2023届福建省晋江市永春县高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处二

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.过双曲线C：A-2=1（a>0/>0）的右焦点尸作双曲线C的一条弦A3,且E4+EB=0,若以A3为直径的圆经

crb

过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）

A.0B.73C.2D.石

2.已知尸为抛物线y2=4x的焦点，点A在抛物线上，且|4目=5,过点F的动直线/与抛物线&C交于两点，。为

坐标原点，抛物线的准线与、轴的交点为M.给出下列四个命题：

①在抛物线上满足条件的点A仅有一个；

②若尸是抛物线准线上一动点，贝!||附|+|「。|的最小值为2加；

③无论过点F的直线/在什么位置，总有ZOMB=ZOMC；

④若点C在抛物线准线上的射影为。，则三点B、O、。在同一条直线上.

其中所有正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.如图是二次函数/（x）=x2-法+。的部分图象，则函数8（幻=311》+7@）的零点所在的区间是（）

A.B.C.（1,2）D.（2,3）

sin—------]<x<3

4.已知函数/（力=2'一一-,若函数“X）的极大值点从小到大依次记为％;4?凡，并记相应的极

2/（x-2）,3<x<100

大值为乙也,？b“,则t（4+〃）的值为（）

/=!

A.250+2449B.250+2549C.249+2449D.249+2549

2

5.已知耳，尼是双曲线丁2=］（。＞0）的两个焦点，过点耳且垂直于x轴的直线与。相交于A,8两点，若

a

|=J5,则"8鸟的内切圆半径为（）

A四n有「3&n2石

A.B.C.---D.---

3333

6.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动

的概率为

1111

A.—B.-C.-D.—

23612

7.如图，正三棱柱ABC-AgG各条棱的长度均相等，。为A4的中点，分别是线段Bg和线段CG的动点

（含端点），且满足BM=GN,当运动时，下列结论中不亚项的是

A.在ADMN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面。MN_L平面BCG4

C.三棱锥4-。MN的体积为定值

D.ADMN可能为直角三角形

8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

/（/n）+/（n-2）>0

9.已知奇函数/（x）是R上的减函数，若人〃满足不等式组f（加一〃-1）20，贝！12加一〃的最小值为（）

./0«）<0

A.-4B.-2C.0D.4

10.在区间［一3,3］上随机取一个数X,使得=20成立的概率为等差数列小｝的公差，且4+%=-4,若。“>0,

X—1

则〃的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

11.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立

即执行任务E,任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）

A.36种B.44种C.48种D.54种

12.已知耳，凡是双曲线W-g=l（a>0,b>0）的左、右焦点，若点F,关于双曲线渐近线的对称点A满足

CTb-

NGAO=NA。6（。为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）

A.y—±2xB.y=±yfixC.y=±yf2xD."土x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.的展开式中，V项的系数是.

14.已知关于空间两条不同直线小、"，两个不同平面a、/3，有下列四个命题：①若且〃〃a,贝！!〃?//〃；②

若〃且加_L〃，则〃〃,；③若小」a且〃〃/£,则④若〃ua,且加，々，则〃其中正确命题的

序号为.

2

15.在平面直角坐标系x0y中，若双曲线V一方=1仅>0）经过点（3,4）,则该双曲线的准线方程为.

16.已知角。+工的终边过点P（—1,—2五），贝！|sinc=___.

6

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）已知椭圆£；:：■+』=l（a>6>0）的左、右焦点分别为小一1,0）、6（1,0）,点。在椭圆E上，

尸鸟_14鸟且忸叫=3|尸用.

（I）求椭圆E的标准方程；

（口）设直线/：%=皎+1（"6/?）与椭圆后相交于4、3两点，与圆/+y2=/相交于。、D两点,求|45卜|0）「

的取值范围.

18.(12分)已知点M(—1,O),N(1,O),若点P(x,y)满足|尸M|+|PN|=4.

(I)求点P的轨迹方程；

(H)过点。(-6,0)的直线/与(I)中曲线相交于A8两点，。为坐标原点，求AAOB面积的最大值及此时直

线/的方程.

