称轴，8不是;

对于C,当％=卯寸，y=sinrr=0±1,则x=]不是曲线y=cos(2x*)的对称轴，C不是；

对于。，当*=，时,旷=豆吟=_枭±1，则”与不是曲线y=cos(2x—今的对称轴，。不

是.

故选：A.

利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质，逐项代入验证作答.

本题考查正弦函数的性质，属于中档题.

4.【答案】D

【解析】解：由函数模型U(t)=—Uo"K3当t=50时，［/(t)=15,

可得15=-20/n(50/<),即15=-20/n50-20仇K①.

设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为t',

则7=-20加(t'K),即7=-20lnt'-20hiK②，

2£22

则--

-=e5=5

5

50

故选：D.

代入t=50得15=-20"50-20，nK,设浓度为7mg/dL时，摄入天数为t',则有7=-20)t'-

20lnK,通过作差解出t'即可.

本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.

5.【答案】力

【解析】解：依题意，每个兴趣小组采集3处水样，

每处水样至少有1个兴趣小组进行采集，可分为两步,

第一步，甲组进行采样，有瑶=10种方法；

第二步，乙组进行采样，有废x盘=3种方法.

所以共有10x3=30种不同的安排方法.

故选：A.

根据分步乘法计数原理与组合数计算.

本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：■:点2(3,2，？)在抛物线C：y2=2px(p>0)±,

12=2px3,••p=2,F(l,0),

\AF\=I(3-I)2+(2V-3)2=4，

过点4作l的垂线，垂足为H,由抛物线的定义可知川=\AF\=

4,

设/与x轴交于点G,则|FG|=p=2,

\AH\=2|FG|,V.AH//FG,

|4B|=2|BF|,.•.尸为AB中点,

\BF\

故选:A.

将点4（3,2门）代入抛物线方程中，可得p=2,过点4作，的垂线，垂足为H,，与x轴交于点G,则

\AH\^2\FG\,所以尸为中点，从而可得提的值.

本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属基础题.

7.【答案】D

【解析】解：对4在A/liBCi中，因为M,N分别为&B,&G的

中点，

所以MN〃BC1又BC\〃AD\,所以MN〃AD°A正确.

对B,在△&BD中，因为M,P分别为4山的中点，

所以MP〃BD,

因为MPC平面BG。，BOu平面BQO,

所以MP〃平面BCi。

因为MN//BC],MNC平面BG。，BC】u平面8G。，

所以MN〃平面BG。.

又因为MPCMN=M,MP,MNu平面MNP,

所以平面MNP〃平面BQ。，B正确.

对C,因为MN〃4Di，ADr1CD,所以MN1CD,C正确.

对D,取BO的中点E,连接4E,EG，则N&EC1是二面角①一BD-G的平面角.

设正方体棱长为a,则cos乙4iEG=——+；.））2=1*0,

又0。<“EG<180°,则乙4皿丰90°,

所以平面4BD与平面BGD不垂直.

又平面MNP〃平面Be】。，

所以平面MNP与平面&B。不垂直，。错误.

故选：D.

根据中位线以及平行的传递性判断选项A;根据面面平行的判定定理判断选项以由平行的性质

可判断选项C；先证明平面4BD与平面BGC不垂直.再根据平面MNP〃平面86。即可判断选项

D.

本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档

题.

8.【答案】。

【解析】解：在AABC中，|4C|=|BC|=厅，如图所示:

显然。<|明42,“CB是锐角，sin怨=镖=盥又函数y=sinx在(0,个上递增,

因此当且仅当公共弦4B最大时，乙4cB最大，此时弦4B为圆C'的直径,

在RtAACC'中，4ACC=90。，MC'|=1,所以|CC'|=J|4C|2-|4C'|2=2.

故选：D.

根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答.

本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题.