19.(12分)为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部

选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过

程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普

查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：

普查对象类别顺利不顺利合计

企事业单位401050

个体经营户10050150

合计14060200

(1)写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；

(2)根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；

(3)以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利

的对象数记为X,写出X的分布列，并求X的期望值.

n(ad-he)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)

00.100.0100.001

k。2.7066.63510.828

20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，NDAB=60°,ZADP=90。，平面ADP±

平面ABCD,点尸为棱PO的中点.

(I)在棱A3上是否存在一点£,使得AE平面PCE,并说明理由;

(D)当二面角。-FC-3的余弦值为也时，求直线依与平面488所成的角.

4

21.(12分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AB//CD,ZBAD=90°,AB=2CD=4,PA1CD,

在锐角△PAO中，E是边产。上一点，且AD=PD=3ED=3g-

(2)当的长为何值时，AC与平面尸皿所成的角为30。？

22.(10分)如图，在矩形ABCO中，AB=2,BC=3,点E是边AD上一点，且A£=2ED,点H是BE的中点,

将八钻£沿着8E折起，使点A运动到点S处，且满足SC=SO.

(1)证明：SH上平面BCDE；

(2)求二面角C—SB-£的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

由E4+所=0得厂是弦的中点.进而得A〃垂直于x轴，得2=a+c,再结合关系求解即可

a

【详解】

因为E4+EB=0,所以?是弦AB的中点.且A5垂直于x轴.因为以45为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以

—^a+c,即£_^L=a+c,则c-a=a,故e=-=2.

aaa

故选:C

【点睛】

本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题.

2.C

【解析】

①：由抛物线的定义可知|4丹=。+1=5,从而可求A的坐标；②：做A关于准线x=—1的对称点为A，，通过分析

可知当A',P,。三点共线时|PA|+|PO|取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值|A'O|；③：设出直线/方程,

联立直线与抛物线方程,结合韦达定理,可知焦点坐标的关系，进而可求kMH+kMC=0,从而可判断出NOMB,NOMC

的关系；④：计算直线ODOB的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B、O、。在同一条直线上.

【详解】

解：对于①，设A(a,b),由抛物线的方程得打1,0),则|AF|=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,T),所以满足条件的点A有二个，故①不正确；

对于②，不妨设4(4,4),则A关于准线x=—l的对称点为A'(-6,4),

ifl\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>\A'O\=y/52=2y/i3,

当且仅当力',R。三点共线时等号成立，故②正确；

对于③，由题意知，M（-1,O）,且/的斜率不为0,则设/方程为：x=,政+1（加工0）,

设I与抛物线的交点坐标为3（玉,y））,C（x2,y2）,联立直线与抛物线的方程为，

x=my+1、

,',整理得»-4:町>一4=0,则%+%=4根,y%=-4,所以

y2=4x

222

xl+x2=4m4-2,x1x2=（缈］+l）（my2+1）=-4m+4m+1=1

则A加+kM<=_2L_+%=%（，+1）+%（为+1）=2y1+2%+2町％

MRMCX{+1x2+1（Xj+l）（x2+1）X,4-x2+x1x24-1

?x4/I?—'m*4

=上芈上上f=0故MB,VC的倾斜角互补，所以NOM3=NQ0C,故③正确.

4"+2+1+1

对于④，由题意知力（T%），由③知，X+必=4",）1%=一4

则="=*，％0。=一丹，由=。8_%。。=4+%=4+.，2=0,

司MMM

知及8=及1）,即三点&O、。在同一条直线上，故④正确・

故选:C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的

斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.

3.B

【解析】

根据二次函数图象的对称轴得出。范围，>轴截距，求出。的范围，判断g（x）在区间端点函数值正负，即可求出结论.

【详解】

-：f（x）=x2-bx+a,结合函数的图象可知，

二次函数的对称轴为x=g,0</（0）=«<1,

1h

=—<1,Vfr（x）=2x-b,

所以g(x)=。Inx+尸(x)=aInx+2%-〃在(0,+oo)上单调递增.

又因为g[g)=alng+l-b<0,g(l)=6zlnl+2-/?>0,

所以函数g(x)的零点所在的区间是［g，l

故选:B.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.

4.C

【解析】

对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当x=2时有极大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定义域的循环,

而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点%的通项公式4=2〃，且相应极大值

b,,=2"-',分组求和即得

【详解】

，,X；r

当时，,/(x)=^cos^~j>

显然当x=2时有，r(x)=o,

.•.经单调性分析知

x=2为/(X)的第一个极值点

又•.•3<xV100时，j\x)=2f(x-2)

••x=49x=6tx=8,…，均为其极值点

•・・函数不能在端点处取得极值

/.an=2n,1<n<49,neZ

...对应极值〃=2"T,1</7<49,neZ

+4)J2+98)X49+1X(1-2-)=+2W

I=I21-2

故选：C

【点睛】

本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列

和函数的熟悉程度高，为中档题

5.B

【解析】

首先由|A3卜及求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求

解.

【详解】

由题意〃=1将％=-。代入双曲线。的方程，得y=±l■则2=忘,。=艰1=石,由

aa

\AF2\-\AFl\=\BF2\-\BFl\=2a=2y[2,n^ABF2的周长为

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+|Af；|+2a+怛制+|A6|=4a+21ABi=6忘，

设"BF,的内切圆的半径为j则_Lx6"。=2JIxr=且

223

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.

6.B

【解析】

c2c2

求得基本事件的总数为〃==6,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为加=C；C；$=2,

利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,

c2c2

基本事件的总数为〃=七"X屈=6,

其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为机=C；CX=2,

所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为〃='=!，故选B.

n3

【点睛】

本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基

本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查

了运算与求解能力，属于基础题.

7.D

【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；

B项利用线面垂直的判定定理；

C项三棱锥A-的体积与三棱锥N-\DM体积相等，三棱锥N-\DM的底面积是定值，高也是定值，则

体积是定值；

D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.

【详解】

A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确;

B项，如图：

当M、N分别在BBi、CG上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCGBi的中心O,由DO垂直于平面BCGBi

可得平面平面BCGg,故正确；

C项，当M、N分别在BBKCCI上运动时,AAiDM的面积不变,N到平面AiDM的距离不变，所以棱锥N-AiDM的体积

不变，即三棱锥A1-DMN的体积为定值，故正确；

D项，若ADMN为直角三角形，则必是以NMDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BCi,而此时DM,DN的长大于

BBi,所以ADMN不可能为直角三角形，故错误.

故选D

【点睛】

本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性

质的应用，是中档题.

8.A

【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.

【详解】

由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,

1Q

直观图如图所示，V=-x2x2x2=-.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

9.B

【解析】

根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

m<2-n

奇函数/（x）是R上的减函数，则/（0）=0,且，-〃-140,画出可行域和目标函数，

m>0

z=2m—n,即〃=2加一z,z表示直线与），轴截距的相反数，

根据平移得到：当直线过点（0,2）,即加=0.〃=2时，Z=2〃Z-/7有最小值为-2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.

10.D

【解析】

由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的X的范围区间长度，利用几何概型公式可得概

率，即等差数列的公差，利用条件出+4=2%，求得出=-2,从而求得。“=-¥+三，解不等式求得结果.

【详解】

由题意，本题符合几何概型，区间［-3,3］长度为6,

使得三、20成立的x的范围为(1,3］,区间长度为2,

x—\

3-r?1

故使得-—>0成立的概率为:=；=d,

x-163

4cc10AZ

又出+4==2%,/.%=-2,=-2+(〃-4)x—=----F—9

令4〉0,则有〃>10,故”的最小值为11,

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式,

属于基础题目.

11.B

【解析】

分三种情况，任务4排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务4排在第三位时，E

排在第四位，结合任务8和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案.

【详解】

六项不同的任务分别为A、B、GD、E、F,

如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好。、F,再在。、尸之间的3个空位中插入8、C,

此时共有排列方法：AX=12；

如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则8,C可能分别在A、E的两侧，排列方法有C；A；A；=12,可能都在4、

E的右侧，排列方法有国8=4；

如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则8,C分别在A、E的两侧8=16；

所以不同的执行方案共有12+12+4+16=44种.