9.【答案】A

【解析】解：设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X,选择与乙进行比赛且获胜的业余

棋手人数为丫，

选择与甲进行比赛的业余棋手人数为小则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-人

易知，X所有可能的取值为0,1,2,…，n,则X〜B(n之)，则E(X)=:

y所有可能的取值为0，1,2,32-n,则丫一8(32-珥手，则E(Y)=罕，

则获胜的业余棋手总人数的期望E(X+丫)=E(X)+E(Y)=为+宇=等>10,解得n>24.

故选：A.

由二项分布及其期望计算即可.

本题考查二项分布及其期望，考查运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：由%=1,a4=4,a2是的与的等比中项，得。2=±2,

若=2,由%=CI5=1及已知，得。6=2,由=—3,得。7=—3,则=4,

因此数列｛厮｝的项依次为：1，2,-3,4,1,2,-3,4,…，数列｛即｝是以4为周期的数列，

显然Sm=n（%++。4）=4n,数列｛Sm｝单调递增，无最大项，因此数列｛册｝的前n项和

无最大值；

若a?=—2,同理可得数列｛aj的项依次为：1,—2,—3,4,1,—2,—3,4,…，数列｛an｝是以

4为周期的数列，

S1=1,52=—1>S3=—4,S4=°，$5=1,S6=­1,S7=—4,58=0，

数列｛S"｝是以4为周期的数列，且S4n_3=1，S4n-2=-1-S471T=-4,S4rl=0,此时｛%｝的前Zl项

和％存在最大值，

所以％的最大值S=L

故选:B.

由。2是由与。4的等比中项求出。2,再分情况计算判断作答.

本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】D

【解析】解：如图，将圆台01。补成圆锥PO.

设圆台。1。的母线长为I,则产=层+（R_r）2,等腰梯形4BCD为过两母线的截面.

T"Y

设PC=%,乙APB=e,由万=7Z?得％='

KX-rlR一厂

22

则S=1[(x+0-x]sin0=2^R-r')I?sin。,

当八NR-r时，0<90°,当sin。最大，即截面为轴截面时面积最大，

则S的最大值为：(2R+2r)/i=(R+r)/i.

当hVR—r时，9>90°,当sin。=1时，截面面积最大，

则S的最大值为离不[2=(R+”£+(厂内.

2(/?-r)2(7?-r)

故选：D.

通过将圆台补成圆锥，利用图形分h>R-r和h<R~7■讨论即可.

本题主要考查圆台的结构特征，解题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式求

解即可，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：因为a=)2.4>0,b=log32.8>0,

所以尸黯<舞=ln2A*伍3<(^^)2=(竽/=(ln5)2<(，ne)2=1,

则a<b；

2

,ur,，oA2Zn2.42ln2Aln2A

""ZnlOZnlOIn\HlO

因为InQQ>Ine=1，所以c<ln2A=a,

则有c<a<b.

故选：C.

由题意可知a>0,b>0,c>0,用作商法比较a,£)的大小，由换底公式可得c<"2.4=a,从

而得答案.

本题考查考查比较大小问题，函数单调性的应用，放缩法的应用，属中档题.

13.【答案】(1,-1)(答案不唯一)

【解析】解：由题意可知五一方=(3,3)，设不=(x,y)，则3x+3y=0,

取x=L则y=-l,则与五一方垂直的非零向量可以为3=(1,-1).

故答案为：(1,一1)(答案不唯一).

首先计算五一加=(3,3)，设F=(x,y),利用向量垂直，数量积为0,即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

14.【答案】-1

【解析】解：当x>0时,/'⑺=击；当》<0时，/⑶=一击,

根据导数的几何意义结合图象，不妨设与<0,x2>0.

1

因为曲线/(")在点4B处的两条切线互相垂直，所以一表,

]=—1

x2+l_，

11

整理得打小+/+上=0,所以是,+以=-L

故答案为：-1.

根据导数的几何意义，结合图象及垂直的斜率关系计算即可.

本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.

15.【答案】挈

【解析】解：己知直线4P的斜率为1,

设PQ所在的直线方程为y=x+a,

又双曲线的渐近线方程为y=±^x,

y=%+a

b,

{y=?