【点睛】

本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.

12.B

【解析】

先利用对称得A用_LOM,根据/64。=乙4。£可得4£=。，由几何性质可得乙46。=60,即/加。行=60,

从而解得渐近线方程.

【详解】

如图所示：

由对称性可得：/为A8的中点，且4工，。用，

所以

因为/片/10=乙404，所以AE=6O=c,

故而由几何性质可得NA^O=60,即NMOg=60,

故渐近线方程为y=±JIx,

故选B.

【点睛】

本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出//0乃=60是解题的关键，属于中档

题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.240

【解析】

利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3,计算展开式中含有父项的系数即可.

【详解】

由题意得：=墨(2x)6-吐)，，只露6一|r=3,可得r=2,

代回原式可得7；=240%)

故答案：240.

【点睛】

本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难.

14.(3XD

【解析】

由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.

【详解】

①若〃〃/。且〃〃。，加，〃的位置关系是平行、相交或异面，①错；

②若〃力且〃2_L〃，则〃〃尸或者〃U力，②错；

③若就//7,设过加的平面与夕交于直线〃，则加/〃，又〃U二，则〃_1。，...0，△，③正确；

④若〃ua,且加J_a,由线面垂直的定义知〃?_!_〃，④正确.

故答案为：③④.

【点睛】

本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间

的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.

15.x=±—

3

【解析】

代入(3,4)求解得〃=拒，再求准线方程即可.

【详解】

解：双曲线/一卷=1e>0)经过点(3,4),

.02161

•・3市=1,

解得。2=2,即Q&.

又a=l，，c=J7寿=JL故该双曲线的准线方程为：x=±¥•

故答案为：L土&

3

【点睛】

本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.

16.1二y

【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得553+今午的值.

【详解】

解：•.•角a+工的终边过点尸(―1,—2a),

6

-2a2忘-12

-J1+8丁I6JVF+83

.•.sina=sin(a+-兀

A6J~6

故答案为：上建.

6

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)y+y2=1；(II)[4五,16五).

【解析】

(I)利用勾股定理结合条件|P6|=3|P勾求得归国和|P周，利用椭圆的定义求得”的值，进而可得出。，则椭圆

E的标准方程可求;

(II)设点A(x”y)、B(x2,y2),将直线/的方程与椭圆E的方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出|AB|,利用

几何法求得直线/截圆，2+丁=2所得弦长仁。|,可得出|/3卜|8『关于〃?的函数表达式，利用不等式的性质可求

得的取值范围.

【详解】

(I)P在椭圆上，.•.|「周+|「勾=2。，归耳|=3忸闾，周=冬归用=春,

叫，丹玛，・•.|PKf+|EK|2=|尸£『，

又|月5|=2,.•々2=2,；c=l,.-.b=yla1-c2=b

二椭圆E的标准方程为：+丁=|；

(n)设点A(XpX)、8(9,必)，

：：芸:消去心得尸+冲一「。，.必=加＞。,

联立《2"+228+8

2

nl2m1,,I------.2^2(w+1)

，，，1

设圆/+f=2的圆心。到直线I的距离为d,则〃=/,

+1

+1

.•.31=2,2-屋=2

+1

2企(>+1)42历+1_8应(2m2+1(

:.\AB\-\CDf==85/22-3

rn2+2m2+1m2+2m2+2

。〈春小KA/<2,;.42|明.|C优<16"

：.\AB\-\CDf的取值范围为［472,1672).

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解，涉及韦达定理与弦长公式的应用，考查

计算能力，属于中等题.

18.(I):+]=1；(D)AAOB面积的最大值为道，此时直线/的方程为x=土曰＞一百.

【解析】

(1)根据椭圆的定义求解轨迹方程；

(2)设出直线方程后，采用』x|AB|xd(d表示原点到直线A3的距离)表示面积，最后利用基本不等式求解最值.

2

【详解】

解：(I)由定义法可得，尸点的轨迹为椭圆且2a=4,c=l.

22

因此椭圆的方程为土+乙=1.