消X可得y=怒，

(y=x+a

联立b,

(.y=~aX

消X可得y=黑,

乂A为PQ的三等分点，

则缠=也,

人」力+。a-b

即a=3b,

22

即Q2=9b2=9c-9a,

即£=£12,

a3

即C的离心率为吁.

故答案为：子.

由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.

16.【答案】3

【解析】解：设乙4BC=0,且。€（0,兀），

在△力BC中，由余弦定理得4c2=AB2+BC2-2AB-BCcosd=3-2y/~2cos0，

又由正弦定理得=空，则sin〃CB=喘

sinZj4cBs\n0AC

在△4CD中，AD=yTzCD,Z-ADC=45°,则N4CD=会且CD=AC,

在△BCD中，由余弦定理得B/）2=CD2+2-2y/~2CD-cos（^+乙ACB）

=AC2+2+2y/~2ACsinAACB=3-2y/~2cos0+2+2G4c•萼

=5+2y/~2（sin9-cos。）=5+4sin（0-1，

.•.当。=与时，5皿9-》取最大值1,可得BO?的最大值为9,

•••8。长度的最大值为3.

故答案为：3.

设N4BC=0,4£△4BC中，由余弦定理可得=3_2yTlcos9,再由正弦定理得sin4ACB=嘤,

AL,

在ABC。中，由余弦定理可得8。2=5+45讥（。一：），利用三角函数的性质，即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

17.【答案】（1）证明：设数列｛%｝的公差为d,由％+2=-12,得2瓦+3d=-12,

由瓦=-3,得d=-2,故垢=-2n—1,

即时+an+i=-2n-1①，

递推，得％i+i+Qn+2=-2/1—3②，

①一②得Qn-an+2=2,

故即-即+2=2得证・

（2）解：若｛an｝为等差数列，设公差为d',

由Q71+2-Qn=一2,可得2d'=—2,则d'=—1.

又•・•an+an+1=—2n—1,:.2an+d'=—2n—1,:.an=—n,:.ar=—1,

•••小｝的前几项和sn=%吻=-^-T

【解析】（1）设数列｛%｝的公差为d,由等差数列的通项公式可求得d,从而可得垢=-2n-1,则

an+an+1=-2n-1,an+1+an+2=-2n-3,作差即可证明；

（2）设数列｛斯｝的公差为d',由（1）解得d'=—1,结合即+an+1=-2n-1求出即=-n,再利用

等差数列求和公式即可得到答案.

本题主要考查数列的递推式，数列的求和，等差数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于中

档题.

18.【答案】解：（1）依题意，*=处£詈型=20/=2竽段=12.25,6=学等

Zj=l演一4%

1201—4x70x12-八

绘42一北需=0・5,。=歹一成=12.25-0.5x20=2.25，

所以所求线性回归方程为y=o,5x+2.25.

（2）当x=44时，y=0.5x44+2.25=24.25-\y-y\=|24.25-24|=0.25<1-

当#=54时，y=0.5x54+2.25=29.25，|y-y|=|29.25—31|=1.75>1，

所以不能用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数.

【解析】（1）根据给定数表，求出京歹，再利用最小二乘法公式求解作答.

（2）利用（1）中线性回归方程，按要求计算并判断作答.

本题考查线性回归方程的性质，属于中档题.

19.【答案】解：（1）证明：如图，取8D的中点G,连接4G,CG.

因为NBC。=90°,BG=DG,所以BG=CG（直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半）

又因为4B=AC,G为BD的中点，

所以4G1BD,

所以44GB=/.AGD=90°,

又因为AG为公共边，

所以△ABG三△ACG,

所以NAGC=Z.AGB=90°,所以AG1CG,

又因为4G1BD,BDOCG=G,BD,CGu平面BCD,

所以4G1平面BCO,又因为4Gu平面4B0,

所以平面ABD1平面EC。；

(2)过点C作直线CH1平面BCD,

以C为坐标原点，CD，CB，屈的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建系如图,

设直线AB与平面4CD所成的角为a,

_J丽_2a

则sina=|cos伍，瓦?)|

=同而I=Fmv正H

4

sin2a=

(4a24-l)(a2+l)4a4+5a2+l5,

当且仅当4a2=，即a=?时，等号成立.