43

22

(D)设直线/的方程为x=)-6与椭圆'+《=1交于点A(%,y),

3(々，％)，联立直线与椭圆的方程消去x可得(3/+4)/-6岛，—3=0,

nn66t_一3

即X+)'2=E'，%=记才

由OB面积可表示为SAAOB=g|0。|•|X-％1=g•百•+%)2-今防

=L6/(恪)2—4二=3・也•J9/+3*+4=3-^/^

2V3『+43『+423『+43r2+4

____6〃6V色

令百币=M，则aNl，上式可化为1+3一，

Un--

U

当且仅当"=6,即，=±亚时等号成立，

3

因此MOB面积的最大值为小,此时直线/的方程为X=±半y一石.

【点睛】

常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：

(1)已知点M(-c,0),N(c,0),若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=2a且2a>2c,则P的轨迹是椭圆；

(2)已知点M(-c,0),N(c,0),若点P(x,y)满足||9|-|川||=2。且2«<橘,则P的轨迹是双曲线.

19.(1)分层抽样，简单随机抽样(抽签亦可)(2)有(3)分布列见解析，E(X)=2

【解析】

(1)根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法.

(2)由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果.

(3)由已知条件计算出X的分布列，进而求出X的数学期望.

【详解】

(1)分层抽样，简单随机抽样(抽签亦可).

(2)将列联表中的数据代入公式计算得

n(ad-hc)2200(40x50-lOOxlO)2_.

k=----------------------------------=-------------------------------«3.175>2.706

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)140x60x50x150

所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”.

2

(3)以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为；.X可取0,L2,3,计

3

算可得X的分布列为：

X0123

1248

p

279927

2

E(X)=3x-=2

3

【点睛】

本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算公以及数据的分布列和数学期望，需要正确

运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.

20.(1)见解析(2)60°

【解析】

(I)取PC的中点Q,连结EQ、FQ,得到故AE//FQ且=进而得到AF//EQ,利用线面平行的判

定定理，即可证得AE//平面PEC.

(D)以。为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设=求得平面bBC的法向量为“，和平面的法向量

n,利用向量的夹角公式，求得〃=后，进而得到NP8D为直线PB与平面ABC。所成的角，即可求解.

【详解】

(I)在棱上存在点E,使得AE//平面PCE,点E为棱AB的中点.

理由如下：取PC的中点。，连结EQ、FQ,由题意，FQ//DC且FQ=；CD,

他//。。且4£=48,故AE//EQ且AE=FQ.所以，四边形AEQ尸为平行四边形.

2

所以，AF//EQ,又EQJ•平面PEC,Ab_L平面PEC,所以，AF//平面PEC.

<n)由题意知AABD为正三角形，所以亦即E£>J_CD,

又NADP=90°,所以P£>J_AD,且平面ADP_L平面ABC。，平面ADPc平面ABCD=AD,

所以RD，平面ABC。，故以。为坐标原点建立如图空间直角坐标系,

设RD=a,则由题意知。(0,0,0),尸(0,0,a),C(0,2,0),

FC=(O,2,-<Z),CB=(V3,-l,0),

设平面FBC的法向量为m=(x,y,z),

则由『",'C="得“'一。，令x=l,则y=6，Z=—，

[mCB=0〔岛-y=0a

(

所以取机=,显然可取平面。回。的法向量〃=(1,0,0),

由题意：¥=际行㈤卜一屋，所以"石

1+3+靛

由于PDJ_平面ABC。，所以尸8在平面ABC。内的射影为BO,

所以NPBD为直线依与平面ABCO所成的角,

易知在HAP3O中，tanZPBD=——=a=上,从而NPBD=60°,

BD

所以直线PB与平面ABC。所成的角为60°.

【点睛】

本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理

能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构

成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

21.(1)证明见解析；(2)当期="时，AC与平面PC。所成的角为30。.

【解析】

(D连接交AC于。，由相似三角形可得丝=1，结合”=:得出OE//PB,故而28//平面ACE；

OB2EP2

(2)过A作4尸，?£>,可证平面PCD,根据NACF=30计算AE,得出NAD/的大小，再计算Q4的长.

【详解】

（1）证明：连接50交AC于点。，连接0