因为B。=2,BC=1,Z.BCD=90°,

所以CD=C，

此时三棱锥A-BCD体积p=1sAecDx4G=gx?x?=噂，

故当直线ZB与平面ACC所成的角最大时，三棱锥A-BCD的体积为工.

【解析】(1)取BD的中点G,连接AG,CG,则有4G_L8C,由△4BG三△4CG可得N4GC=NAGB=

90°,AG1CG,由线面垂直的判定定理可得4Gl平面BCO,即得；

(2)设4G=a(a>0),建立空间坐标系，则有时当。=殍时，直线AB与平面4co所成的角最大,

再利用棱锥的体积公式计算即可.

本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解线面角问题，三棱锥的体积的

求解，化归转化思想，方程思想，属中档题.

20.【答案】解：（1）不妨设点P在久轴的上方，由椭圆的性质可知|0*=a,

•・•△AP。是以P为直角顶点的等腰直角三角形，•》（一，为代入，+5=1,专片+1=1，

整理得a?=3b2,1•,△4P。的面积为1,.a1a=1,；.a2=4,b2=9，故椭圆C的方程为1+

LL34

孚=1;

4

（2）证明：设直线/M的斜率为的，直线BN的斜率为七，M（x1,y1）/V（x2,y2）,

直线MN的方程为％=my+1,

不妨设V0V则七=tan4MAB,k2=tanzJVBA,

联立｛鼠U4，可得（小+3疗+2my-3=0,

4=16m2+36>0,则y1+y2=一;%为=

•>•TV2=T,即2啊”2=3（%+%），

/1Z2°

丫13,,、1,3

.==>式z〜—1）=映丫2—=2仇+丫2）-旷］=/+2y2=1

―古一（叫+3）巧—畋仍+3y?-前+y?+3y2一拉+犷孑

乙

・•・3kl=k2,:.3tanMAB=tanzJVBA.

【解析】（1）通过分析得p（-，个，将其坐标代入椭圆方程，结合AAP。面积和a,b,c的关系即

可求出椭圆方程；（2）设直线4M的斜率为右，直线BN的斜率为优，M（Xi，yi）N（X2/2），直线的

方程为％=my4-1,再将其与椭圆联立得到韦达定理式，通过化简得2myiy2=3（乃+力），最后

计算萼，将上式代入即可证明其为定值.

k2

本题考查了直线与圆锥曲线的综合运用，属中档题.

21.【答案】解：(1)设g(x)=/'(%)="欢一2ax+1,g(%)的定义域为(0,+8),

g'Q)=f_2a,

当aWO时，g'[x}>0,g(%)在区间(0,+8)单调递增，

当a>0时，令g'(%)=0,得％=

若％G(0,/)，“(%)>0,g(%)单调递增；

若％w(+,+oo),g'x)<0,g(x)单调递减.

综上，当Q40时，尸(乃在(0,+8)上单调递增;

当Q>0时，(。)在区间(0喧)上单调递增，则心+8)上单调递减.

22

(2)直线y=台与曲线y=f(x)有两个交点，即关于x的方程以nx-ax2=自有两个解，

即。吟-袅

令等一袅其中％>0,则/5)=?+1|=上竽必，

令s(x)=x-xlnx+e2,则s'(%)=-Inx,

当0<x<1时,s'(x)>0,此时函数s(%)单调递增；

当%>1时，s\x)<0,此时函数s(%)单调递减.

由s(l)=14-e2,s(e2)=0,得0<x<1时，x—xlnx+e2=%(1—Inx)+e2>0,则w'(x)>0；

当[VxVe?时，s(x)>s(e2)=0,则"(%)>0；

当%>??时，s(x)<s(e2)=0,则w'(%)<0,

所以函数W。)在区间(0,。2)上单调递增，在区间(，,+8))上单调递减，

则W(X)max=(P(62)=